1.1.3 圆的极坐标方程 练习 教案


圆的极坐标方程

课外练习

作者:王肇堃

1.1.3
(A)直线 2.极坐标方程 ? ? cos( (B)圆

圆的极坐标方程
(C)双曲线

练习
(D)抛物线

一、选择题: 1.极坐标方程 ? ? sin ? ? 2cos? 所表示的曲线是( B )

?
4

? ? ) 所表示的曲线是( D )
(D)圆

(A)双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 3.极坐标方程 ? ? 4cos? 化为直角坐标方程是( A ) (A) ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 (C) x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 4.极坐标方程 ? ? 2sin(? ?
2 2 (B) x ?y ?4 2 2 (D) (? ? ? ? x1 ( 1 4 ) y)

?
4

) 的图形是( C )
O ? 1
(B)

O
1 ?
(A)

x

x
O

1 ?

?
1

x
(C) (D)

O

x

5.在极坐标系下,已知圆 C 的方程为 ? ? 2cos? ,则下列各点在圆 C 上的是( A )

? ? 3? ) ) (B) (1, ) (C) ( 2, 3 6 4 6.圆 ? ? sin ? ? cos? 的圆心极坐标可以是( D ) ? ? 3? ) (A) ( ?1, ) (B) ( ?1, ? ) (C) ( ? 2, 4 4 4 7.圆 ? ? sin ? 与圆 ? ? cos? 的圆心距是( C )
(A) (1, ? (A)2 (B)4 (C)

(D) ( 2,

5? ) 4 5? ) 4

(D) ( ? 2,

2 (D) 2 2 8.在极坐标系中, P 、 Q 是曲线 C : ? ? 4sin ? 上任意两点,则线段 PQ 长度的最大值为( D )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9.圆的极坐标方程 ? ? 4sin ? ? 3cos? ,则其半径是( A ) (A)

5 2

(B) 5
2 2

(C)10

(D)20

10.已知圆的直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ? 0 ,在以原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,该 圆的方程为( B ) (A) ? ? 2cos? (B) ? ? 2sin ? (C) ? ? ?2cos ? (D) ? ? ?2sin ? 11.在极坐标系中,曲线 ? ? 4sin(? ? (A)直线 ? ?

?
3

) 关于( C )
(B)点 (2,

) 中心对称 3 3 5 (C)直线 ? ? ? 轴对称 (D)极点中心对称 6 12.已知曲线 C 与曲线 ? ? 5 3cos? ? 5sin? 关于极轴对称,则曲线 C 的方程为( B )
(A) ? ? ?10cos(? ?

?

轴对称

?

?
6

)

(B) ? ? 10 cos(? ?

?
6

)

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圆的极坐标方程

课外练习

作者:王肇堃

(C) ? ? ?10 cos(? ?

?
6

)

(D) ? ? 10 cos(? ?

?
6

)

二、填空题:
13.极坐标方程 ? ? 2 化为直角坐标方程是 . x2 ? y 2 ? 4 14.经过极点,圆心在极轴上,且半径为 1 的圆的极坐标方程为 . ? ? 2cos? . (2, ? .1

15.已知圆的极坐标方程是 ? ? 2cos? ? 2 3sin ? ,则该 圆的圆心的极坐标是 16.在极坐标系中,直线 ? ?

?天
) 3·
o 星

?
6

截圆 ? ? 2cos(? ?

?
6

) ( ? ? R) 所得的弦长是

天 · 星 o

班级 答题卡:
一、选择题:
题号 答案

姓名

分数 T
e

m 权

1

2

3

4

5

6

7

s o o n

8

9

10

11

12

得分

m 权

二、填空题:
13. .14.

.15. . .16. c 三、解答题: t o 17.设 P 为曲线 ? 2 ?12? cos? ? 35 ? 0 上任意一点, O m 为极点,求 OP 中点 M 的轨迹方程. e s 解: M ( ? ,? ) ,∵ M 是 OP 的中点,则 P(2 ? , ? ) ,代入 ? 2 ?12? cos? ? 35 ? 0 得 P 2 o 天 4 ? 24? cos? ? 35 ? 0 ,∴ M 的轨迹方程是 42 ? 24? cos? ? 35 ? 0 . o 18.求圆心为 O?( ?0 ,?0 ) ,半径为 r 的圆的极坐标方程. 星 O? n 版 解:如图,设 P( ? ,? ) 为圆上的任意一点,在 ?POO? 中,由余弦定理得 O 权 O?P2 ? OP2 ? O?O2 ? 2OP ? O?O cos(? ? ?0 ) ,
2 2 由此得 r 2 ? ? 2 ? ?0 ? 2? ? ?0 cos(? ??0 ) ,即 ? 2 ? 2? ? ?0 cos(? ??0 ) ? ?0 ? r 2 ? 0 .



