微积分基本定理

1.6 微积分基本定理 学案 审核:高二数学全体成员 日期:2013 年 3 月 12 日 【学习目标】 1、通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿 -莱布尼兹公式求简 单的定积分 2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 学习重点,难点:1、微积分基本定理的内容 2、用微积分基本定理的求简单的定积分 【学习过程】 一、复习: 定积分的概念: 用定义计算定积分方法步骤: 二、新课探究: 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂, 所以不是求定积分的一般 方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t)( ), 则物体在时间间隔 即 = 内经过的路程可用速度函数表示为 。 上的增量 来表达,

另一方面, 这段路程还可以通过位置函数 S (t) 在



。 对于一般函数

,设

,是否也有 )的数值差

若上式成立,我们就找到了用 的原函数(即满足 来计算 在 上的定积分的方法。 微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式

一般的,如果函数

那么, 。这就是微积分基本定理,也叫牛顿——莱布尼兹

公式。 也记作: = 。

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一 般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥 梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效 方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启 下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重 要最辉煌的成果。 思考并回答下列问题:

(2)计算定积分

的关键是什么?

(4)利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函 ( 4 )利 用 基本 初等 函 数 的求 导 公式 求 下 列函 数 的原 函 数

例题精析 例 1.计算下列定积分: (1) ; (2) 。

解:(1)

(2) 例 2.计算下列定积分: 。 由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 可以发现,定积分的值可能取_______也可能取________,还可能是______: ( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时(图 1 ) ,定积分的值取_________,且等 于_____________________________.

图1 (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时(图 2) ,定积分的值取____________,且 等于____________________________.

图2 ( 3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积 分的值为_____________图 3) , 且等于___________________________________________.

[:]

图3

当堂练习。
1:计算 ; 2、计算 ;

3、计算

.

小结:微积分基本定理的内容。

◆作业: 1.课本 P55 练习(1)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)


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