湖南省怀化市2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题

怀化市教育局

注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。 2.考生作答时,选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上,在本试卷上答题无效。考生在答题卡上按答 题卡中注意事项的要求答题。 3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。 4.本试题卷共 4 页,如有缺页,考生须声明,否则后果自负。

2013 年怀化市高三第二次模拟考试统一检测试卷


命题人:石水生

学(理科)
审题人:李满禁、唐青波、蒋良银、张理科

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分. 时量:120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上. 1. tan3 的值为 A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.不存在 2. 已知集合 N ? {x | x ? 6 x ? q ? 0}, M ? {x | x ? px ? 6 ? 0}, 若M ? N ? {2}, 则 p ? q 的值 为 A.21 B.8 C.7 D.6
2 2

3.如图是一个空间几何体的三视图,其体积为 12? ? A.5 B.4 C.3

8 5 ,则图中 x 的值是 3
D.2

4.实数 a 的值由右上面程序框图算出,则二项式 ( x ? ) 9 展 开式的常数项为 5 A. T6 ? ?7 5 ? C 9
3 C. T4 ? ?7 3 ? C 9
3 B. T4 ? 53 ? C9 4 D. T4 ? 54 ? C9

a x

5.若数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an an ? 2 ? an ?1 (n ? 3) ,则 a2013 的值为 A.2 B.

1 2

C.1

D. 2

2013

6. 在平面直角坐标系中, 横坐标和纵坐标均为整数的点称为格点, 如果函数 f ( x) 的图象恰好 通 过 k (k ? N ) 个格点,则称函数 f ( x) 为 k 阶格点函数. 给出下列 4 个函数:
*

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① f ( x) ? ? cos(

?

1 2 ? x) ;② f ( x) ? ( ) x ;③ f ( x) ? ? log 2 x ;④ f ( x) ? 2? ? x ? 3? ? 5 . 2 3

其中是一阶格点函数的是 A.①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④ 7.将一枚骰子先后抛掷两次,若第一次朝上一面的点数为 a ,第二次朝上一面的点数为 b ,则函 数 y ? ax ? 2bx ? 1 在 (??, ] 上为减函数的概率是
2

1 2

3 1 5 C. D. 4 6 6 8.下图展示了一个由区间 (0, k ) (其中 k 为一正实数)到实数集 R 上的映射过程:区间 (0, k ) 中的
A. B.
3 的椭圆,使两端点 2 A 、 B 恰好重合于椭圆的一个短轴端点,如图 2 ;再将这个椭圆放在平面直角坐标系中,使 其中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,已知此时点 A 的坐标为 (0, 1) ,如图 3,在图形变化过程 ( 中,图 1 中线段 AM 的长度对应于图 3 中的椭圆弧 ADM 的长度.图 3 中直线 AM 与直线 y ? ?2 交于点 N (n, ?2) ,则与实数 m 对应的实数就是 n ,记作 f (m) ? n ,

1 4

实数 m 对应线段 AB 上的点 M ,如图 1; 将线段 AB 围成一个离心率为

现给出下列 5 个命题 ① f ( )?6;

k 2

②函数 f (m) 是奇函数;③函数 f (m) 在 (0, k ) 上单调递增;

④.函数 f (m)

的图象关于点 ( , 0) 对称;⑤函数 f (m) ? 3 3 时 AM 过椭圆的右焦点.其中所有的真命题是: A.①③⑤ B.②③④ C.②③⑤ D.③④⑤

k 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 把答案填在答题卡上的相 应横线上. (一)选作题(请考生在 9、10、11 三题中任选 2 题作答,如果全做,则按前 2 题记分)

?? ? 9.以极坐标系中的点 ?1 , ? 为圆心,1 为半径的圆的极坐标方程是 6? ?
10.函数 y ? 3 x ? 1 ? 4 5 ? x 的最大值是 . .



11.如图,圆 O 的半径为 3,从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC ,圆心 O 到 AC 的距离为 2 2 , AB ? 3 ,则切线 AD 的长为 (二)必作题(12~16 题) 12.如右图,函数 y ? f ( x) 的图象在点 P 处的切线 方程为 y ? ? x ? 5 ,则 f (3) ? f ? (3) = 13.已知
b 2 ? ai ? b ? 2i 求 ? (3 x 2 ? 1)dx ? a 1? i

. .

