天津市六校2015届高三上学期第一次联考数学(文)试题

2015 届高三六校联考(一) 数 学(文)

第 I 卷(选择题,共 40 分) 一、选择题(本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 个是正确的) 1. 在复平面内,复数 A. (-1,1)

2i 对应的点的坐标为 ( 1? i
C.(1,-1)

) D.(-1,-1)
[来源:学#科#网]

B.(1,1)

?y ? x ? 2. 设变量 x , y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 2 ,则 z ? x ? 3 y 的最小值 ( ? x ? ?2 ?
A.-2 B. -4 3.下列命题正确的是 ( C. -6 ) D. -8



A. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的必要不充分条件 B. 对于命题 p: ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 C. 若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题
2 D. 命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”的否命题为“若 x ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 2

4. 设 a ? log1 2, b ? log 1 3, c ? ( )
3 2

1 3

0.3

,则(

) D. b<a<c )

A. a<b<c

B. a<c<b

C. b<c<a

5. 设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? ( A. 3 6. 以双曲线 B.4 C.5 D. 6 )

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( 9 16
B. x2 ? y 2 ? 10 x ? 16 ? 0 D. x ? y ? 10x ? 9 ? 0
2 2

A. x2 ? y 2 ?10x ? 9 ? 0 C. x ? y ? 10 x ? 16 ? 0
2 2

7. 若关于 x 的不等式 x 2 ? 2 x ? 9 ? m 2 ? 2m 有实数解,则实数 m 的取值范围是( A. (??,?4) ? (2,??) B. ?? ?,?4? ? ?2,?? ? C. (?4,2) D. ?? ?,?2? ? ?4,?? ? 8. 已知函数 f ( x ) ? ?

)

?a ? e x ,x ? 0

?? ln x,x ? 0 一个实数解,则实数 a 的取值范围为(
A.

,其中 e 为自然对数的底数,若关于 x 的方程 f ( f ( x )) ? 0 ,有且只有 ) C.

? ?? ,0 ?

B.

? ?? ,0 ? ? 0,1?

? 0,1?

D.

? 0,1? ?1, ?? ?

第Ⅱ卷 非选择题 (共 110 分)
二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体,其三视图如右图,若图中圆的半径为 l,等腰三角形 的腰长为 5 ; ,则该几何体的表面积是 .

10.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的值为-25 时,输出 x 的值为
开 始



输入 x

|x|>1




x?

| x | ?1

x = 2x+1

输出 x





11. 如图,PC、DA 为⊙ O 的切线,A、C 为切点,AB 为⊙ O 的直径,若 DA=2, CD : DP ? 1 : 2 ,则 AB=____________.

12. 在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个三等分点,则

CP ? CB ? CP ? CA ?
1 1 13.若函数f ( x) ? log a x(其中a为常数且a ? 0, a ? 1)满足f (2) ? f (3), 且f ( )=1 则f (1 ? ) ? 1 2 x









.

14.在?ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a,b,c且a,b,c成等差数列,则 函数f(x)=sinB+cosB+sinB ? cos B+1的值域为______.
三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分 13 分) 某社区老年活动站的主要活动项目有 3 组及相应人数分别为:A 组为棋类有 21 人、B 组为音乐舞蹈类有 14 人、C 组为美术类有 7 人,现采取分层 抽样的方法从这些人中抽取 6 人进行问卷调查. (I)求应从 A 组棋类、B 组音乐舞蹈类、C 组美术类中分别抽取的人数; (II)若从抽取的 6 人中随机抽取 2 人做进一步数据分析, (1)列出所有可能的抽取结果; (2)求抽取的 2 人均为参加棋类 的概率. 16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , x?R . 2 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递减区间; (2) 设△ ABC 的内角 A , 若 sin B ? 2sin A , 求a, B, C 的对边分别为 a , b, c 且 c ? 3 ,f (C ) ? 0 , b 的值.

17.(本小题满分 13 分) 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面积 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?BCD ? 60 ,E 是 CD 的中点,PA⊥
O

底面积 ABCD,PA= 3 . (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ)求二面角 A-BE- P 的大小.

18. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的离心率为 ,且椭圆经过点 A(0,﹣1)

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)如果过点 H(0, )的直线与椭圆 E 交于 M、N 两点(点 M、N 与点 A 不重合) . ①若△AMN 是以 MN 为底边的等腰三角形,求直线 MN 的方程; ②在 y 轴是否存在一点 B,使得 19. (本小题满分 14 分) 若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意正整数 n 都有 6 S n ? 1 ? 2an ,记 bn ? log 1 an .
2



,若存在求出点 B 的坐标;若不存在,请说明理由.

(Ⅰ)求 a1 , a2 的值;

(Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅲ) 设Tn ?

1 1 ? 2? b12 b2

?

1 5 , n ? N * ,求证:Tn ? 2 bn 18

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? x ? ln x (a ? R, a ? 0) 2

(Ⅰ)当 a =2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 y ? f ( x) 在区间(2,3)内有且只有一个极值点,求 a 的取值范围; (Ⅲ)当 x ??1, ?? ? ,函数 f ( x ) 的图像恒在直线 y ? ax 的下方,求 a 的取值范围.

