二项式定理-经典总结

二项式定理
考点 1:多项式的展开式问题
* 例 1 已知 S ? C n ? 3 C n ? 5 C n ? ... ? ( 2 n ? 1) C n ,其中 n ? N ,求 S 的值.
0 1 2 n

考点 2:求展开式中的各项系数之和的问题 例 2 已知 (1 ? 2 x ) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? ... ? a 7 x .求:
7 2 7

(1) a 1 ? a 2 ? ... ? a 7 ;

(2) a 1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 ;

(3) a 0 ? a 2 ? a 4 ? a 6 ;

(4) a 0 ? a 1 ? a 2 ? ... ? a 7 .

2.求 1 ? 2 C 1 0 ? 4 C 1 0 ? ... ? 2 C 1 0 的值.
1 2 10 10

考点 3:求二项式展开式中的特定项 例 3 试求:(1) ( x ?
3

2 x
2

) 的展开式中 x 的系数;
5

5

(2) (

x 2

?
3

1 x

) 的展开式中的常数项;
8

(3) ( x ?
2

2 x

)

10

的展开式中系数最大的项;

(4) ( 3 x ?

3

2)

100

的展开式中 x 的系数为有理数的项的个数.

考点 4:求解某些整除性问题或余数问题 例 4 求证 3
2n?2

? 8 n ? 9 ( n ? N ) 能被 64 整除.
*

1. 9 1 被 100 整除所得的余数为(
92

)A. 1

B. 81

C. -81

D. 9

92

考点 5:计算近似值 例 5 求 0 .9 9 8 的近似值,使误差小于 0 .0 0 1 .
6

考点 6:二项式系数与项的系数 例 6 在(2 x ?
2 3

1 x

) 的展开式中,求:
8

(1)第 5 项的二项式系数及第 5 项的系数.
1

(2) x 的系数.
2

考点 7:有关等式与不等式的证明问题 例 7 求证: C n C n ? C n C n ? ... ? C n C n ?
0 1 1 2 n n ?1

(2n)! ( n ? 1) !( n ? 1) !

(n ? N ) .
*

2.证明下列等式与不等式 (1) C n ? 2 C n ? 3 C n ? ... ? n C n ? n ? 2
1 2 3 n n ?1

.

(2)设 a , b , c 是互不相等的正数,且 a , b , c 成等差数列, n ? N * ,求证 a n ? c n ? 2 b n .

3.设 (1 ? 2 x )

12

? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? ... ? a 1 2 x
2

12

.

(1)求展开式中系数的绝对值最大的项. (2)求展开式中系数最大的项. 同步训练 1.若 ( x ?
1 x ) 展开式中第 2 项与第 6 项的系数相同,则展开式的中间一项的系数为(
n

(3)求展开式中系数最小的项.

).

2.已知二项式 (3 x ?

2 3x

)

10

.

(1)求展开式第四项的二项式系数.(2)求展开式第四项的系数.(3)求第四项.

3.如果 (1 ? x ) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? ... ? a 7 x ,那么 a 1 ? a 2 ? ... ? a 7 =(
7 2 7

).

A. -2

B. -1
8

C. 0
4

D. 2 ).

4.(2010 江西) ( 2 ?

x ) 展开式中不含 x 项的系数的和为(
4

2 5.(2010 重庆) ( x ? 1) 的展开式中 x 的系数为(

).

6.(2011 西安)二项式 ( 2 x ?

1 x

) 展开式中含 x 项的系数为(
6

2

).

4 7.(2010 全国) (1 ? x ) (1 ?

x ) 的展开式中 x 的系数是(
3

2

). ).

8.(2009 北京)若 (1 ?

2) ? a ? b
4 3 5

2 ,( a , b 为有理数),则 a ? b =(

3 9.(2010 全国) (1 ? 2 x ) (1 ?

x ) 的展开式中 x 的系数(

).
2

10.(2011 江西)已知 ( x ? 的系数为( ).

2 x

) 的展开式中第 5 项系数与第 3 项的系数比 56:3, 则该项展开式中 x
n

2

11.(2010 全国)若 ( x ?

a x

) 的展开式中 x 的系数是-84,则 a ? (
9

3

). ).

12.(2010 辽宁) (1 ? x ? x )( x ?
2

1 x

) 的展开式中的常数项为(
6

13.(2009 四川) ( 2 x ?

1 2x

) 的展开式的常数项是(
6
10

). ). ). ).

14.(2010 湖北)在 (1 ? x ) 的展开式中, x 4 的系数为(
2

15.(2011 北京模拟)在 ( x ?
2

1 x

) 的展开式中,常数项是(
6

16.若二项式 ( x ?
2
5

2 x

) 的展开式中二项式系数之和是 64,则展开式中的常数项为(
n
4 3 2

17. ( x ? 1) ? 5 ( x ? 1) ? 1 0 ( x ? 1) ? 1 0 ( x ? 1) ? 5 ( x ? 1) =(
2
3

).

18.若 ( x ?

) 的展开式中存在常数项,则 n 的值可以是(
n

).

x

19.若 ( 2 x ?

3 ) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? a 3 x ,则 ( a 0 ? a 2 ) ? ( a 1 ? a 3 ) 的值为(
3 2 3
2 2 n 1 n ?1

). ).

20.设 n ? 2 k ? 1( k ? N * ) ,则 7 ? C n ? 7
1 2 3

? Cn ?7
2 n

n?2

? ... ? C n

n ?1

? 7 被 9 除所得的余数为(

21.化简: 1 ? 2 C n ? 4 C n ? 8 C n ? ... ? ( ? 2 ) C n .
n

22.求证:(1) 5 1 ? 1 能被 7 整除;
51

(2) 3

2n?3

? 2 4 n ? 3 7 能被 64 整除.

23.已知 ( x ?

1
4

1 x

) 的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的所有有理项.
n

2

4 24.在 (1 ? x ? p x ) 的展开式中,试求使 x 项的系数最小时 p 的值.
2 10

25.求 1 .9 9 7 精确到 0.001 的近似值.
5
3n?3

26.如果今天是星期一,那么对于任意的自然数 n ,经过 ( 2

? 7 n ? 5 ) 天是星期几?

27.在二项式 ( x ?
2

a x

) 的展开式中 x 的系数是-10,求实数 a 的值.
5

28.在二项式 ( 2 x ? 3 y ) 的展开式中,求:
9

(1)二项式系数之和; (3)所有奇数项系数之和;

(2)各项系数之和; (4)所有项的系数的绝对值之和.
3


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