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?x ? 1 ? 14.若不等式组 ? y ? x ? 1 所确定的平面区域的面积为 0,则实数 a 的取值范围为 . ?x ? y ? a ? 15. 定义在 R 上的函数 f ( x) ,g ( x) 满足 f ( x) ? ? f (? x) ,g ( x) ? g ( x ? 2) , f (?1) ? g (1) ? 3 若 且 g (2nf (1)) ? nf ( f (1) ? g ( ?1)) ? 2(n ? N ) ,则 g (?6) ? f (0) =____. 16.用 n 个不同的实数 a1 , a2 , ???, an 可以得到 n ! 个不同的排列,每 个排列为一行,写出一个 n ! 行的数阵,对第 i 行 ai1 , ai 2 , ???, ain ,
记 bi ? ? ai1 ? 2ai 2 ? 3ai 3 ? ??? ? (?1) n nain , i ? 1, 2,3, 4,? , n ! . 例如:用 1,2,3,可得数阵如图所示,则 b1 ? b2 ? ??? ? b6 = 那么在用 1,2,3,4,5 形成的数阵中, b1 ? b2 ? ??? ? b5! = ; .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 1. 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若向量 ?? ? m ? (1,sin A) 与向量 n ? (2, sin B) 共线,求 a 、 b 的值.

18. (本小题满分 12 分) 某高校在 2013 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩共分五组,得到频率分 布表如下表所示。 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) 频数 5 35 30 b 10 频率 0.05 0.35 a 0.2 0.1

(Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)为了能选出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽 取 12 人进入第二轮面试,求第 3、4、5 组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试;考生李翔 的笔试成绩为 178 分,但不幸没入选这 100 人中,那这样的筛选方法对该生而言公平吗?为 什么? (Ⅲ)在(2)的前提下,学校决定在 12 人中随机抽取 3 人接受“王教授”的面试,设第 4 组中被 抽取参加“王教授”面试的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,四面体 ABCD 中, O 、 E 分别是 BD 、 BC 的中点,

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CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2. (Ⅰ)求证: AO ? 平面 BCD ; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 CD 所成角余弦值的大小; (Ⅲ)求点 E 到平面 ACD 的距离.
20. (本小题满分 13 分) 怀化市某棚户区改造工程规划用地近似为图中半径为 R 的圆面, 图中圆 内接四边形 ABCD 为拟定拆迁的棚户区, 测得 AB ? AD ? 4 百米,BC ? 6 百米, CD ? 2 百米. (Ⅰ)请计算原棚户区 ABCD 的面积及圆面的半径 R ; (Ⅱ)因地理条件的限制,边界 AD , DC 不能变更,而边界 AB , BC ( 可以调整,为了提高棚户区改造建设用地的利用率,请在圆弧 ABC 上求出 一点 P ,使得棚户区改造的新建筑用地 APCD 的面积最大,并求最大值.

21. (本小题满分 13 分) 在直角坐标平面内,y 轴右侧的一动点 P 到点 ( , 0) 的距离比它到 y 轴的距离大 . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 Q 为曲线 C 上的一个动点,点 B , C 在 y 轴上,若 ?QBC 为圆 ( x ? 1) ? y ? 1 的 外切三角形,求 ?QBC 面积的最小值.
2 2

1 2

1 2

22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?

b ? 2 ln x, f (1) ? 0 x

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在其定义域上为单调函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的图像在 x ? 1 处的切线的斜率为 0, an ?1 ? f ?(

1 ) ? n 2 ? 1 ,已知 an ? n ? 1

a1 ? 4, 求证: an ? 2n ? 2
(Ⅲ)在(2)的条件下,试比较 由.

2 1 1 1 1 与 的大小,并说明理 ? ? ?? ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a3 1 ? an 5

2013 年怀化市高三第二次模拟考试统一检测试卷

高三数学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题( 5/ ? 8 ? 40 / )

怀化市教育局

题号 答案 二、填空题( 5/ ? 6 ? 30 / ) B

1

2 A

3 C

4 C

5 A

6 D

7 D

8 D

?? ? 选做:9. ? ? 2cos ? ? ? ? ; 6? ?
必做:12.3; 三、解答题: 17 解:(Ⅰ) f ( x) ? 当 2x ? 13.24;

10.10; 14. a ? 3 ;

11. 15 ;

15.2;

16.-24 , -1080 .

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 = sin(2 x ? ) ? 1 ………………. 3 分 2 2 6

?
6

? 2 k? ?

?
2

, K ? Z , 即 x ? k? ?

?
6

, k ? Z 时,.

f(x)取得最小值 ?2 ,f(x)的最小正周期为 π.???????6 分 (Ⅱ)由 c ?

3, f (C ) ? 0, 得 C ?

?
3

由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? ab ? 3 ???????8 分 由向量 m =(1,sinA)与向量 n ? (2,sin B) 共线,得 sinB=2sinA 由正弦定理得 b=2a???????10 分

??

