2014届高三数学一轮复习 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题提分训练题

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、选择题 1.不等式 x- 2y>0 表示的平面区域是( ).

解析 将点(1,0)代入 x-2y 得 1-2×0=1>0. 答案 D

x+2y-5>0, ? ? 2.设实数 x,y 满足不等式组?2x+y-7>0, ? ?x≥0,y≥0.
( A.14 ). B.16 C.17

若 x,y 为整数,则 3x+4y 的最小值是

D.19

解析 线性区域边界上的整点为(3,1),因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2),对于 点(4,1),3x+4y=3×4+4×1=16;对于点(3,2),3x+4y=3× 3+4×2=17,因此 3x+ 4y 的最小值为 16. 答案 B

? x ? y ? 10, ? 3. 设变量 x,y 满足 ?0 ? x ? y ? 20, 则 2x+3y 的最大值为( ? 0 ? y ? 15, ?
A. 20 B.35 C. 45

)

D. 55

解析 画出可行域,根据图形可知当 x=5,y=15 时 2x+3y 最大,最大值为 55,故选 D. 答案 D 4.某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为 30 元、20 元,生产甲产品每件需用 A 原料 2 kg、B 原料 4 kg ,生产乙产品每件需用 A 原料 3 kg、B 原料 2 kg.A 原料每日供应量 限额为 60 kg ,B 原料每日供应量限额为 80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多 超过 10 件,则合理安排生产可使每日获得的利润最大为( ) A.500 元 B.700 元 C.400 元 D.650 元

1

解析

?4x+2y≤80, ?y-x≤10, 设每天生产甲乙两种产品分别为 x,y 件,则 x,y 满足? x≥0, ?y≥0, ?x,y∈N .
2x+3y≤60,
*

利润 z=30x+20y.

不等式组所表示的平面区域如图,根据目标函数的几何意义,在直线 2x+3y=60 和直线 4x +2y=80 的交点 B 处取得最大值,解方程组得 B(15,10),代入目标函数得 zmax=30×15+ 20×10=650. 答案 D 4x-y-10≤0, ? ? 5.设实数 x,y 满足条件?x-2y+8≥0, ? ?x≥0,y≥0,

若目标函数 z=ax+by(a>0,

b>0) 的最大值为 12,则 + 的最小值为( a b
25 A. 6 8 B. 3

2

3

). C. 11 3 D.4

解析 由可行域可得,当 x=4,y=6 时,目标函数 z=ax+by 取得最大值,∴4a+6b=12,

a b 2 3 ?2 3? ?a b? 13 b a 13 25 即 + =1.∴ + =? + ?·? + ?= + + ≥ +2= . a b 3 2 3 2 a b ? 6 ? ? ? 6 a b 6
答案 A

x+y≤1, ? ? 6.已知不等式组 ?x-y≥-1, ? ?y≥0
有公共点,则 k 的取值范围是(

表示的平面区域为 M,若直线 y=kx-3k 与平面区域 M

). 1? ? B.?-∞, ? 3? ? 1? ? D.?-∞,- ? 3? ?

? 1? A.?0, ? ? 3? ? 1 ? C.?- ,0? ? 3 ?

解析 如 图所示,画出可行域,直线 y=kx-3k 过定点(3,0),由数形结合,知该直线的斜

2

0-1 1 率的最大值为 k=0,最小值为 k= =- . 3-0 3 答案 C 7. 设双曲线 4x -y =1 的两条渐近线与直线 x= 2围成的三角形区域(包含边界)为 D,P(x,
2 2

y)为 D 内的一个动点,则目标函数 z= x-y 的最小值为(
A.-2 3 2 B.- 2 5 2 D.- 2
2 2

1 2

)

C.0

解析 曲线 4x -y =1 的两条渐近线方程为 2x-y=0,2x+y=0,与直 线 x= 2围成的三角形区域如图中的阴影部分所示,所以目标函数 z 1 1 3 = x-y 在点 P( 2,2 2)处取得最小值为 z= 2-2 2=- 2. 2 2 2 答案 二、填空题 8.若点 P(m,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x+y<3 表示的平面区 域内,则 m=________. |4m-9+1| ? ? =4, 5 解析 由题意可得? ? ?2m+3<3, 答案 -3

解得 m=-3.

x+y-1≥0, ? ? 9.在平 面直角坐标系中,若不等式组?x-1≤0, ? ?ax-y+1≥0
的面积等于 2,则 a 的值为________. 解 析 等式组?
?x+y-1≥0, ? ? ?x-1≤0

(a 为常数)所表示的平面区域内

表示的区域为图中阴影部分.

