高一数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》知识点讲解_图文

直线、 直线、平面平行的判定及其性质 以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认 以立体几何的定义、公理和定理为出发点, 识和理解空间中线面平行的判定定理与有关性质. 识和理解空间中线面平行的判定定理与有关性质.

[理 要 点] 理 一、直线与平面平行的判定与性质 判 定 图形
a?α? ? ? b?α ? ? b∥a ? ∥ ?

性 质

条件 a与α无交点 与 无交点

a∥α ∥

a∥αa?βα ∥ ? ∩β=b = a∥b ∥

结论

a∥α ∥

b∥α ∥

a∩α= ? ∩ =

二、面面平行的判定与性质 判 定 性 质

图形

判 定 a′∩ ′= ′∩b′ ′∩ 无公 共点 a,b?βa , ? P′a∩b=P ′ ∩ =

性 质 α∥ββ ∥ γ= ∩γ= α∥ α∥β

条件

∩b=P a∥ a∥a′b∥b′ = ∥ ∥ ′ ∥ ′ αb∥α ∥ a′,b′?βa, ′ ′ , b?α ?

bα∩γ= a?β ∩ = ? a a∥b ∥ a∥α ∥

结论 α∥β ∥

α∥β ∥

α∥β ∥

[究 疑 点] 究 1.若一直线平行于平面α,那么平面 内的任一条直线 .若一直线平行于平面 ,那么平面α内的任一条直线 与它有何位置关系? 与它有何位置关系? 提示:平行或异面. 提示:平行或异面. 2.若两平面平行,那么在一个平面内的任一条直线与 .若两平面平行, 另一个平面内的任一条直线有何位置关系? 另一个平面内的任一条直线有何位置关系? 提示:平行或异面. 提示:平行或异面. 3.如果一平面同时平行于两个平面,那么这两个平面 .如果一平面同时平行于两个平面, 有何位置关系? 有何位置关系? 提示:平行. 提示:平行.

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.已知直线a,b,平面 ,满足 ?α,则使 ∥α的条 .已知直线 , ,平面α,满足a? ,则使b∥ 的条 件为 A.b∥a . ∥ C.a与b异面 . 与 异面 答案: 答案:B B.b∥a且b?α . ∥ 且 ? D.a与b不相交 . 与 不相交 ( )

2.下列条件中,能判断两个平面平行的是 .下列条件中, A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面 . B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 . C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 .

(

)

D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 . 解析:由面面平行的定义可知选 解析:由面面平行的定义可知选D. 答案:D 答案:

3.设m,n是平面 内的两条不同直线;l1,l2是平面 内 . 是平面α内的两条不同直线 是平面β内 , 是平面 内的两条不同直线; 的两条相交直线, 的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是 ∥ 的一个充分而不必要条件是 ( A.m∥β且l1∥α . ∥ 且 C.m∥β且n∥β . ∥ 且 ∥ B.m∥l1且n∥l2 . ∥ ∥ D.m∥β且n∥l2 . ∥ 且 ∥ )

解析: 解析:因m?α,l1?β,若α∥β,则有 ∥β且l1∥α, ? , , ∥ ,则有m∥ 且 , 的一个必要条件是m∥ 且 故α∥β的一个必要条件是 ∥β且l1∥α,排除 因m, ∥ 的一个必要条件是 ,排除A.因 , n?α,l1,l2?β且l1与l2相交,若m∥l1且n∥l2,因l1与 ? , 相交, 且 ∥ ∥ l2相交,故m与n也相交,故α∥β;若α∥β,则直线 相交, 也相交, 与 也相交 ∥ ; ∥ ,则直线m 与直线l1可能为异面直线,故α∥β的一个充分而不必要 与直线 可能为异面直线, ∥ 的一个充分而不必要 条件是m∥ 条件是 ∥l1且n∥l2. ∥ 答案: 答案:B

4.(1)(2010·临沂模拟 已知 ,n是两条不同的直线,α、 . 临沂模拟)已知 是两条不同的直线, 、 临沂模拟 已知m, 是两条不同的直线 β为两个不同的平面,有下列四个命题: 为两个不同的平面,有下列四个命题: 为两个不同的平面 ①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;②若m∥α,n∥β, ⊥ , ⊥ , ⊥ , ⊥ ; ∥ , ∥ , m⊥n,则α∥β;③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β; ⊥ , ∥ ; ⊥ , ∥ , ⊥ , ∥ ; ④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n. ⊥ , ∥ , ∥ , ⊥ 其中正确的命题是 A.①② . C.①④ . B.①③ . D.①③④ . ( )

