最新精编高中高考数学一轮复习5.5三角函数的图象和性质公开课优质课教学设计

5.5 三角函的图象和性质 典例精析 题型一 三角函的周期性与奇偶性[] 【例 1】已知函 f(x)=2sin x x x cos + 3cos . 4 4 2 ( 1)求函 f(x)的最小正周期; π (2)令 g(x)=f(x+ ),判断 g(x)的奇偶性. 3 x x x x x x π 【解析】(1)f(x)=2sin cos + 3cos =sin + 3cos =2sin( + ), 4 4 2 2 2 2 3 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =4π. 1 2 π 1 π π x π x (2)g(x)=f(x+ )=2sin[ (x+ )+ ]=2sin( + )=2cos . 3 2 3 3 2 2 2 所以 g(x)为偶函. 【点拨】解决三角函的有关性质问题,常常 要简三角函. 【变式训练 1】函 y=sin2x+sin xcos x 的最小正周期 T 等于( A.2π B.π π C. 2 D. π 3 ) 【解析】y= 1-cos 2x 1 2 2 2 1 + sin 2x= ( sin 2x- cos 2x)+ 2 2 2 2 2 2 = 2 π 1 2π sin(2x- )+ ,所以 T= =π.故选 B. 2 4 2 2 题型二 求函的值域 【例 2】求下列函的值域: (1)f(x)= sin 2xsin x ; 1-cos x π (2)f(x)=2cos( +x)+2cos x. 3 【解析】(1)f(x)= 2sin xcos xsin x 2cos x(1-cos2x) = =2cos2x+2cos x 1-cos x 1-cos x 1 1 =2(cos x+ )2- , 2 2 当 cos x=1 时,f(x)max=4,但 cos x≠1,所以 f(x)<4, 1 1 1 当 cos x=- 时,f(x)min=- ,所以函的值域为[- ,4). 2 2 2 π π (2)f(x)=2(cos cos x-sin sin x)+2cos x 3 3 π =3cos x- 3sin x=2 3cos(x+ ), 6 所以函的值域为[-2 3,2 3]. 【点拨】求函的值域是一个难点,分析函式的特点,具体问题具体分析,是突破 这一难点的关键. 【变式训练 2】求 y=sin x+cos x+sin xcos x 的值域. t2-1 【解析】令 t=sin x+cos x,则有 t2=1+2sin xcos x,即 si n xcos x= . 2 所以 y=f(t)=t+ t2-1 1 = (t+1)2-1. 2 2 π 又 t=sin x+cos x= 2sin(x+ ),所以- 2≤t≤ 2. 4 1 故 y=f(t)= (t +1)2-1(- 2≤t≤ 2), 2 1 从而 f(-1)≤y≤f( 2),即-1≤y≤ 2+ . 2 1 所以函的值域为[-1, 2+ ]. 2 题型三 三角函的单调性 【例 3】已知函 f(x )=sin(ωx+φ)(φ>0,|φ|<π)的部分图象如图所示. (1)求 ω,φ 的值; π (2)设 g(x)=f(x)f(x- ),求函 g(x)的单调递增区间. 4 π π 2π 【解析】(1)由图可知,T=4( - )=π,ω= =2. 2 4 T π 又由 f( )=1 知,sin(π+φ) =1,又 f(0)=-1,所以 sin φ=-1. 2 π 因为|φ|<π,所以 φ=- . 2 π (2)f(x)=sin(2x- )=-cos 2x. 2 π 1 所以 g(x)=(-cos 2x)[- cos(2x- )]=cos 2xsin 2x= sin 4x. 2 2 π π kπ π kπ π 所以当 2kπ- ≤4x≤2kπ+ ,即 - ≤x≤ + (k∈Z)时 g(x)单调递增.[] 2 2 2 8 2 8 kπ π kπ π 故函 g(x)的单调增区间为[ - , + ](k∈Z). 2 8 2 8 【点拨】观察图象,获得 T 的值,然后再确定 φ 的值,体现了形结合的思想与方 法. π 【变式训练 3】使函 y=si n( -2x)(x∈[0,π])为增函的区间是( 6 π A.[0, ] 3 π 5π C.[ , ] 3 6 π 7π B.[ , ][] 12 12 5π D.[ ,π] [] 6 ) 【解析】利用复合函单调性“同增异减”的原则判定,选 C. 总结提高[] 1.求三角函的定义域和值域应注意利用三角函图象. 2.三角函的最值都是在给定区间上得到的,因而特别要注意题设中所给的区间. 3.求三角函的最小正周期时,要尽可能地为三 角函的一般形式,要注意绝对值、 定义域对周期的影响. 4.判断三角函的奇偶性,应先判定函定义域的对称性.[]

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