?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 3 解方程组 ? 得 a=1,b=2???????12 分 b ? 2a ?
18 解: (Ⅰ)由题意知, 5 组频率总和为 1 ,故第 3 组频率为 0.3 , 所以 a ? 0.3 ??????2 分 总的频数为 100 ,因此第 4 组的频数为 20 ,即 b ? 20 ????4 分

4 5 (Ⅱ)第 3、、 组共 60 名学生,现抽取 12 人,因此第 3 组抽取的人数为:
抽取的人数为:

30 ?12=6 人,第 4 组 60

20 10 ?12=4 人,第 5 组抽取的人数为: ?12=2 人?????7 分 60 60 公平:因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取 100 人,每个人被抽到的概率是相
同的?????8 分(只写“公平”二字,不写理由,不给分)

(Ⅲ) ? 的可能取值为 0、 2 3. 1、、
1 2 C8C4 12 ? 3 C12 55

P(? ? 0) ?

C83 14 ? 3 C12 55

P(? ? 1) ?

1 C82C4 28 ? 3 C12 55

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

3 C4 1 ? 3 C12 55

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? 的分布列为:

? E? ? 0 ?

14 28 12 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 ?????12 分 55 55 55 55
A

19(Ⅰ)证明:连结 OC

? BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. ? BO ? DO, BC ? CD,? CO ? BD.
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,

M O D C

? AO 2 ? CO 2 ? AC 2 , B ??AOC ? 90o , 即 AO ? OC. ? BD ? OC ? O, ? AO ? 平面 BCD ??????4 分

E

(Ⅱ)解:取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC ? 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角 在 ?OME 中,

EM ?

1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, 2 2 2
1 AC ? 1, 2

? OM 是直角 ?AOC 斜边 AC 上的中线,? OM ?
? cos ?OEM ? 2 4
??????8 分

(Ⅲ)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h. 确规定

?VE ? ACD ? VA?CDE , 1 1 ? h.S ?ACD ? . AO.S ?CDE . 3 3 在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2,
1 2 7 ? S ?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( ) 2 ? . 2 2 2
而 AO ? 1, S ?CDE ?

z

A

D O x B E C y

?h ?

AO.S ?CDE S ?ACD

1 3 2 3 ? ?2 ? , 2 4 2 3 1? 2 ? 21 . ? 7 7 2
21 . ??????12 分 7

? 点 E 到平面 ACD 的距离为

方法二: (Ⅰ)同方法一. (Ⅱ)解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系,则 B (1, 0, 0), D ( ?1, 0, 0),

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??? ? ??? ? 1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? ( ?1, 0,1), CD ? ( ?1, ? 3, 0). 2 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? BA.CD 2 ? cos ? BA, CD ?? ??? ??? ? , ? ? 4 BA CD

2 . ? 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 4 ? (Ⅲ)解:设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则 ? ???? ?n. AD ? ( x, y, z ).(? 1, 0, ? 1) ? 0, ? x ? z ? 0, ? ? ?? ? ? ???? ? 3 y ? z ? 0. ?n. AC ? ( x, y, z ).(0, 3, ? 1) ? 0, ? ?
令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量,

?

又 EC ? (?

??? ?

??? ? ? EC.n 3 21 ? 点 E 到平面 ACD 的距离 h ? ? ? ? . 7 7 n
20 解:(Ⅰ)因为四边形 ABCD 内接于圆,所以∠ABC+∠ADC=1800 , 连接 AC,由余弦定理得:

1 3 , , 0), 2 2

AC 2 ? 42 ? 62 ? 2 ? 4 ? 6 ? cos ?ABC ? 42 ? 22 ? 2 ? 2 ? 4 ? cos ?ADC 1 ? ∴ cos ?ABC ? ,∵ ?ABC ? (0, ? ) 故 ?ABC ? 2 3 1 1 ∴ S四边形ABCD ? ? 4 ? 6 ? sin 600 ? ? 2 ? 4 ? sin1200 ? 8 3 (万平方米) 2 2 在△ABC 中,有余弦定理求得 AC ? 2 7 ,

2 7 4 21 2 21 ????????6 分 ? ,? R ? 3 3 3 2 1 (Ⅱ) ? S四边形APCD ? S ?ADC ? S ?APC , 又 S ?ADC ? AD ? CD ? sin1200 ? 2 3 2 1 3 设 AP=x,CP=y,则 S ?APC ? xy sin 600 ? xy ,由余弦定理得: 2 4 AC 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy cos 600 ? x 2 ? y 2 ? xy ? 28 ,
由正弦定理得: 2 R ?