(2)(2010·浙江金华 正方体 ABCD-A1B1C1D1 浙江金华)正方体 - 浙江金华 中,M,N,Q 分别是棱 D1C1,A1D1,BC , , 2 的中点. 的中点.点 P 在对角线 BD1 上,且 BP = 3 给出下列四个命题: BD1 ,给出下列四个命题: ①MN∥平面 APC;②C1Q∥平面 APC;③A,P,M 三点 ∥ ; ∥ ; , , 共线; 共线;④平面 MNQ∥平面 APC.其中正确命题的序号为 ∥ 其中正确命题的序号为 ( A.①② . C.②③ . B.①④ . D.③④ . )

解析: 我们借助于长方体模型来解决本题 对于① 我们借助于长方体模型来解决本题. 解析:(1)我们借助于长方体模型来解决本题.对于①, 可以得到平面α, 互相垂直 如图(1)所示 互相垂直, 所示, 正确; 可以得到平面 ,β互相垂直,如图 所示,故①正确; 对于② 平面 、 可能垂直 如图(2)所示 对于③ 可能垂直, 所示; 对于②,平面α、β可能垂直,如图 所示;对于③, 平面α、 可能垂直 如图(3)所示 对于④ 可能垂直, 所示; 平面 、β可能垂直,如图 所示;对于④,由m⊥α, ⊥ , α∥β可得 α∥β可得m⊥β,因为n∥β,所以过n作平面γ,且γ∩β 可得m⊥β,因为n∥β,所以过n作平面 作平面γ, 所示, 与交线g平行 =g,如图 所示,所以 与交线 平行,因为 ⊥g, ,如图(4)所示 所以n与交线 平行,因为m⊥ , 所以m⊥ ,故选C. 所以 ⊥n,故选

(2)E, 分别为 AC, ,F 的中点, 的交点, ,MN 的中点,G 为 EF 与 BD1 的交点, D1G D1F 1 2 显然△ ∽△BEG,故 BG = BE = ,即 BG= BD1, 显然△D1FG∽△ ∽△ , = 2 3 2 2 重合, 又 BP = BD1 ,即 BP= BD1,故点 G 与点 P 重合,所以 3 3 平面 APC 和平面 ACMN 重合,MN?平面 APC,故命题 重合, 不正确,命题④也不正确, ①不正确,命题④也不正确,结合选项可知选 C.

答案: 答案:(1)C

(2)C

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 解决有关线面平行, 解决有关线面平行,面面平行的判定与性质的 基本问题要注意: 基本问题要注意: 1.注意判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线 .注意判定定理与性质定理中易忽视的条件, 面平行的条件中线在面外易忽视. 面平行的条件中线在面外易忽视. 2.结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断. .结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断. 3.会举反例或用反证法推断命题是否正确. .会举反例或用反证法推断命题是否正确.

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.在空间中,下列命题正确的是 .在空间中, A.若a∥α,b∥a,则b∥α . ∥ , ∥ , ∥ B.a∥α,b∥α,a?β,b?β,则β∥α . ∥ , ∥ , ? , ? , ∥ C.若α∥β,b∥α,则b∥β . ∥ , ∥ , ∥ D.若α∥β,a?α,则a∥β . ∥ , ? , ∥ 解析: 、 中 都可能在面内故错 都可能在面内故错, 中 与 相 解析:A、C中b都可能在面内故错,B中α与β相 交也可行. 交也可行. 答案: 答案:D ( )

2.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形, .如图,直四棱柱 的底面是梯形, - AB∥CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,P、Q ∥ , ⊥ , = , = , 、 分别是CC1、C1D1的中点.求证:AC∥平面BPQ. 分别是 的中点.求证: ∥平面

证明:连接 证明:连接CD1、AD1, 分别是CC 的中点, ∵P、Q分别是 1、C1D1的中点, 、 分别是 平面BPQ,PQ?平面 ∴PQ∥CD1,又CD1?平面 ∥ , ?平面BPQ, , 平面BPQ. ∴CD1∥平面 又D1Q=AB=1,D1Q∥DC∥AB, = = , ∥ ∥ , ∴四边形ABQD1是平行四边形, 是平行四边形, 四边形 ∴AD1∥BQ, , 平面BPQ,BQ?平面 又∵AD1?平面 , ?平面BPQ, , 平面BPQ. ∴AD1∥平面 平面ACD1∥平面 平面BPQ. 又AD1∩CD1=D1,∴平面 ∵AC?平面 ?平面ACD1,∴AC∥平面 ∥平面BPQ.

