数学选修2-1《圆锥曲线与方程》复习训练题2


数学选修 2-1《圆锥曲线与方程》复习训练题 2
一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 1.曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (0<k<9)具有( ? ? 1 与曲线 25 ? k 9 ? y 25 9



A.相等的长、短轴 B.相等的焦距 C.相等的离心率 D.相同的准线 2 2 2.若 k 可以取任意实数,则方程 x +ky =1 所表示的曲线不可能是( ) A.直线 B.圆 C.椭圆或双曲线 D.抛物线 2 3.如果抛物线 y =ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为( ) A. (1, 0) B. (2, 0) C. (3, 0) D. (-1, 0) 4.平面内过点 A(-2,0) ,且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是( ) 2 2 2 2 A.y =-2x B.y =-4x C.y =-8x D.y =-16x 5.双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为( A. 3 B.



6 2

C.

6 3

D.

3 3


6.若椭圆的中心及两个焦点将长轴两顶点的距离四等分,则椭圆的离心率为( A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

3 3


7.过点 P(2,-2)且与

x2 2 -y =1 有相同渐近线的双曲线方程是( 2

A.

y2 x2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 2 4 4 2 4 2 2 4
2

8.抛物线 y ? A. (1,0)

1 x 关于直线 x ? y ? 0 对称的抛物线的焦点坐标是( 4 1 1 B. ( ,0) C. (0,0) D. (0, ) 16 16



9.中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率 e ? 3 ,一条准线方程为 3x ? 6 ? 0 的双曲线方程 是( A. ) B.

x2 y 2 ? ?1 3 4

y 2 x2 ? ?1 5 3

C.

x2 y 2 ? ?1 2 4

D.

y 2 x2 ? ?1 4 2
3 ,则 P 到另 2

10.椭圆上一点 P 到一个焦点的距离恰好等于短半轴的长 b ,且它的离心率 e ? 一焦点的对应准线的距离为( A. ) C.

3 b 6

B.

2 3 b 3

3 b 2

D. 2 3b

11.已知双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 和椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, m>b>0)的离心率互为倒数,那么以 a、 a2 b m b
) B.直角三角形 D.等腰三角形
2

b、m 为边长的三角形是( A.锐角三角形 C.钝角三角形

12.过抛物线 y =4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6,那 么|AB|=( ) A.8 B.10 C.6 D.4 二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上) x y 13.椭圆 + =1(x?0,y?0)与直线 x-y-5=0 的距离的最小值为__________. 9 4 14.过双曲线
2 2

x2 ? y 2 ? 1 的两焦点作实轴的垂线,分别与渐近线交于 A、B、C、D 四点,则矩形 3
.

ABCD 的面积为 15.抛物线的焦点为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 9 4

.

16.动点到直线x=6的距离是它到点A(1, 0)的距离的2倍, 那么动点的轨迹方程是 . 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 17.(10 分)已知点 A(? 3, 0) 和 B( 3, 0), 动点 C 引 A、B 两点的距离之差的绝对值为 2, 点 C 的轨迹与直线 y ? x ? 2 交于 D、E 两点,求线段 DE 的长.

18.(10 分)已知抛物线的顶点为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的中心.椭圆的离心率是抛物线离 a 2 b2

心率的一半,且它们的准线互相平行。又抛物线与椭圆交于点 M ( , ? 的方程.

2 3

2 6 ) ,求抛物线与椭圆 3

19.(12 分)双曲线

x2 y2 ,且 ? ? 1(a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b) a2 b2

点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s ? 值范围.

4 c. 求双曲线的离心率 e 的取 5

20.(12 分)已知双曲线经过点 M( 6 , 6 ) , (1)如果此双曲线的右焦点为 F(3,0) ,右准线为直线 x= 1,求双曲线方程; (2)如果此双曲线的离心率 e=2,求双曲线标准方程.

21.(12 分).如图, 直线 y=

1 1 2 x 与抛物线 y= x -4 交于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与 2 8

直线 y=-5 交于 Q 点. (1)求点 Q 的坐标; (2)当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含 A、 的动点时, 求 Δ OPQ B) 面积的最大值.

