达川区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

达川区第一中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 在复平面内,复数(﹣4+5i)i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 若复数满足 A.1 )

座号_____

姓名__________

分数__________

1? i 7 ? i (为虚数单位),则复数的虚部为( z B. ?1

) C. D. ?i =2,则四面体 D﹣ABC 中最长棱的

3. 如图,四面体 D﹣ABC 的体积为 ,且满足∠ACB=60°,BC=1,AD+ 长度为( )

A.

B.2

C.

D.3 ) )

  4. 二进制数 10101 化为十进制数的结果为( (2) A. 15 A.1 B. 21 B.0 C.﹣1 C. 33 D.0 或﹣1 D. 41

5. 设 a∈R,且(a﹣i)?2i(i 为虚数单位)为正实数,则 a 等于(

  6. 下列正方体或四面体中, P 、 Q 、 R 、 S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图形是 ( )

7. 已知圆 C:x2+y2﹣2x=1,直线 l:y=k(x﹣1)+1,则 l 与 C 的位置关系是(  )

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A.一定相离 B.一定相切 C.相交且一定不过圆心 D.相交且可能过圆心 8. 学校将 5 个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的 4 个班级,其中甲班级至少分配 2 个名额,其它班 级可以不分配或分配多个名额,则不同的分配方案共有( A.20 种B.24 种 C.26 种 D.30 种   9. 已知 i 为虚数单位,则复数 所对应的点在( ) )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.已知 f(x)=x3﹣3x+m,在区间[0,2]上任取三个数 a,b,c,均存在以 f(a) ,f(b) ,f(c)为边长的三 角形,则 m 的取值范围是( A.m>2 B.m>4 ) C.m>6 ) D.m>8

11.函数 f(x)=1﹣xlnx 的零点所在区间是(

A.(0, ) B.( ,1) C.(1,2) D.(2,3)   12.如图,已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 4,点 E,F 分别是线段 AB,C1D1 上的动点,点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点,且满足点 P 到点 F 的距离等于点 P 到平面 ABB1A1 的距离,则当点 P 运动时,PE 的最小 值是( )

A.5    

B.4

C.4

D.2

二、填空题
13.正六棱台的两底面边长分别为 1cm,2cm,高是 1cm,它的侧面积为      . 14.已知 x,y 满足条件   ,则函数 z=﹣2x+y 的最大值是      .

15.【2017-2018 第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数 f ? x ? ? { x

x ? 2 x , x ? 0, ? lnx, x ? 0
在其定义域上恰有两

a

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个零点,则正实数 a 的值为______.

16 .【 2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数 f ? x ? ? x ? lnx ? 4 的零点在区间

k ? 1? 内,则正整数 k 的值为________. ?k,
17.已知角 α 终边上一点为 P(﹣1,2),则   18.曲线 在点(3,3)处的切线与轴 x 的交点的坐标为      . 值等于      .

三、解答题
19.某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是: [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100](Ⅰ)求图中 x 的值,并估计该班期中 考试数学成绩的众数; (Ⅱ)从成绩不低于 90 分的学生和成绩低于 50 分的学生中随机选取 2 人,求这 2 人成绩均不低于 90 分的概 率.

 

20.设函数 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)求函数 的最小正周期; 在



上的最大值与最小值.

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21.已知函数 f(x)=log2(m+ (1)求函数 f(x)的定义域;

)(m∈R,且 m>0).

(2)若函数 f(x)在(4,+∞)上单调递增,求 m 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 sin x cos x ? cos 2 x ? . 2

(1)求函数 y ? f ( x) 在 [0,

] 上的最大值和最小值; 2 (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,满足 c ? 2 , a ? 3 , f ( B ) ? 0 ,求 sin A 的值.1111]

?

23.求下列曲线的标准方程: (1)与椭圆 + =1 有相同的焦点,直线 y= x 为一条渐近线.求双曲线 C 的方程.

(2)焦点在直线 3x﹣4y﹣12=0 的抛物线的标准方程.

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24.设 f(x)=ax2﹣(a+1)x+1 (1)解关于 x 的不等式 f(x)>0; (2)若对任意的 a∈[﹣1,1],不等式 f(x)>0 恒成立,求 x 的取值范围.