x

19.定圆 O 的直径 | AB | ? 2r , BC 是圆 O 的动弦,延长 BC 到 D ,
t e s o o n

使 | CD | ? | BC | , AC 与 OD 交于 P ,求 P 的轨迹方程. 解:以 A 为极点,射线 AB 为极轴建立如图极坐标系. 连结 AD ,∵ | CD | ? | BC | , O 是 AB 的中点,∴ P 为 ?ADB 的重心. 设 P( ? ,? ) ,则 C ( ? ,? ) ,又点 C 在圆 O 上,∴ 即? ?

D C P A O B

3 2

3 ? ? 2r cos ? , 2

4 4 r cos ? ,∴ P 的轨迹方程是 ? ? r cos ? . 3 3

20.在极坐标平面内,已知定点 A(a,0) (a ? 0) ,动点 P 对极点 O 和点 A 的张角 ?OPA ? 解:设动点 Q 的坐标为 ( ? ,? ) ,连结 AQ , ∵ | PQ | ? | PA | ,∴ ?PAQ ? ?AQP ?

?
3

,在 OP 的

延长线上取一点 Q ,使 | PQ | ? | PA | ,当 P 在极轴上方运动时,求点 Q 的轨迹的极坐标方程.

?
6

Q


P

当 P 在极轴所在直线的上方时, ?AOQ ? ? , ?QAO ? ? ? 在 ?OQA 中,由正弦定理可知:

?
6

?? ,

O
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A

x

圆的极坐标方程

课外练习

作者:王肇堃

a sin

?
6

?

sin(? ?

? ?
6

?? )

,∴ ? sin

?

? a sin( ? ? ) , 6 6

?

即点 Q 轨迹的极坐标方程为 ? ? 2a sin(

?
6

? ? ) , ? ? (0, ? ) .

? ? ) , ? ? (? ,2? ) . 6 21.建立极坐标系证明:已知半圆直径 | AB | ? 2r (r ? 0) ,半圆外一条直线 l 与 AB 所在直线垂直相交于 r 点 T ,并且 | AT | ? 2a (2 a ? ) .若半圆上相异两点 M 、 N 到 l 的距离 | MP | , | NQ | 满足 2 | MP | ? | MA | , | NQ | ? | NA | ,求证: | MA | ? | NA | ? | AB | . 法一:以 A 为极点,射线 AB 为极轴建立极坐标系,则半圆的的极坐标方程为 ? ? 2r cos? , 设 M ( ?1,?1) , N ( ?2 ,?2 ) ,则 ?1 ? 2r cos?1 , ? 2 ? 2r cos? 2 ,
又 | MP | ? 2a ? ?1 cos?1 ? 2a ? 2r cos2 ?1 , | NQ | ? 2a ? ?2 cos?2 ? 2a ? 2r cos2 ?2 , ∴ | MP | ? 2a ? 2r cos2 ?1 ? 2r cos?1 , | NQ | ? 2a ? 2r cos2 ?2 ? 2r cos?2 , ∴ cos ?1 , cos?2 是方程 r cos ? ? r cos? ? a ? 0 的两个根,
2

同理,当 P 在极轴所在直线的下方时,点 Q 轨迹的极坐标方程为 ? ? 2a sin(

?

法二:以 A 为极点,射线 AB 为极轴建立极坐标系,则半圆的的极坐标方程为 ? ? 2r cos? , 设 M ( ?1,?1) , N ( ?2 ,?2 ) ,又由题意知, M ( ?1,?1) , N ( ?2 ,?2 ) 在抛物线 ? ?

由韦达定理: cos?1 ? cos?2 ? 1 , | MA | ? | NA | ? 2r cos?1 ? 2r cos?2 ? 2r ? | AB | .

2a 上, 1 ? cos ?

2a 2 , r cos ? ? r cos? ? a ? 0 , 1 ? cos ? 2 ∴ cos ?1 , cos?2 是方程 r cos ? ? r cos? ? a ? 0 的两个根,
∴ 2r cos ? ? 由韦达定理: cos?1 ? cos?2 ? 1 , | MA | ? | NA | ? 2r cos?1 ? 2r cos?2 ? 2r ? | AB | .

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