3.(2010·潍坊模拟 如图,在四棱锥 P- . 潍坊模拟) 潍坊模拟 如图, - ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的 菱形, 菱形,∠BAD=60°,对角线 AC 与 = , BD 相交于点 O,OP⊥底面 ABCD, , ⊥ , OP= 3,E、F 分别是 BC、AP 的中点. = , 、 的中点. 、 (1)求证:EF∥平面 PCD; 求证: ∥ 求证 ; (2)求三棱锥 F-ABE 的体积. 求三棱锥 - 的体积.

证明: 解:(1)证明:法一:取 PD 的中点 G,连接 FG、CG, 证明 法一: , 、 , 1 的中位线, ∵FG 是△PAD 的中位线,∴FG 綊 AD, , 2 的中点, 在菱形 ABCD 中,AD 綊 BC,又 E 为 BC 的中点, , ∴CE 綊 FG, , 是平行四边形, ∴四边形 EFGC 是平行四边形, ∴EF∥CG, ∥ , 又 EF?平面 PCD,CG?平面 PCD, ? , ? , ∴EF∥平面 PCD. ∥

法二: 法二:取 PB 的中点 H,连接 EH、FH , 、 由EH∥PC? ∥ ? EH∥PC ∥ FH∥AB ?? ∥ ∥ ? FH∥CD AB∥DC ? ∥ 又 EH∩FH=H.PC∩DC=C ∩ = ∩ = ∴面 EFH∥面 PDC, ∥ , 又∵EF?面 EFH, ? , ∴EF∥面 PCD ∥

(2)取 AO 的中点 M,连接 FM, 取 , , 1 3 则 FM∥OP,FM= OP= , ∥ , = = 2 2 又 OP⊥平面 ABCD,∴FM⊥平面 ABCD. ⊥ , ⊥ 的高, ∴FM 是三棱锥 F-ABE 的高, - 1 又 S△ABE= AB·BE·sin∠ABE ∠ 2 1 3 3 = ×2×1× = , × × 2 2 2 3 3 1 1 1 ∴VF-ABE= S△ABE·FM= × × = . = 2 4 3 3 2

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 1.证明直线与平面平行,一般有以下几种方法: .证明直线与平面平行,一般有以下几种方法: (1)若用定义直接判定,一般用反证法; 若用定义直接判定,一般用反证法; 若用定义直接判定 (2)用判定定理来证明,关键是在平面内找(或作 一条直线与 用判定定理来证明,关键是在平面内找 或作 或作)一条直线与 用判定定理来证明 已知直线平行,证明时注意用符号语言叙述证明过程; 已知直线平行,证明时注意用符号语言叙述证明过程; (3)应用两平面平行的一个性质,即两平面平行时,其中一 应用两平面平行的一个性质,即两平面平行时, 应用两平面平行的一个性质 个平面内的任何直线都平行于另一个平面. 个平面内的任何直线都平行于另一个平面. 2.线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方 法. .

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.设α、β、γ为三个不同的平面,m、n是两条不同的直 . 为三个不同的平面, 、 是两条不同的直 、 、 为三个不同的平面 线,在命题“α∩β=m,n?γ,且________,则 在命题“ = , ? , , m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命 ∥ ”中的横线处填入下列三组条件中的一组, 题为真命题. 题为真命题. ①α∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m?γ. ∥ , ? ; ∥ , ∥ ; ∥ , ? 答案: 答案:①或③

2.(2010·苏州模拟 如图所示,在正方 . 苏州模拟) 苏州模拟 如图所示, 体ABCD-A1B1C1D1中,求证平面 1 求证平面AB - D1∥平面 1BD; 平面C ;

证明: 几何体 是正方体, 证明:∵几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体, - ∴B1D1∥BD, , 平面C 又BD?平面 1BD,B1D1?平面 1BD, ?平面C , , ∴B1D1∥平面C1BD, 平面 , 同理D A∥平面C 同理D1A∥平面C1BD. 平面AB ∵B1D1∩AD1=D1,B1D1?平面 1D1,AD1?平面 AB1D1, 平面C ∴平面AB1D1∥平面 1BD. 平面

3.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1 如图所示,在直四棱柱 如图所示 - C1D1中,底面是正方形,E、F、G分 底面是正方形, 、 、 分 别是棱B1B、D1D、DA的中点.求证: 的中点. 别是棱 、 、 的中点 求证: 平面AD1E∥平面BGF; 平面 ∥平面 ;

证明: 的中点, 证明:∵E,F 分别是 B1B 和 D1D 的中点, , ∴D1F 綊 BE, , 是平行四边形, ∴BED1F 是平行四边形, ∴D1E∥BF, ∥ , 又∵D1E?平面 BGF,BF?平面 BGF, ? , ? , ∴D1E∥平面 BGF. ∥

的中位线, ∵FG 是△DAD1 的中位线,∴FG∥AD1, ∥ 又 AD1?平面 BGF,FG?平面 BGF, , ? , ∴AD1∥平面 BGF. 又∵AD1∩D1E=D1,∴平面 AD1E∥平面 BGF. = ∥

条件变为E、F、G满足“DF∶D1F=1∶2,DG∶DA= 条件变为 、 、 满足“ ∶ = ∶ , ∶ = 满足 1∶3,BE∶BB1=2∶3”,求证平面 1E∥平面 ∶ , ∶ ∶ ” 求证平面AD ∥平面BGF.