又因为 ax-y+1=0 恒过定点(0,1), 当 a=0 时,不等式组

x+y-1≥0, ? ? ?x-1≤0, ? ?ax-y+1≥0.

1 所表示的平面区域的面积为 ,不合题意;当 a<0 时,所 2

3

1 1 围成的区域面积小于 ,所以 a>0,此时所围成的区域为三角形,其面积为 S= × 1×(a+ 2 2 1)=2,解之得 a=3. 答案 3 10. 铁矿石 A 和 B 的含铁率 a, 冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表:

a A B
50% 70%

b/万吨
1 0.5

c/百万元
3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿石的 最少费用为________百万元. 解析 可设需购买 A 矿石 x 万吨, B 矿石 y 万吨,则根据题意 得到约束条件为:

x≥0, ? ?y≥0, ?0.5x+0.7y≥1.9, ? ?x+0.5y≤2,

目标函数为 z=3x+6y, 作图可知当目标函数经过(1,2)点时目

标函数取得最小值,最小值为 zmin=3×1+6×2=15(百万元).

答案 15
? ?3≤2x+y≤9, 11.若变量 x,y 满足约束条件? ?6≤x-y≤9, ? ? ?3≤2x+y≤9, 解析 根据? ?6≤x-y≤9 ?

则 z=x+2y 的最小值为________.

得可行域如图所示;

?x-y=9 ? x z x 根据 z=x+2y 得 y=- + , 平移直线 y=- , 在 M 点 z 取得最小值. 根据? 2 2 2 ?2x+y=3 ? ? ?x=4 ? ?y=-5, ?



4

此时 z=4+2×(-5)=-6. 答案 -6 x+y≥1, ? ? 12.若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1 ? ?2x-y≤2, 值,则 a 的取值范围是________.

,目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小

解析 画出可 行域

a 1 ,目 标函数可化为 y=- x+ z,根据图象判断, 2 2

a 当目标函数的斜率-1<- <2 时,目标函数 z=ax +2y 仅在点(1,0)处取得最小值,这时 a 2 的取值范围是(-4,2). 答案 (-4,2) 三、解答题 13.设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长}. (1)求出 x,y 所满足的不等式; (2)画出点(x,y)所在的平面区域.

x+y>1-x-y>0, ? ? 解析 (1)已知条件即?x+1-x-y>y>0, ? ?y+1-x-y>x>0,

? ? 1 化简即?0<y< , 2 1 ? ?0<x<2.
(2)区域如下图.

1 -x+ <y<-x+1, 2

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14.画出 2x-3<y≤3 表示的区域,并 求出所有正整数解.

解析 先将所给不等式转化为?

? ?y>2x-3, ?y≤3. ?

而求正整数解则意味着 x,y 还有限制条件,

y>2x-3, ? ? 即求?y≤3, ? ?x>0,y>0

的整数解.所给不等式等价于?

?y>2x-3, ? ?y≤3. ?

依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1).

y>2x-3, ? ? 对于 2x-3<y≤3 的正整数解,再画出?y≤3, ? ?x>0,y>0
如图(2)所示:

表示的平面区域.

可知,在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组.

x≥0, ? ? 15.若 a≥0,b≥0,且当?y≥0, ? ?x+y≤1 b)所形成的平面区域的面积. x≥0, ? ? 解析 作出线性约束条件?y≥0, ? ?x+y≤1

时,恒有 ax+by≤1,求以 a,b 为坐标的点 P(a,

对应的可行域如图所示,在此条件下,要使 ax+

6

by≤1 恒成立,只要 ax+by 的最大值不超过 1 即可.
令 z=ax+by,则 y=- x+ . 因为 a≥0,b≥0,则-1<- ≤0 时,b≤1,或- ≤-1 时,a≤1. 此时对应的可行域如图,

a b

z b

a b

a b

所以以 a,b 为坐标的点 P(a,b)所形 成的面积为 1. 16.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合 物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童 S 这两餐需要的营养中至少含 64 个 单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个 单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚 餐的费用分别是 2 .5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿 童分别预订多少个单位的午餐和晚 餐? 解析 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元,

x≥0,y≥0, ? ?12x+8y≥64, 则依题意得:z=2.5x+4y,且 x,y 满足? 6x+6y≥42, ? ?6x+10y≥54, x≥0,y≥0, ? ?3x+2y≥16, 即? x+y≥7, ? ?3x+5y≥27.

让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平移, 由此可知 z

=2.5x+4y 在(4,3)处取得最小值. 因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求.

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