丹东市2014届高三总复习阶段测试理科数学试卷及答案

2014 届高三总复习阶段测试

数学(供理科考生使用)
命题:宋润生 邰晓红 张 健 审核:宋润生 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分, 其中第 II 卷第(22)题~第(24) 题为选考题,其它题为必考题.第 I 卷 1 至 3 页,第 II 卷 3 至 6 页.考试结束后,将本 试卷和答题卡一并交回.

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. (1)设集合 A ? {3, 2lg x} , B ? {x, y} ,若 A ? B ? {2} ,则 A ? B ? (A) {2,3} (C) { (B) {2,3,10} (D) {

1 , 2,3} 10

1 , 2,3,10} 10

(2)等差数列 {an } 中, a1 ? a5 ? 10 , a4 ? 7 ,则数列 {an } 的公差为 (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

(3)已知 ? 是第三象限角, cos ? ? ?

1 ,则 tan ? ? 3
(C) 2 (D) 2 2

(A)

2 4

(B)

2 2

(4)公比为 2 的等比数列{ an }的各项都是正数,且 a3a9 ? 16 ,则 a5 ? (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

(5)已知 | a |? 1 , | b |? 2 , c ? a ? b ,若 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角是 (A) 30
?

(B) 60

?

(C) 120

?

(D) 150

?

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(6)已知 f ?( x) 是函数 f ( x) ? cos x 的导函数,若 g ( x) ? f ( x) ? 3 f ?( x) ,则使函数

y ? g ( x ? ? ) 是偶函数的一个 ? 值是
(A)

? 6

(B) ?
3

?
6
2

(C)

? 3

(D) ?

?
3

(7)已知 f ?( x) 是函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x(a ? R) 的导函数,若 f ?(x) 满足

f ?(x ? 1) ? f ?(1 ? x) ,则以下结论正确的是
(A)函数 f ( x) 的极大值为 0 (B)函数 f ( x) 的极小值为 5 (C)函数 f ( x) 的极大值为 27 (D)函数 f ( x) 的极小值为 ?27 (8)已知定义域是 (?3,3) 的奇函数 f ( x) ,当 0 ? x ? 3 时, f ( x) ? 2
2 x ?2

? a ,若函数

f ( x) 在 (?2, ?1) 上有零点,则实数 a 的取值范围是
(A) (

1 1 , ) 26 2 4

(B) ( , 4)

1 4

(C) (?1, ?4)

(D) (1, 4)

(9)在△ ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,已知 a、b、c 成等比数列, 且 a ? c ? ac ? bc ,则
2 2

c ? b sin B
3 2
(C)
*

(A)

1 2

(B)

2 3 3

(D) 3

(10)数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? pan ? p(n ? N , p ? R, p ? 0) ,则“ p ? 1 ”是“数 列 {an } 是等差数列”的 (A)充分不必要条件 (C)充分且必要条件 (B)必要不充分条件 (D)不充分也不必要条件

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(11)已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,函数 g ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x) ,若对于任意的 正数 a ,函数 g ( x) 都是其定义域上的增函数,则函数 y ? f ( x) 的图象可能是 y y y y

O x (A)

O x (B) O (C) x

O x (D)

(12)已知 e 为自然对数的底数,若对任意的 x ? [ ,1] ,总存在唯一的 y ?[?1,1] , 使得 ln x ? x ? 1 ? a ? y 2e y 成立,则实数 a 的取值范围是

1 e

1 e 2 (C) ( , ??) e
(A) [ , e]

2 e 2 1 (D) ( , e ? ) e e
(B) ( , e]

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生 都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13)由幂函数 y ? x 和 y ? x 的图象围成的封闭图形的面积是
3

1 2



(14)对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式: 2 =1+3;3 =1+3+5;4 =1+3+5+7; 2 =3+5;3 =7+9+11;4 =13+15+17+19. 根据上述分解规律,若 m ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 11 , n 的分解中最小的正整数是 21,
2 3

2

2

2

3

3

3

则 m?n ?



(15)在△ ABC 中, AB ? 1 , AC ? 3 , D 是 BC 边的中点,则 AD ? BC ? (16)若直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ?| x ? 围是 .
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???? ??? ?



1 1 | ? | x ? | 有四个公共点,则实数 k 的取值范 x x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 设 S n 表示数列 {an } 的前 n 项和. (I) 已知 {an } 是首项为 a1 , 公差为 d 的等差数列, 推导 S n 的计算公式 (用含有 a1 和 ; d 的式子表示) (II)已知 a1 ? 1 , q ? 0 ,且对所有正整数 n ,都有 S n ? 等比数列.