六校答案 1-4ADBD 5-8BAAB 9. (4 ? 5)? 10.3 11. 4 3 12.4 13.(1,2) 14. ? 2, ?

? ?

3? 2 2 ? ? 2 ?

15. 16. (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 2 2 6
2? ?? 2

∴函数 f(x)的最小正周期 T ? 令

3? ? 5? ? 2k? , (k ? Z ) ,解得 ? k? ? x ? ? k? . 2 6 2 3 6 ? 5? ? k? ], k ? Z ∴函数 f(x)的单调递减区间是 [ ? k? , 3 6 ? 2k? ? 2 x ? ?
(Ⅱ)由 f(C) = 0,得 sin( 2c ? 在△ABC 中,? 0 ? C ? ?

?

?

[来源:学科网 ZXXK]

?

6

) ? 1, ,

??

?
6

? 2C ?

?
6

?

? ? 2C ? ? ,解得 C ? . 3 6 2

?

?

11? ? 2? 6

又 sin B ? 2 sin A 得b ? 2a . 由 cosC ?

△ABC 中,由余弦定理得: 得 a ? 1, b ? 2.

a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? 4a 2 ? 3 1 ? ? , 2ab 2 4a 2

17. (1)如图所示,连结 BD,由 ABCD 是菱形且∠BCD=60°知,Δ BCD 是等边三角形 因为 E 是 CD 的中点, 所以 BE⊥CD, 又 AB∥CD, 所以 BE⊥AB 又因为 PA⊥平面 ABCD,BE 所以 PA⊥BE 而 PA∩AB=A, 因此 BE⊥平面 PAB 又 BE 平面 PBE, 平面 ABCD,

所以平面 PBE⊥平面 PAB。 (2)由(1)知,BE⊥平面 PAB,PB 所以 PB⊥BE 又 AB⊥BE, 所以∠PBA 是二面角 A-BE-P 的平面角 平面 PAB,

在 RtΔPAB 中,tan∠PBA= 故二面角 A-BE-P 的大小是 60°。 18.

,∠PBA=60°

[来源:学科网]

19. (Ⅰ) n ? 1时, 6a1 ? 1 ? 2a1 , 得a1 = ,又6(a1 ? a2 ) ? 1 ? 2a2 , 可得a2 ? (Ⅱ)

1 8

1 ; 32

6Sn ? 1 ? 2an 对于任意的正整数都成立,

6Sn?1 ? 1 ? 2an?1 (n ? 2)
两式相减,得

6an ? 2an ?1 ? 2an ,即an ?

1 an ?1 (n ? 2) 4

∴数列 ?an ? 是等比数列。

1 1 由()得 1 a1 ? , 公比q= , 8 4 1 ?1? ?an ? ? ? ? 8 ?4?
n ?1

?1? ?? ? ?2?

2 n ?1

?bn ? 2n ? 1
(Ⅲ) Tn ?

1 1 ? 2? b12 b2 ?

?

1 2 bn
1 1 1 ? ? ? 9 3? 5 5 ? 7
?
?

?

1 1 ? ? 32 52

1 (2n ? 1)2

?

1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)
1 ?? ? 1 ?? ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ?? ? ?

1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? ? ? ??? ? ?? 9 2? ?? 3 5 ? ? 5 7 ?
1 1 1 ? ? 9 6 2(2 n ? 1) 5 18

20. 解: (Ⅰ)

由题意定义域是 ? x x f ?( x) ? ax ? 1 ?

0?

1 ax 2 ? x ? 1 ? x x a ? 2 ? f (1) ? 0, f ?(1) ? 2 即: 2x ? y ? 2 ? 0

?曲线y ? f ( x)在(1, f (1))处的切线方程为:y ? 2 x ? 2

(Ⅱ)

设h( x) ? ax 2 ? x ? 1 ??0 ? ? ' ?2 1? ' 由题意得: ?h (2) ? h (3) ? 0 ? a的取值范围为? , ? . ?9 4? ? a?0 ?
(Ⅲ)

1 令g(x)= ax 2 ? x ? ln x ? ax x ? (0, ??) 2 x ? ?1, ?? ? , 函数f(x)图像恒在直线y=ax的下方 即x ? ?1, ?? ?,g max ( x) g ' ( x) ? ax ? 1 ? 0 1 (ax ? 1)( x ? 1) ?a ? x x 1 令g ' ( x)=0可得x1 ? 1,x2 ? a
(1 )当a ? 0时 x 2 ? ? g max ( x) ? g (1) ? 1 ? 0 ? x1 ? 1 ? g ( x)在?1, ? ? ?上单调递减; a

1 a ? 1 ? a ? 0 ? ?2 ? a ? 0 2

?1 ? (2)当0 ? a ? 1时 x 2 ? x1 ? 1 ? g ( x)在? ,?? ?上单调递增; ?a ? ? g(x) ? (g(x 2 ),??),不满足g max (x) ? 0
(3)当a ? 1时 x 2 ? x1 ? 1 ? g ( x)在?1,???上单调递增; ? g(x) ? (g(1),??),不满足g max (x) ? 0
综上所述,a 的取值范围为 - 2 ? a ? 0

六校答案 1-4ADBD 5-8BAAB 9. (4 ? 5)? 10.3 11. 4 3 12.4 13.(1,2) 14. ? 2, ?