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达川区第一中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:∵(﹣4+5i)i=﹣5﹣4i, ∴复数(﹣4+5i)i 的共轭复数为:﹣5+4i, ∴在复平面内,复数(﹣4+5i)i 的共轭复数对应的点的坐标为:(﹣5,4),位于第二象限. 故选:B.   2. 【答案】A 【解析】 试题分析:? i ? 1, i ? ?1? i ? i ? ?i ,因为复数满足
4 2 7 3

i ?1 ? i ? 1? i 7 ? ?i A i,? z ? i ? 1 ,所以复数的 ? i ,所以 z z

虚部为,故选 A. 考点:1、复数的基本概念;2、复数代数形式的乘除运算. 3. 【答案】 B 【解析】解:因为 AD?( BC?AC?sin60°)≥VD﹣ABC= ,BC=1, 即 AD? ≥1, ≥2 =2,

因为 2=AD+ 当且仅当 AD= 这时 AC= 得 BD= 故选 B.

=1 时,等号成立, ,

,AD=1,且 AD⊥面 ABC,所以 CD=2,AB= ,故最长棱的长为 2.

【点评】本题考查四面体中最长的棱长,考查棱锥的体积公式的运用,同时考查基本不等式的运用,注意等号 成立的条件,属于中档题.   4. 【答案】 B 【解析】 试题分析: 10101?2 ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 21 ,故选 B.
4 2 0

考点:进位制 5. 【答案】B 【解析】解:∵(a﹣i)?2i=2ai+2 为正实数,

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∴2a=0, 解得 a=0. 故选:B. 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件,属于基础题.   6. 【答案】D 【解析】

考 点:平面的基本公理与推论. 7. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆 C 方程化为标准方程,找出圆心 C 坐标与半径 r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的 距离 d,与 r 比较大小即可得到结果. 【解答】解:圆 C 方程化为标准方程得:(x﹣1)2+y2=2, ∴圆心 C(1,0),半径 r= , ∵ ≥ >1, ∴圆心到直线 l 的距离 d= < =r,且圆心(1,0)不在直线 l 上,

∴直线 l 与圆相交且一定不过圆心. 故选 C 8. 【答案】A 【解析】解:甲班级分配 2 个名额,其它班级可以不分配名额或分配多个名额,有 1+6+3=10 种不同的分配方 案; 甲班级分配 3 个名额,其它班级可以不分配名额或分配多个名额,有 3+3=6 种不同的分配方案; 甲班级分配 4 个名额,其它班级可以不分配名额或分配多个名额,有 3 种不同的分配方案; 甲班级分配 5 个名额,有 1 种不同的分配方案.
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故共有 10+6+3+1=20 种不同的分配方案, 故选:A. 【点评】本题考查分类计数原理,注意分类时做到不重不漏,是一个中档题,解题时容易出错,本题应用分类 讨论思想.   9. 【答案】A 【解析】解: 故选:A.   10.【答案】C 【解析】解:由 f′(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1)=0 得到 x1=1,x2=﹣1(舍去) ∵函数的定义域为[0,2] ∴函数在(0,1)上 f′(x)<0,(1,2)上 f′(x)>0, ∴函数 f(x)在区间(0,1)单调递减,在区间(1,2)单调递增, 则 f(x)min=f(1)=m﹣2,f(x)max=f(2)=m+2,f(0)=m 由题意知,f(1)=m﹣2>0 ①; f(1)+f(1)>f(2),即﹣4+2m>2+m② 由①②得到 m>6 为所求. 故选 C 【点评】本题以函数为载体,考查构成三角形的条件,解题的关键是求出函数在区间[0,2]上的最小值与最大 值   11.【答案】C 【解析】解:∵f(1)=1>0,f(2)=1﹣2ln2=ln <0, ∴函数 f(x)=1﹣xlnx 的零点所在区间是(1,2). 故选:C. 【点评】本题主要考查函数零点区间的判断,判断的主要方法是利用根的存在性定理,判断函数在给定区间端 点处的符号是否相反.   12.【答案】 D 【解析】解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 设 AE=a,D1F=b,0≤a≤4,0≤b≤4,P(x,y,4),0≤x≤4,0≤y≤4, 则 F(0,b,4),E(4,a,0), =(﹣x,b﹣y,0), = =1+i,其对应的点为(1,1),

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∵点 P 到点 F 的距离等于点 P 到平面 ABB1A1 的距离, ∴当 E、F 分别是 AB、C1D1 上的中点,P 为正方形 A1B1C1D1 时, PE 取最小值, 此时,P(2,2,4),E(4,2,0), ∴|PE|min= 故选:D. =2 .