1 ? qn ,判断 {an } 是否为 1? q

(18) (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? f ( x) 的图象是由 y ? sin x 图象经过如下三个步骤变化得到的: ①将 y ? sin x 的图象的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ②将①中图象整体向左平移

? 个单位; 6

1 ; 2

③将②中的图象的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍. (I)求 f ( x) 的单调递增区间; (II)若 sin(? ?

?
12

)?

3 ,求 f (? ) 的值. 3

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(19) (本小题满分 12 分) 将函数 y ? (sin x ? cos x) 在区间 (0, ??) 内的全部极值点按从小到大的顺序排成数
2

列 {an } . (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)令 bn ? 2n an ,其中 n ?N ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
*

(20) (本小题满分 12 分) 若 ? ? 0 ,向量 m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x) ,n ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x) , 函数 f ( x) ? m ? n 图象中相邻的对称轴间的距离不小于 (I)求 ? 的取值范围; (II)在△ ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,当(I)中的 ? 取最大值, 且 f ( A) ? 1, a ? 3 时,求△ ABC 周长 l 的取值范围.

? . 2

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x 与函数 g ( x) ? x ? (I)求实数 a 的值; (II)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,是否存在自然数 k ,使得函数 h( x ) 的所有极值点 .. 之和在 (k , k ? 1) 内?若存在求出 k 的值,若不存在,请说明理由.

1 ( x ? 0) 均在 x ? x0 时取得最小值. ax

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请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题做答,如果多答,则按答题位置最 、 、 前的题记分.做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上, BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的 延长线上. F A D C

EC 1 ED 1 DC (I)若 的值; ? , ? ,求 EB 3 EA 2 AB
(II)若 EF ? FA ? FB ,证明: EF // CD .
2

B

E

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系内, 已知曲线 C1 的方程为 ? 2 ? 2 ? (cos ? ? 2sin ? ) ? 4 ? 0 , 以极点为原点, 极轴方向为 x 正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数方程 为?

?5 x ? 1 ? 4t ( t 为参数) . ?5 y ? 18 ? 3t
(I)求曲线 C1 的直角坐标方程以及曲线 C 2 的普通方程; (II)设点 P 为曲线 C 2 上的动点,过点 P 作曲线 C1 的两条切线,求这两条切线所成

角余弦值的取值范围.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| . (I)不等式 f ( x) ? a 的解集为 {x | 0 ? x ? 1} ,求 a 值; (II)若 g ( x) ?

1 的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围. f ( x) ? f ( x ? 1) ? m
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数学(理科)参考答案与评分标准
说明: 一、本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (1)B (2)C (3)D (4)B (5)C (6)D (7)D (8)D (9)C (10)A (11)A (12)B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13)

5 12

(14) 11
2 x ?2

(15) 4

(16) {? , 0, }

1 8

1 8

部分小题提示: (8)当 0 ? x ? 3 时, f ( x) ? 2 有零点,因此 ?
2 2

? a 单调递增,由对称性,只要函数 f ( x) 在 (1, 2) 上

? f (1) ? 0 ,解得 1 ? a ? 4 ; ? f (2) ? 0
2 2 2 2

(9)∵ a ? c ? ac ? bc , b ? ac ,∴ a ? b ? c ? bc , cos A ?

1 ? ,∴ A ? , 2 3



c 2ac 2 3 b sin A 3b a b ? ? ? ,∴ sin B ? ,∴ ; ? b sin B 3 a 2a sin A sin B 3b 2
*

(10)方法 1:当 p ? 1 时, an ?1 ? an ? 1(n ? N ) ,∴数列 {an } 是等差数列; 由已知 a1 ? 1 , a2 ? 2 p , a3 ? 2 p ? p ,若数列 {an } 是等差数列,那么
2

由 a1 ? a3 ? 2a2 ,得 p ? 1 或 p ? 当p?

1 , 2

1 时,数列 {an } 是常数列 1,1,1,?,,是等差数列, 2 1 ; 2

∴若数列 {an } 是等差数列,则 p ? 1 或 p ?
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方法 2:当 p ? 1 时, an ?1 ? an ? 1(n ? N ) ,∴数列 {an } 是等差数列;
*

若数列 {an } 是等差数列,则 an ?1 ? an 是常数, ∵ an ?1 ? pan ? p(n ? N , p ? R, p ? 0) ,
*

∴ ( p ? 1)an ? (an ?1 ? an ) ? p ,∴ ( p ? 1)an 是常数, ∴ p ? 1 ? 0 或 an 是常数,∴ p ? 1 或 p ?

