(人教A版)必修五名师精品:1-2-4解决有关三角形计算的问题》教案(含答案)

教学设计 1.2.4 解决有关三角形计 算的问题? 从容说课 本节的例 7 和例 8 说明了在不同已知条件下三角形面积问题的常见解法, 即在不同已知 条件下求三角形面积的问题,与解三角形有密切的关系.我们可以应用解三角形的知识,求出 需要的元素,从而求出三角形的面积.已知三角形的三边求三角形面积在历史上是一个重要的 问题.在西方有海伦公式 ,在我国数学史上有秦九韶的 “三斜求积公式”,教科书在阅读与思考 中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明.例 9 是关于三角形边角关系恒等式的证明问 题,课程标准要求不在这类问题上作过于烦琐的训练,教科书例题限于直接用正弦定理和余弦 定理可以证明的问题. ? 关于三角形的有关几何计算,教科书涉及了三角形的高和面积的问题,教科书直接给出了 计算三角形的高的公式? hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=bsinA.? 这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到, 教科书证明了已知三角形的两 边及其夹角时的面积公式? S= 1 1 1 absinC,S= bcsinA,S= casinB. ? 2 2 2 教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.? 教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.? 教具准备 三角板、投影仪等?? 三维目标 一、知识与技能? 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题;? 2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.?? 二、过程与方法? 1.本节课补充了三角形新的面积公式,巧妙设疑,引导学生证明,同时总结出该公式的 特点,循序渐进地具体运用于相关的题型;? 2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用,教师要放手让学生摸索,使学生在 具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点,能不拘一格,一题多解.只要学生自行 掌握了两定理的特点,就能很快开阔思维,有利地进一步突破难点.?? 三、情感态度与价值观? 1.让学生进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创新能力;? 2.进一步培养学生研究和发现能力,让学生在探究中体验成功的愉悦. 教学过程 导入新课 [设置情境]? 师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式,今天我 们来学习它的另一个表达公式.在 △ ABC 中,边 BC、CA、AB 上的高分别记为 hA、hB、hC,那么它们如何用已知边和角表示? ? 生 hA=bsinC=csinB,? hB=csinA=asinC,? hC=asinB=BsinA.? 1 ah ,应用以上求出的高的公式如 hA=bsinC 代入, 2 1 可以推导出下面的三角形面积公式: S ? ab sin C ,大家能推出其他的几个公式吗?? 2 1 1 生 同理,可得 S ? bc sin A , S ? ac sin B .? 2 2 师 根据以前学过的三角形面积公式 S ? 师 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外,知道哪些条件也可求出三角形的 面积呢?? 生 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.?? 推进新课 【例 1】 在△ ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1 cm2).? (1)已知 A=14.8 cm,C =23.5 cm,B=148.5° ;? (2)已知 B=62.7° ,C =65.8° ,B =3.16 cm;? (3)已知三边的长分别为 A=41.4 cm,B=27.3 cm,C =38.7 cm.? 师 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题,与解三角形问题有密切的关系,我 们可以应用解三角形面积的知识,观察已知什么,尚缺什么,求出需要的元素,就可以求出 三角形的面积.? 〔生口答,师书写过程〕? 解: (1)应用 S ? 1 1 ac sin B ,得 S= ×14.8×23.5×sin148.5 °≈90.9(cm2).? 2 2 (2)根据正弦定理, b c b sin C ? ,c ? ,? sin B sin C sin B 1 1 sin C sin A S ? bc sin A ? b 2 .? 2 2 sin B A = 180° -(B + C)= 180° -(62.7° + 65.8° )=51.5° ,? 1 sin 65.8? sin 51.5? S ? ? 3.16 2 ? ≈4.0(cm2).? 2 sin 62.7? (3)根据余弦定理的推论,得 cos B ? c 2 ? a 2 ? b 2 38.7 2 ? 41.4 2 ? 27.32 ? ≈0.769 7,? 2ca 2 ? 38.7 ? 41.4 sinB ? 1 ? cos2 B ? 1 ? 0.76972 ≈0.638 4,? 应用 S ? 1 1 ac sin B 得 S= ×41.4×38.7×0.638 4≈511.4(cm2).? 2 2 生 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外,贵在活用,体会公式变形的技巧 以及公式的常规变形方向,并进一步推出新 的三角形面积公式.? 【例 2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到 这个三角形区域的三条边长分别为 68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少?(精确到 0.1 cm2)?? 师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗?? 生 本题可转化为已知三角形的三边,求角的问题,再利用三角形的面积公式求解.? 〔由学生解答,老师巡视并对学生解答进行讲评小结〕? 解:设 A=68 m,B=88 m,C=127m,根据余弦定理的推论,? c 2 ? a 2 ? b 2 1272 ? 682 ? 882 cos B ? ? ≈0.753 2,? 2ca 2 ?127? 68 sin B ? 1 ? 0.75322 ≈0.657 8,? 应用 S= 1 1 acs

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