【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能 力、空间想象能力,考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识.  

二、填空题
13.【答案】  cm2 .

【解析】解:如图所示,是正六棱台的一部分, 侧面 ABB1A1 为等腰梯形,OO1 为高且 OO1=1cm,AB=1cm,A1B1=2cm. 取 AB 和 A1B1 的中点 C,C1,连接 OC,CC1,O1C1, 则 C1C 为正六棱台的斜高,且四边形 OO1C1C 为直角梯形. 根据正六棱台的性质得 OC= ∴CC1= = ,O1C1= . = ,

又知上、下底面周长分别为 c=6AB=6cm,c′=6A1B1=12cm. ∴正六棱台的侧面积: S= = .

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=

(cm2). cm2.

故答案为:

【点评】本题考查正六棱台的侧面积的求法,是中档,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.   14.【答案】 4 .

【解析】解:由约束条件

作出可行域如图,

化目标函数 z=﹣2x+y 为 y=2x+z,由图可知,当直线 y=2x+z 过点 A(﹣2,0)时, 直线 y=2x+z 在 y 轴上的截距最大,即 z 最大,此时 z=﹣2×(﹣2)+0=4.

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故答案为:4. 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.   15.【答案】 e 【解析】考查函数 f ? x ? ? {

x ? 2x ? x ? 0? ax ? lnx

,其余条件均不变,则:

当 x?0 时,f(x)=x+2x,单调递增, f(?1)=?1+2?1<0,f(0)=1>0, 由零点存在定理,可得 f(x)在(?1,0)有且只有一个零点; 则由题意可得 x>0 时,f(x)=ax?lnx 有且只有一个零点,

lnx 有且只有一个实根。 x lnx 1 ? lnx 令 g ? x? ? , , g '? x? ? x x2
即有 a ? 当 x>e 时,g′(x)<0,g(x)递减; 当 0<x<e 时,g′(x)>0,g(x)递增。 即有 x=e 处取得极大值,也为最大值,且为

1 , e

如图 g(x)的图象,当直线 y=a(a>0)与 g(x)的图象

1 . e 回归原问题,则原问题中 a ? e .
只有一个交点时,则 a ?

点睛: (1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然 后代入该段的解析式求值, 当出现 f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的 值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 16.【答案】2

【解析】

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17.【答案】 

 .

【解析】解:角 α 终边上一点为 P(﹣1,2), 所以 tanα=﹣2. = 故答案为:﹣ . 【点评】本题考查二倍角的正切函数,三角函数的定义的应用,考查计算能力.   18.【答案】 ( ,0) . = =﹣ .

【解析】解:y′=﹣ ∴斜率 k=y′|x=3=﹣2,



∴切线方程是:y﹣3=﹣2(x﹣3), 整理得:y=﹣2x+9, 令 y=0,解得:x= , 故答案为: .

【点评】本题考查了曲线的切线方程问题,考查导数的应用,是一道基础题.  

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由(0.006×3+0.01+0.054+x)×10=1,解得 x=0.018, 前三组的人数分别为:(0.006×2+0.01+0.018)×10×50=20,第四组为 0.054×10×50=27 人,故数学成绩的众数 落在第四组,故众数为 75 分. (Ⅱ)分数在[40,50)、[90,100]的人数分别是 3 人,共 6 人, ∴这 2 人成绩均不低于 90 分的概率 P= = .

【点评】 本题考查频率分布直方图及古典概型的问题, 前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求 众数;后者往往和计数原理结合起来考查.   20.【答案】 【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合

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【试题解析】(Ⅰ)因为

. 所以函数 的最小正周期为 . .

(Ⅱ)由(Ⅰ),得 因为 所以 所以 所以 且当 当 时, 时, , , . . 取到最大值 取到最小值 ; .