1 , 2
1 ; 2

即若数列 {an } 是等差数列,则 p ? 1 或 p ?
*

方法 3:当 p ? 1 时, an ?1 ? an ? 1(n ? N ) ,∴数列 {an } 是等差数列; ∵ an ?1 ? pan ? p ,所以 当 p ? 1 时, an ?1 ? 若 a1 ?

p p ? p(an ? ), p ?1 p ?1

p p p 1 , ? 0 ,即 p ? ,则 an ? (a1 ? ) p n ?1 ? p ?1 p ?1 p ?1 2 p ) p n ?1 ( p ? 1) 不是常数,∴数列 {an } 不是等差数列, p ?1

an ?1 ? an ? (a1 ?
若 a1 ?

p p 1 ? 0 ,即 p ? ,则 an ? ? 0 , an ? 1 , p ?1 p ?1 2

∴数列 {an } 不是等差数列, 因此若数列 {an } 是等差数列,则 p ? 1 或 p ?

1 ; 2

(11)∵函数 g ( x) 都是其定义域上的增函数,∴ g ?( x) ? 0 , ∵ g ?( x) ? f ?( x ? a) ? f ?( x) ,∴ f ?( x ? a) ? f ?( x) ,∵ a ? 0 , ∴根据导数的几何意义(切线斜率) ,函数 y ? f ( x) 的图象可能是(A) (12)设 f ( x) ? ln x ? x ? 1 ? a ,当 x ? [ ,1] 时, f ?( x) ? ∴ x ? [ ,1] 时, f ( x) ? [a ? , a] ,

1 e

1? x ? 0 , f ( x) 是增函数, x

1 e

1 e

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设 g ( y ) ? y e ,∵对任意的 x ? [ ,1] ,总存在唯一的 y ?[?1,1] ,
2 y

1 e

使得 ln x ? x ? 1 ? a ? y 2e y 成立, ∴ [a ? , a] 是 g ( y ) 的不含极值点的单值区间的子集, ∵ g ? ( y ) ? e y (2 ? y ) ,∴ y ?[?1,1] 时, y
y

1 e

若 y ?[?1,0) , g ? ( y ) ? 0 , g ( y ) 是减函数, y 若 y ? (0,1] , g ? ( y ) ? 0 , g ( y ) 是增函数, y ∵ g (?1) ?

1 1 1 2 ? e ? g (1) ,∴ [a ? , a] ? ( , e] ,∴ ? a ? e ; e e e e

? 2 x, 0 ? x ? 1 1 1 ? (16)函数 y ?| x ? | ? | x ? | 是偶函数,当 x ? 0 时, y ? ? 2 , x x ?x , x ?1 ? ? 2 x, 0 ? x ? 1 1 ? 若直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? ? 2 的切线,则 k ? , 8 ?x , x ?1 ?
由对称性画图象知,若直线与切线有四个公共点,则实数 k 的取值范围是

1 1 {? , 0, } . 8 8
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. (17) (本小题满分 12 分) 解: (I)∵ ? 分) ∴?

? S n ? a1 ? a2 ? ??? ? an , a n ? a1 ? (n ? 1)d , ? S n ? an ? an ?1 ? ??? ? a1

???(2

? S n ? a1 ? (a1 ? d ) ? ??? ? (a1 ? (n ? 1)d ) , ? S n ? an ? (an ? d ) ? ??? ? (an ? (n ? 1)d )
n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d; 2 2

??? 分) (4

∴ Sn ?

??? 分) (6

注:①写成 Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? ??? ? (a1 ? (n ? 1)d ) ? na1 ? [1 ? 2 ? ??? ? (n ? 1)]d
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直接利用 1 ? 2 ? ??? ? (n ? 1) ?

n(n ? 1) n(n ? 1) 导出 Sn ? na1 ? d 不给分; 2 2

②写成 Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? ??? ? (a1 ? (n ? 1)d ) ? na1 ? [1 ? 2 ? ??? ? (n ? 1)]d , 在设 Tn ? 1 ? 2 ? ??? ? (n ? 1) ,写成 Tn ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ??? ? 1 , 导出 1 ? 2 ? ??? ? (n ? 1) ? (II)由题意知 q ? 1 , 当 n ? 2, n ? N 时,an ? Sn ? Sn ?1 ? q n ?1 ,
*

n(n ? 1) n(n ? 1) ,进一步得出 Sn ? na1 ? d 给满分. 2 2

??? 分) (8 ??? (10 分) ???(12

∵ q ? 0 ,∴当 n ? 1 时,q n ?1 ? 1 ? a1 , ∴ an ? q n ?1 ,∴ 数列{an } 是首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 1 的等比数列. 分) (18) (本小题满分 12 分) 解: (I)变换①得到函数 y ? sin 2 x 图象, 变换②得到函数 y ? sin(2 x ?

