浙江专用高中数学第一章空间几何体1.31.3.2球的体积和表面积课件新人教A版必修2_图文

1.3.2 球的体积和表面积 目标定位 1.记准球的表面积和体积公式,会计算球的表面 积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题. 自 主 预 习 球的体积公式与表面积公式 4 (1)球的体积公式 V=3π R3(其中 R 为球的半径) (2)球的表面积公式 S=4π R2 即 时 自 测 1.判断题 4 (1)球的半径为 R,那么它的体积 V=3π R3.( (2)半径为 3 的球的体积是 36π .( √ √ ) ) √ (3)球的半径为 R,那么它的表面积 S=4π R2.( (4)半径为 2的球的表面积等于 2π .( × ) 提示 (4)S 球=4π ×( 2)2=8π . ) 2.两个球的半径之比为1∶3,那么两个球的表面积之比为( A.1∶9 解析 1∶9. 答案 A B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1 ) 由表面积公式知,两球的表面积之比为 R ∶ R = 32π 3.球的体积是 3 ,则此球的表面积是( A.12π B.16π 16π C. 3 ) 64π D. 3 4 32 3 解析 设球的半径为 R,则 V=3πR = 3 π,∴R=2, ∴表面积 S=4πR2=16π. 答案 B 4. 两个半径为 1 的实心铁球,熔化成一个球,这个大球的半径 是________. 4 4 3 解析 设大球的半径为 R,则有3πR =2×3π×13, R =2,∴R= 2. 3 3 答案 3 2 类型一 球的表面积和体积 【例 1】 (1)已知球的表面积为 64π ,求它的体积. 500 (2)已知球的体积为 3 π ,求它的表面积. 解 (1)设球的半径为 R,则 4π R2=64π ,解得 R=4,所以 4 4 256 3 3 球的体积 V= π R = π ·(4) = π . 3 3 3 4 500 3 (2)设球的半径为 R,则3π R = 3 π ,解得 R=5,所以球 的表面积 S=4π R2=4π ×52=100π . 规律方法 体积. 1.已知球的半径,可直接利用公式求它的表面积和 2.已知球的表面积和体积,可以利用公式求它的半径. 【训练1】在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的 球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是 ( ) 9π B. 2 C.6π 32π D. 3 A.4π 解析 由题意知,底面三角形的内切圆直径为 4.三棱柱的 9π 高为 3,所以球的最大直径为 3,V 的最大值为 2 . 答案 B 类型二 球的截面问题(互动探究) 【例 2】 平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1.球心 O 到平面 α 的距离为 2,则此球的体积为( A. 6π [思路探究] 探究点一 用一个平面去截球,截面是什么? 提示 圆面. ) D.6 3π B.4 3π C.4 6π 探究点二 有关球的截面问题的解题策略如何? 提示 有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转 化为平面中圆的有关问题解决,计算时,需要注意球心与截面 圆心之间的距离,截面圆的半径及球的半径满足勾股定理. 解析 如图,设截面圆的圆心为 O′, M 为截面圆上任一点, 则 OO′= 2,O′M=1. ∴OM= ( 2)2+1= 3. 4 即球的半径为 3.∴V=3π( 3)3=4 3π. 答案 B 规律方法 有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将 问题转化为平面中圆的有关问题解决. 【训练2】 已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为 6π和8π,则这两个截面间的距离为________. 解析 若两个平行截面在球心同侧,如图(1),则两个截面间 的距离为 52-32- 52-42=1; 若两个平行截面在球心异侧,如图(2),则两个截面间的距离 为 52-32+ 52-42=7. 答案 1或7 类型三 球的组合体与三视图 【例3】 某个几何体的三视图如图所示,求该几何体的表面 积和体积. 解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为 2 的正方体, 上部 是半径为 1 的半球,该几何体的表面积为 1 S=2×4π ×12+6×22-π ×12=24+π . 2π 1 4 3 该几何体的体积为:V=2 + × π ×1 =8+ . 2 3 3 3 规律方法 1. 由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表 面积和体积,关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据 的含义. 2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉. 【训练3】 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体, 如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且 图中的四边形是边长为 2 的正方形 , 则该球的表面积是 ________. 解析 由三视图知组合体为球内接正方体, 正方体的棱长为 2, 若球半径为 R,则 2R=2 3,∴R= 3.∴S 球表=4πR2=4π×3 =12π. 答案 12π [课堂小结] 1. 球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据,在球的轴 截面图形中,球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所 构成的直角三角形,其量值关系是解决问题的主要方法. 2.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时 要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素 间的数量关系,并作出合适的截面图. 1.直径为6的球的表面积和体积分别是( A.36π,144π B.36π,36π ) C.144π,36π D.144π,144π 解析 球的半径为 3,表面积 S=4π·32=36π,体 4 积 V=3π·33=36π. 答案 B 2.若将气球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积增大到原来 的( A.2倍 解析 ) B.4倍 C.8倍 D.16倍 4 3 设气球原来的半径为 r,体积为 V,则 V=3πr ,当 气球的半径扩大到

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