21.【答案】 【解析】解:(1)由 m+ ∵m>0, ∴(x﹣1)(x﹣ )>0, 若 >1,即 0<m<1 时,x∈(﹣∞,1)∪( ,+∞); 若 =1,即 m=1 时,x∈(﹣∞,1)∪(1,+∞); 若 <1,即 m>1 时,x∈(﹣∞, )∪(1,+∞). (2)若函数 f(x)在(4,+∞)上单调递增,则函数 g(x)=m+ 在(4,+∞)上单调递增且恒正. >0,(x﹣1)(mx﹣1)>0,

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所以 解得:

, .

【点评】 本题考查的知识点是函数的定义域及单调性, 不等关系, 是函数与不等式的简单综合应用, 难度中档.   22.【答案】(1)最大值为,最小值为 ? 【解析】 试题分析:(1)将函数利用两角和的正余弦公式,倍角公式,辅助角公式将函数化简 f ( x) ? sin(2 x ? 再利用 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? b(? ? 0,| ? |?

3 21 3 ;(2) . 14 2

?
6

) ?1

) 的性质可求在 [0, ] 上的最值;(2)利用 f ( B) ? 0 ,可得 B , 2 2 再由余弦定理可得 AC ,再据正弦定理可得 sin A .1
试题解析:

?

?

(2)因为 f ( B ) ? 0 ,即 sin(2 B ?

) ?1 6 ? ? 11? ? ? ? ) ,∴ 2 B ? ? ,∴ B ? ∵ B ? (0, ? ) ,∴ 2 B ? ? ( ? , 6 6 6 6 2 3 又在 ?ABC 中,由余弦定理得, ? 1 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2c ? a ? cos ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? 7 ,所以 AC ? 7 . 3 2 3 21 b a 7 3 ? ? 由正弦定理得: ,即 ,所以 sin A ? . ? sin A 14 sin B sin A sin 3

?

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考点:1.辅助角公式;2. f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? b(? ? 0,| ? |?

?
2

) 性质;3.正余弦定理.

【思路点睛】本题主要考查倍角公式,正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有 正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑 使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化 为边,二是边化为角. 23.【答案】 【解析】解:(1)由椭圆 + =1,得 a2=8,b2=4,

∴c2=a2﹣b2=4,则焦点坐标为 F(2,0), ∵直线 y= x 为双曲线的一条渐近线, (λ>0),

∴设双曲线方程为 即

,则 λ+3λ=4,λ=1. ; ,

∴双曲线方程为: (2)由 3x﹣4y﹣12=0,得

∴直线在两坐标轴上的截距分别为(4,0),(0,﹣3), ∴分别以(4,0),(0,﹣3)为焦点的抛物线方程为: y2=16x 或 x2=﹣12y. 【点评】本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法,对于(1)的求解,设出以直线 曲线方程是关键,是中档题.   24.【答案】 【解析】解:(1)f(x)>0,即为 ax2﹣(a+1)x+1>0, 即有(ax﹣1)(x﹣1)>0, 当 a=0 时,即有 1﹣x>0,解得 x<1; 当 a<0 时,即有(x﹣1)(x﹣ )<0, 由 1> 可得 <x<1; 当 a=1 时,(x﹣1)2>0,即有 x∈R,x≠1; 当 a>1 时,1> ,可得 x>1 或 x< ; 为一条渐近线的双

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当 0<a<1 时,1< ,可得 x<1 或 x> . 综上可得,a=0 时,解集为{x|x<1}; a<0 时,解集为{x| <x<1}; a=1 时,解集为{x|x∈R,x≠1}; a>1 时,解集为{x|x>1 或 x< }; 0<a<1 时,解集为{x|x<1 或 x> }. (2)对任意的 a∈[﹣1,1],不等式 f(x)>0 恒成立, 即为 ax2﹣(a+1)x+1>0, 即 a(x2﹣1)﹣x+1>0,对任意的 a∈[﹣1,1]恒成立. 设 g(a)=a(x2﹣1)﹣x+1,a∈[﹣1,1]. 则 g(﹣1)>0,且 g(1)>0, 即﹣(x2﹣1)﹣x+1>0,且(x2﹣1)﹣x+1>0, 即(x﹣1)(x+2)<0,且 x(x﹣1)>0, 解得﹣2<x<1,且 x>1 或 x<0. 可得﹣2<x<0. 故 x 的取值范围是(﹣2,0).  

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