???(1 分) ??? (3 分) ??? 分) (4

?
3

) 图象,

变换③得到函数 y ? 2sin(2 x ? 由 2k? ?

?
3

) 图象,

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?

[ k? ?

5? ? , k? ? ](k ? Z) ; 12 12

2

,得到函数 f ( x) 的单调递增区间是 ??? 分) (6

(II) f (? ) ? 2sin(2? ? 分) ∵ sin(? ? 分) ∴ f (? ) ?

?

) ? 2cos( ? 2? ) ? 2cos 2(? ? ) , 3 6 12

?

?

???(8

?
12

)?

3 ? ? 1 2 ,∴ cos 2(? ? ) ? 1 ? 2sin (? ? ) ? , 3 12 12 3

???(10

2 . 3

???(12

分) (19) (本小题满分 12 分)
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解: (I) f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ,
2

其极值点为 x ?

kπ π ? (k ? Z) , 2 4

??? 分) (2
π π 为首项, 为公差的等差数列, 4 2

它在区间 (0, ??) 内的全部极值点构成以 ∴ an ?
π π π ? (n ? 1) ? (2n ? 1) ; 4 2 4 π (2n ? 1) ? 2n 4

??? 分) (6

(II)∵ bn ? 2n an ?

π π ∴ Tn ? [1 ? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ] , T1 ? , ∴ 4 2 π 2Tn ? [1 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1 ] , 4

??? (8 分)

∴当 n ? 2, n ? N 时,相减,
*

π 得 ?Tn ? [1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1 ] , 4

??? (10 分)

∴ Tn ?

π [(2n ? 3) ? 2n ? 3] , 2 π [(2n ? 3) ? 2n ? 3]. 2
???(12

综上,数列 {nbn } 的前 n 项和 Tn ? 分) (20) (本小题满分 12 分)

解: (I) f ( x) ? m ? n ? cos ? x ? sin ? x ? 2 3 cos ? x sin ? x
2 2

??? (2 分) ??? 分) (4 ??? 分) (6

? cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin(2?x ?
由题意知

?
6

),

? ? ? , ? ? 0 ?0 ? ? ? 1 ; 2? 2

) ? 1,由于(I)知 ? 的最大值为 1, 6 ? 1 ? ? 13 ? ???(8 分) ? sin(2 A ? ) ? ,又 ? 2 A ? ? ? ,∴ A ? , 6 2 6 6 6 3
(II)方法 1:由于 f ( A) ? 2 sin(2?A ? ∵ a ? 3 ,由正弦定理得

?

b c a 3 ? ? ? ? 2, 2? sin C sin A sin ? sin( ? C) 3 3
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2? ? C) , 3 2? ? ? 周长l ? 2sin C ? 2sin( ? C ) ? 3 ? 2 3 sin(C ? ) + 3 , 3 6 2? ? ? 5? ,? C ? ? ( , ) , ?0 ? C ? 3 6 6 6 ? b ? 2sin C,c ? 2sin(
∴△ ABC 周长的取值范围是 (2 3,3 3] . 方法 2:由于 f ( A) ? 2 sin(2?A ? ??? (12 分)

?
6

) ? 1,由于(I)知 ? 的最大值为 1,
???(8 分)

? 1 ? ? 13 ? ? sin(2 A ? ) ? ,又 ? 2 A ? ? ? ,∴ A ? , 6 2 6 6 6 3
由余弦定理得 3 ? b ? c ? bc ,∴ (b ? c) ? 3 ? 3bc ,
2 2
2

∵ bc ? (

b?c 2 ) ,∴ b ? c ? 2 3 ,当 b ? c 取等号, 2

∵ b ? c ? a ? 3 ,∴ 周长l ? a ? b ? c ? (2 3,3 3] , 即△ ABC 周长 l 的取值范围是 (2 3,3 3] . (21) (本小题满分 12 分) 解: (I) f ?( x) ? ln x ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? ??? (12 分)

x
f ?( x) f ( x)
∴当 x ? 分)

1 (0, ) e ?
?

1 ,列表: e 1 e 0

1 ( , ??) e
?

极小值 ?