? ?

3? 2 2 ? ? 2 ?

15. 16. (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 2 2 6

∴函数 f(x)的最小正周期 T ? 令

3? ? 5? ? 2k? , (k ? Z ) ,解得 ? k? ? x ? ? k? . 2 6 2 3 6 ? 5? ? k? ], k ? Z ∴函数 f(x)的单调递减区间是 [ ? k? , 3 6 ? 2k? ? 2 x ? ?
(Ⅱ)由 f(C) = 0,得 sin( 2c ? 在 △ABC 中,? 0 ? C ? ?

?

?

2? ?? 2

?

6

) ? 1, ,

??

?
6

? 2C ?

?
6

?

? 2C ?

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2

,解得 C ?

? . 3

11? ? 2? 6

又 sin B ? 2 sin A 得b ? 2a . 由 cosC ?

△ABC 中,由余弦定理得: 得 a ? 1, b ? 2.

a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? 4a 2 ? 3 1 ? ? , 2ab 2 4a 2

[来源:Zxxk.Com]

17. (1)如图所示,连结 BD,由 ABCD 是菱形且∠BCD=60°知,Δ BCD 是等边三角形 因为 E 是 CD 的中点, 所以 BE⊥CD, 又 AB∥CD, 所以 BE⊥AB 又因为 PA⊥平面 ABCD,BE 所以 PA⊥BE 而 PA∩AB=A, 因此 BE⊥平面 PAB 又 BE 平面 PBE, 平面 ABCD,

所以平面 PBE⊥平面 PAB。 (2)由(1)知,BE⊥平面 PAB,PB 所以 PB⊥BE 又 AB⊥BE, 平面 PAB,

所以∠PBA 是二面角 A-BE-P 的平面角

在 RtΔPAB 中,tan∠PBA= 故二面角 A-BE-P 的大小是 60°。 18.

,∠PBA=60°

19. (Ⅰ) n ? 1时, 6a1 ? 1 ? 2a1 , 得a1 = ,又6(a1 ? a2 ) ? 1 ? 2a2 , 可得a2 ? (Ⅱ)

1 8

1 ; 32

6Sn ? 1 ? 2an 对于任意的正整数都成立,

6Sn?1 ? 1 ? 2an?1 (n ? 2)
两式相减,得

6an ? 2an ?1 ? 2an ,即an ?

1 an ?1 (n ? 2) 4

∴数列 ?an ? 是等比数列。

1 1 由()得 1 a1 ? , 公比q= , 8 4 1 ?1? ?an ? ? ? ? 8 ?4?
n ?1

?1? ?? ? ?2?

2 n ?1

?bn ? 2n ? 1
(Ⅲ) Tn ?

1 1 ? 2? b12 b2 ?

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1 2 bn
1 1 1 ? ? ? 9 3? 5 5 ? 7
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1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)
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1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? ? ? ??? ? ?? 9 2? ?? 3 5 ? ? 5 7 ?
1 1 1 ? ? 9 6 2(2 n ? 1) 5 18

20 . 解: (Ⅰ)

由题意定义域是 ? x x

0?

1 ax 2 ? x ? 1 f ?( x) ? ax ? 1 ? ? x x a ? 2 ? f (1) ? 0, f ?(1) ? 2 ?曲线y ? f ( x)在(1, f (1))处的切线方程为:y ? 2 x ? 2 即: 2x ? y ? 2 ? 0
(Ⅱ)

设h( x) ? ax 2 ? x ? 1 ??0 ? ? ' ?2 1? ' 由题意得: ?h (2) ? h (3) ? 0 ? a的取值范围为? , ? . ?9 4? ? a?0 ?
(Ⅲ)

1 令g(x)= ax 2 ? x ? ln x ? ax x ? (0, ??) 2 x ? ?1, ?? ? , 函数f(x)图像恒在直线y=ax的下方 即x ? ?1, ?? ?,g max ( x) g ' ( x) ? ax ? 1 ? 0 1 (ax ? 1)( x ? 1) ?a ? x x 1 令g ' ( x)=0可得x1 ? 1,x2 ? a
(1 )当a ? 0时 x 2 ? ? g max ( x) ? g (1) ? 1 ? 0 ? x1 ? 1 ? g ( x)在?1, ? ? ?上单调递减; a

1 a ? 1 ? a ? 0 ? ?2 ? a ? 0 2

?1 ? (2)当0 ? a ? 1时 x 2 ? x1 ? 1 ? g ( x)在? ,?? ?上单调递增; ?a ? ? g(x) ? (g(x 2 ),??),不满足g max (x) ? 0
(3)当a ? 1时 x 2 ? x1 ? 1 ? g ( x)在?1,???上单调递增; ? g(x) ? (g(1),??),不满足g max (x) ? 0
综上所述,a 的取值范围为 - 2 ? a ? 0
[来源:Z+xx+k.Com]


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