参考答案
一、选择题 1、B 2、D 二、填空题 13、-8 三、解答题 17.解: 设点 C ( x, y ) , CA ? CB ? ?2. 根据双曲线定义, 则 可知 C 的轨迹是双曲线

3、A 4、C 5、B 6、B 7、A 8、D 9、C 10、D 11、B 12、A

14、

16 3 3

15、 y 2 ? ?4 5 x

16、3x2+4y2+4x-32=0

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

? 2 y2 y2 ?1 ?x ? ? 1. 由 ? 由 2a ? 2, 2c ? AB ? 2 3, 得 a ? 1, b ? 2, 故点 C 的轨迹方程是 x ? 2 2 ? y ? x?2 ?
2 2

2

得 x ? 4 x ? 6 ? 0,? ? ? 0,? 直线与双曲线有两个交点,设 D( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 ), 则
2

x1 ? x2 ? ?4, x1 x2 ? ?6, 故 DE ? 1 ? 1 ? x1 ? x2 ? 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 5.
18. 因为椭圆的准线垂直于 x 轴且它与抛物线的准线互相平行所以抛物线的焦点在 x 轴上, 可设 抛物线的方程为 y ? ax(a ? 0) ? M ( ,?
2

2 3

2 6 2 6 2 2 ) ? a ?a ? 4 ) 在抛物线上, ? (? 3 3 3

2 2 6 4 24 ) 在椭圆上 ? 2 ? 2 ? 1 ① ?抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ? M ( ,? 3 3 9a 9b
又e ?

c ? a

a2 ? b2 1 ? a 2



由①②可得 a ? 4, b ? 3 ? 椭圆的方程是
2 2

x2 y2 ? ?1 4 3

19. 解:直线 l 的方程为

x y ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0. 由点到直线的距离公式,且 a ? 1 , a b
b(a ? 1) a2 ? b2 ?
,同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离

得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 ?

d2 ?


b(a ? 1) a2 ? b2

s ? d1 ? d 2 ?

2ab a2 ? b2

2ab 4 2ab 4 . 由 s ? c, 得 ? c, c 5 c 5
即4e 4 ? 25e 2 ? 25 ? 0.

5a c 2 ? a 2 ? 2c 2 . 于是得

5 e 2 ? 1 ? 2e 2 ,

解不等式,得

5 5 ? e ? 5. ? e 2 ? 5. 由于 e ? 1 ? 0, 所以 e 的取值范围是 2 4

20 解: (1)∵双曲线经过点 M( 6 , 6 ) ,且双曲线的右准线为直线 x= 1,右焦点为 F(3,0)

∴由双曲线定义得:离心率 e ?

MF

( 6 ? 3) 2 ? ( 6 ? 0) 2 = ? 6 ?1 6 ?1

3 ,设 P(x,y)为所

求曲线上任意一点,∴由双曲线定义得:

PF x ?1

?

( x ? 3) 2 ? ( y ? 0) 2 = x ?1

3 ,化简整理得

x2 y2 ? ?1 3 6
(2)? e ?

c 2 2 2 ? 2 ? c ? 2a, 又 ? c ? a ? b ,? b ? 3a ,①当双曲线的焦点在 x 轴上时, a
x2 y2 6 6 ? 2 ? 1 ,∵点 M( 6 , 6 )在双曲线上,∴ 2 ? 2 ? 1 ,解得 2 a 3a a 3a

设双曲线标准方程为

a 2 ? 4 , b 2 ? 12 ,则所求双曲线标准方程为

x2 y2 ? ? 1 ,②当双曲线的焦点在 y 轴上时,设 4 12

2 2 6 6 2 双曲线标准方程为 y ? x ? 1 , ∵点 M 6 , 6 ) ( 在双曲线上, 2 ? 2 ? 1 , ∴ 解得 a 2 2

a

3a

a

3a

? 4,

y x x2 y2 ? ?1 ? ?1 或 b ? 12 , 故所求双曲线方程为 4 12 4 12
2

2

2

21.【解】(1) 解方程组

y2=4 -4 即 A(-4,-2),B(8,4), 从而 AB 的中点为 M(2,1). 由 kAB==

1 X1= - 4, x x2=8 2 1 2 得 y= x y1= - 2, 8
y=

1 1 ,直线 AB 的垂直平分线方程 y-1= (x-2). 2 2 1 2 x -4). 8

令 y=-5, 得 x=5, ∴Q(5,-5) (2) 直线 OQ 的方程为 x+y=0, 设 P(x,

1 x ? x2 ? 4 1 8 x 2 ? 8 x ? 32 , ∵点 P 到直线 OQ 的距离 d= = 2 8 2
OQ ? 5 2 ,∴SΔ OPQ=

1 5 2 OQ d = x ? 8 x ? 32 . 2 16

∵P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ 上, ∴-4≤x<4 3 -4 或 4 3 -4<x≤8. ∵函数 y=x +8x-32 在区间[-4,8] 上单调递增, ∴当 x=8 时, Δ OPQ 的面积取到最大值 30.
2


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