1 e

?
???(3

1 1 时,函数 f ( x) ? x ln x 取得最小值,∴ x0 ? , e e

当 a ? 0 时,函数 g ( x) 是增函数,在 (0, ??) 没有最小值, 当 a ? 0 时,函数 g ( x) ? x ?

1 1 ?2 , ax a

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是最小值, 取等号时,x0 ?

1 , a

??? (5 分)

由 分)

1 1 ? ,得 a ? e2 ; a e

???(6

(II) h( x) ? x ln x ? x ? ∵ h??( x) ?

1 1 , h?( x) ? ln x ? 2 2 , 2 e x e x

e2 x 2 ? 2 2 2 ) 递减,在 ( , ??) 递增, ,∴ h?( x) 在 (0, 2 3 e e e x

由(I)显然 h?( ) ? 0 ,∴ x ? (0, ) 时, h?( x) ? 0 , h( x ) 递增,

1 e

1 e

1 x ? ( , ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递减, e
∴函数 h( x ) 在 (0,

2 1 ) 有唯一极大值点 ; e e

??? 分) (8

∵ h?(

2 2 1 1 2 1 ) ? ln ? ? (ln 2 ? 1) ? 0 , h?(1) ? 2 ? 0 , h?( x) 在 ( , ??) 递增, e e 2 2 e e

∴在 (

2 2 ,1) 存在唯一实数 m ,使得 h?(m) ? 0 , h?( x) 在 ( , ??) 递增, e e 2 , m) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递减, x ? (m, ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递增, e 2 , ??) 有唯一极小值点 m ; e
3 16 2 ? ln 4 3 ? 0 ,∴ m ? ( ,1) 4 e e

∴ x?(

∴函数 h( x ) 在 (

∵ h?( ) ? ln 2 ?

2 e



1 1? 2 e ?1 3 e ?1 ? m?( , ) ,∵ 1 ? ? 2,1 ? ? 2, e e e e e

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∴存在自然数 k ? 1 ,使得函数 h( x ) 的所有极值点之和 ..

1 ? m ? (k , k ? 1) . e
??? (12 分)

(22) (本小题满分 10 分) 解: (I)∵A,B,C,D 四点共圆, ∴ ?EDC ? ?EBF , ∵ ?DEC ? ?AEB , ∴△ EDC ∽△ EBA ,

F A

EC ED DC , ? ? EA EB AB EC 1 ED 1 ∵ ? , ? , EB 3 EA 2
∴ ∴

D

B

E

C

DC 6 ? ; AB 6
2

???(5 分)

EF FB , ? FA FE ∵ ?EFA ? ?BFE ,∴△ FAE ∽△ FEB , ∴ ?FEA ? ?EBF ,又∵ ?EDC ? ?EBF , ∴ ?FEA ? ?EDC ,∴ EF // CD .
(II)∵ EF ? FA ? FB ,∴ (23) (本小题满分 10 分) 解: (I)对于曲线 C1 的方程为 ? 2 ? 2 ? (cos ? ? 2sin ? ) ? 4 ? 0 ,

???(10 分)

可化为直角坐标方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,即 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 ;
2 2 2 2

?5 x ? 1 ? 4t 对于曲线 C2 的参数方程为 ? ( t 为参数) , ?5 y ? 18 ? 3t
可化为普通方程 3x ? 4 y ? 15 ? 0 ; ??? 分) (5

(II)过圆心 (1, ?2) 点作直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 的垂线,此时两切线成角 ? 最大,即 余弦值最小,则由点到直线的距离公式可知,

d?

| 3 ?1 ? 4 ? (?2) ? 15 | 3 ?4
2 2

? 4 ,则 sin

?
2

?

1 7 2 ,因此 cos ? ? 1 ? 2sin ? ? , 4 8 7 8
??? (10 分)

因此两条切线所成角的余弦值的取值范围是 [ ,1) .
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(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解: (I)不等式 f ( x) ? a 等价于 ?a ? 2 x ?1 ? a ,即

1? a 1? a , ?x? 2 2

?1 ? a ? 2 ?0 ? ∵不等式 f ( x) ? a 的解集为 {x | 0 ? x ? 1} ,∴ ? ,a ? 1 ; ?1 ? a ? 1 ? 2 ?
(II) g ( x) ?

???(5 分)

1 , | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | ? m

∵ g ( x) 的定义域为 R ,∴ | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 |? ?m 没有实数根, ∵ | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3|?| (2 x ?1) ? (2 x ? 3) |? 2 ,当 ∴ ?m ? 2 ,实数 m 的取值范围是 (?2, ??) .

1 3 ? x ? 时取等号, 2 2
??? (10 分)

数学(理科)

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