2017_2018学年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.5投影变换教学案苏教版选修4_2201

2.2.5 1.投影变换 投影变换 将平面图形投影到某条直线(或点)的变换,称为投影变换. 2.投影变换矩阵 像? 矩阵. 3.常见的投影变换矩阵 (1)将坐标平面内的图形垂直投影到 x 轴上的变换矩阵为? (2)将坐标平面内的图形垂直投影到 y 轴上的变换矩阵为? ?1 0? ?1 0? ?,? ?这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵,称为投影变换 ?0 0? ?1 0? ?1 0? ?; ?0 0? ?0 0? ?; ?0 1? ?0 1? ?; ?0 1? ?1 0? ?. ?1 0? (3)将坐标平面内的图形沿垂直于 y 轴方向投影到 y=x 上的变换矩阵为? (4)将坐标平面内的图形沿垂直于 x 轴方向投影到 y=x 上的变换矩阵为? [说明] 投影变换虽然是映射,但不是一一映射. [对应学生用书P17] 点或平面图形在投影变换作用下的象 [例 1] 已知变换 T1,T2 对应的矩阵分别为 M=? 0? ?1 0? ?1 ?和 N=? ?,平面上三个点 ?0 0? ?0 -1? A(3,1),B(2,3),C(0,4). (1)分别求直线 AB,BC 在 T1,T2 变换下得到的直线方程; (2)变换 T1,T2 有什么不同? [思路点拨] 二阶非零矩阵对应的变换将直线变为直线,所以只要求出 A,B,C 在 T1,T2 变换下得到的点 A′,B′,C′的坐标,就可以求出直线 AB,BC 在 T1,T2 变换下得到的直线 方程. [精解详析] (1)A,B,C 在 T1 变换下变为 A′(3,0),B′(2,0),C′(0,0),A,B,C 在 T2 变换下变为 A″(3,-1),B″(2,-3),C″(0,-4). ∴直线 A′B′的方程为 y=0,直线 B′C′的方程为 y=0, 直线 A″B″的方程为 2x-y-7=0, 1 1 直线 B″C″的方程为 y= x-4. 2 1 (2)由(1)可知,直线 AB:2x+y-7=0,直线 BC:y=- x+4,在 T1 变换下得到的图像 2 均为 y=0,在 T2 变换下得到两个不同的图像,所以 T2 是一一映射,T1 不是一一映射. 投影变换不仅依赖于投影的目标直线(或点),还依赖于投影的方向.这很好理解,以树木 在太阳下形成影子为例,我们把太阳光看似平行光,当在正午的时候,树木的影子会投影到树 根,但在清晨或者黄昏时分,投影到大地上的树木的影子就变斜了.正午时候太阳光所作的垂 直投影变换对应的矩阵形式为 M=? 如图所示. ?1 0? 下面我们考察太阳光所作的斜投影变换的矩阵形式, ?, ?0 0? 在这样的斜投影变换下,P(x,y)→P′(x′,y′),记 k=cot α ,则 P′的坐标为(x+ ky,0),即有 ?x′? ?x+ky? ?1 k? ?x? ? ?=? ?=? ? ? ?, ?y′? ? 0 ? ?0 0? ?y? 所以? ?1 k? ?即为这样的斜投影变换的矩阵形式,特别地,当 k=0 时,即为垂直投影变换. ?0 0? 1.已知△ABC 三顶点坐标分别为 A(-1,1),B(2,0),C(1,2),此三角形在矩阵 M=? 作用下得到怎样的图形? 解:因? ?1 0? ? ?1 0? ?1 0? ?-1? ?-1? ?1 0? ?2? ?2? ? ? ?=? ?,? ? ? ?=? ?, ?1 0? ? 1? ?-1? ?1 0? ?0? ?2? ?1 0? ?1? ?1? ? ? ? ?=? ?,故 A、B、C 三点在 M 作用下的象为 A1(-1,-1),B1(2,2),C1(1,1), ?1 0? ?2? ?1? 而 A1、B1、C1 三点都在直线 y=x 上且 C1 点在线段 A1B1 上,故△ABC 在矩阵 M 作用下的象是线段 y=x(-1≤x≤2). 2 2.研究直线 3x-2y+1=0 在矩阵? 何意义. 0? ?1 ?对应的变换作用下变成什么图形,并说明其几 ?1 -1? 0? ?1 解:任取直线 3x-2y+1=0 上的一点 P(x0,y0),它在矩阵? ?对应的变换作用下变 ?1 -1? 为 P′(x0 ,y0 ), 0? ?1 则有? ? ?1 -1? 整理得? ?x0=x0 ? ′ ′ ′ ′ ?x0? ?x0 ? ? ?=? ′?, ?y0? ?y0 ? ,即? ?x0=x0 ? ′ ′ ′ ′ ? ?x0-y0=y0 ? ?y0=x0 -y0 . 又因为点 P 在直线 3x-2y+1=0 上, 所以 3x0-2y0+1=0, 即有 3x0 -2(x0 -y0 )+1=0,即 x0 +2y0 +1=0. 0? ?1 从而直线 3x-2y+1=0 在矩阵? ?作用下变成直线 x+2y+1=0. ?1 -1? 其几何意义是:把直线 3x-2y+1=0 上的每一点沿垂直于直线 x+2y+1=0 的方向投影 到该直线上. ′ ′ ′ ′ ′ 求投影变换矩阵 [例 2] 已知直线 x+y=5 在矩阵 M 对应变换作用下得到点(5,5),求矩阵 M. [思路点拨] 先设出变换矩阵,利用变换公式列方程求解即可. [精解详析] 设矩阵 M=? 则由题意得:? ?a b? ?, ?c d? ?a b? ?x? ?ax+by? ?5? ? ? ?=? ?=? ?, ?c d? ?y? ?cx+dy? ?5? 即恒有 ax+by=5,cx+dy=5, 又因为 x+y=5,比较得 a=b=c=d=1, 所以 M=? ?1 1? ?. ?1 1? 根据变换的形式或变换对应的矩阵找出对应的关系,寻找变换后图形上点的横、 纵坐标关 系来理解投影变换具有的特点. 3 3.已知变换 T 是将平面图形投影到直线 y=3x 上的变换,试求它所对应的矩阵 M. 解:∵? ?→? ∴M=? ?x? ?x′? ?x ? ?=? ?,

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