? x 2 ? y 2 ? 2 xy,? xy ? 28 (当且仅当 x=y 时等号成立)
? S四边形APCD ? 2 3 ? 3 xy ? 9 3 4 ABC 的中点时,? S四边形APCD 最大,最大值是 9 3 (万平方米)???13 分 ∴当 P 在 ?
21 解: (Ⅰ)由题知点 P 到 F ( ,0) 的距离与它到直线 x ? ? 物线,方程为 y ? 2 x ??????4 分
2

1 2

1 的距离相等,所以点 P 的轨迹是抛 2

(Ⅱ)设 Q ( x0 , y 0 ), B (0, b), C (0, c) ,则 QB : y ? b ?

y0 ? b x x0

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即 ( y 0 ? b) x ? x0 y ? x0 b ? 0

由直线 QB 是圆的切线知

| y 0 ? b ? x0 b | ( y 0 ? b) 2 ? x0
2

? 1 即 ( x0 ? 2)b 2 ? 2 y 0 b ? x0 ? 0

同理∵ x0 ? 0, ( x0 ? 2)c 2 ? 2 y0 c ? x0 ? 0 所以 b, c 是方程 ( x0 ? 2)t ? 2 y 0 t ? x0 ? 0 的两根
2

?b ? c ? ?

2 y0 x , bc ? ? 0 x0 ? 2 x0 ? 2

??????8 分

? S ΔQBC ?

4 y0 4 x0 1 1 | b ? c | x0 ? ? ? x0 2 2 2 ( x0 ? 2) x0 ? 2
x0 x0 由题知 x0 ? 2 ? S ΔQBC ? 令 t ? x0 ? 2 ? | x0 ? 2 | x0 ? 2
2 2

2

又 y 0 ? 2x0 ? S ΔQBC

2

则 S ?QBC ?

(t ? 2) 2 4 ? t ? ? 4 ≥4 ? 4 ? 8 当 t ? 2 即 x0 ? 4 时,取“ ? ” t t

? ΔQBC 面积的最小值为 8 ??????12 分

22 解:(Ⅰ) ∵f(1)=a-b=0 ∴a=b ∴ f ?( x) ? a ?

∴ f ( x) ? ax ?

a ? 2 ln x x

a 2 ax 2 ? 2 x ? a ? ? x2 x x2

要使函数 f ( x) 在其定义域上为单调函数,则在定义域(0,+∞)内 f ?( x) 恒 大于等于 0 或恒小于等于 0, 当 a=0 时, f ?( x) ? ? 当 a>0 时, f ?( x) ?

2 ? 0 在(0,+∞)内恒成立; x

ax 2 ? 2 x ? a ? 0 恒成立,则 ? ? 4 ? 4a 2 ? 0 ∴ a ? 1 2 x ax 2 ? 2 x ? a ? 0 恒成立 x2

当 a<0 时, f ?( x) ?

∴a 的取值范围是: ? ??, 0? ? ?1, ?? ? ???????5 分

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(Ⅱ) f ?(1) ? a ? a ? 2 ? 0 于是 an ?1 ? f ?(

∴a=1

则: f ?( x) ? ( ? 1) 2

1 x

1 2 ) ? n 2 ? 1 ? (an ? n) 2 ? n 2 ? 1 ? an ? 2nan ? 1 an ? n ? 1

用数学归纳法证明 an ? 2n ? 2 如下: 当 n=1 时, a1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2 ,不等式成立; 假设当 n=k 时,不等式 ak ? 2k ? 2 成立,即 an ? 2k ? 2 也成立, 当 n=k+1 时, ak ?1 ? ak (ak ? 2k ) ? 1 ? (2k ? 2) ? 2 ? 1 ? 4k ? 5 ? 2( k ? 1) ? 2 所以当 n=k+1 时不等式成立, 综上得对所有 n ? N ? 时,都有 an ? 2n ? 2 ???????10 分

2 (Ⅲ)由(2)得 an ? an ?1 ? 2(n ? 1)an ?1 ? 1 ? an ?1 (an ?1 ? 2n ? 2) ? 1

? an ?1 ? 2(n ? 1) ? 2 ? 2n ? 2? ? 1 ? 2an ?1 ? 1
于是 an ? 1 ? 2(a1 ? 1)(n ? 2) 所以 a2 ? 1 ? 2(a1 ? 1), a3 ? 1 ? 2(a2 ? 1), ?, an ? 1 ? 2(an ?1 ? 1), 累称得: an ? 1 ? 2n ?1 (a1 ? 1), 则

1 1 1 ? n ?1 ? (n ? 2) 1 ? an 2 1 ? a1

所以

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? (1 ? ? 2 ? ??? ? n ?1 ) 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 1 ? a1 2 2 2
2 1 2 (1 ? n ) ? ???????13 分 5 2 5

?


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