证明: 证明:∵D1F∶DD1=2∶3 ∶ ∶ BE∶BB1=2∶3 ∶ ∶ DD1=BB1,∴D1F=BE = 为平行四边形, 又D1F∥BE,∴四边形 1FBE为平行四边形, ∥ , 四边形D 为平行四边形 E∥ ∴D1E∥BF 又DG∶GA=1∶2 ∶ = ∶ DF∶FD1=1∶2 ∶ ∶ ∴GF∥AD1 ∥ 又AD1∩D1E=D1,GF∩BF=F = = ∴平面AD1E∥平面 平面 ∥平面GFB

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 判定平面与平面平行的方法: 判定平面与平面平行的方法: 1.利用定义 . 2.利用面面平行的判定定理 . 3.利用面面平行的判定定理的推论 . 4.面面平行的传递性(α∥β,β∥γ?α∥γ) .面面平行的传递性 ∥ , ∥ ? ∥ 5.利用线面垂直的性质(l⊥α,l⊥β?α∥β) .利用线面垂直的性质 ⊥ , ⊥ ? ∥

一、把脉考情 从近两年的高考试题来看,直线与平面平行的判定, 从近两年的高考试题来看,直线与平面平行的判定, 以及平面与平面平行的判定是高考的热点, 以及平面与平面平行的判定是高考的热点,题型既有选择 题、填空题,也有解答题,难度为中等偏高;本节主要考 填空题,也有解答题,难度为中等偏高; 查线面平行的判定,考查线∥ 查线面平行的判定,考查线∥线?线∥面?面∥面的转化思 想,并且考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力. 并且考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力. 预测2012年高考仍将以线面平行的判定为主要考查 年高考仍将以线面平行的判定为主要考查 预测 点,重点考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力. 重点考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.

二、考题诊断 1.(2010·山东高考 在空间中,下列命题正确的是 . 山东高考)在空间中 山东高考 在空间中,下列命题正确的是( A.平行直线的平行投影重合 . B.平行于同一直线的两个平面平行 . C.垂直于同一平面的两个平面平行 . D.垂直于同一平面的两条直线平行 . 解析:两平行直线的投影不一定重合, 解析:两平行直线的投影不一定重合,故A错;由空 错 间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与 性质定理可知B、 均错误 均错误. 性质定理可知 、C均错误. 答案: 答案:D )

2.(2010·浙江高考 设l,m是两条不同的直线,α是一个平 . 浙江高考)设 , 是两条不同的直线 是两条不同的直线, 是一个平 浙江高考 面,则下列命题正确的是 A.若l⊥m,m?α,则l⊥α . ⊥ , ? , ⊥ B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α . ⊥ ,∥ , ⊥ C.若l∥α,m?α,则l∥m . ∥ , ? , ∥ D.若l∥α,m∥α,则l∥m . ∥ , ∥ , ∥ 解析:根据定理: 解析:根据定理:两条平行线中的一条垂直于一个 平面,另一条也垂直于这个平面知 正确 正确. 平面,另一条也垂直于这个平面知B正确. 答案: 答案:B ( )

3.(2010·浙江高考第Ⅰ问)如图,在平 . 浙江高考第Ⅰ 如图 如图, 浙江高考第 行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC 中 行四边形 = , 为线段AB的中点 =120°,E为线段 的中点,将△ADE ° 为线段 的中点, 沿直线DE翻折成△ 沿直线 翻折成△A′DE,使平面 翻折成 ,使平面A′ DE⊥平面BCD,F为线段 ⊥平面 为线段A′C的中点. 的中点. , 为线段 的中点 求证: ∥平面A′DE; 求证:BF∥平面 ;

证明: 证明:取 A′D 的中点 G,连结 GF,GE,由条 ′ , , , 1 件易知 FG∥CD,FG= CD, ∥ , = , 2 1 又∵BE∥CD,BE= CD, ∥ , = , 2 所以 FG∥BE,FG=BE,故四边形 BEGF 为平 ∥ , = , 行四边形, 行四边形, 所以 BF∥EG. ∥ 因为 EG?平面 A′DE,BF?平面 A′DE, ? ′ , ? ′ , 所以 BF∥平面 A′DE. ∥ ′

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