四川省成都外国语学校2014届高三12月月考数学(理)试题


成都外国语学校 2014 届高三 12 月月考 数学(理)试题
满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考试务必先认真核对条形码上的姓名,准考证号和座位号,无误后将本人姓名、准 考证号和座位号填写在相应位置, 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号; 3.答题时,必须使用黑色签字笔,将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束后将答题卡交回,不得折叠、损毁答题卡。

第Ⅰ卷(单项选择题
x

共 50 分)


一、选择题(本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分,请将答案涂在答题卷上) 1、若集合 M ? { y | y ? 2 , x ? R} ,集合 S ? {x | y ? lg( x ? 1)} ,则下列各式中正确的是( A、 M ? S ? M B、 M ? S ? S C、 M ? S ) D、 2 ) D、100 ) D、 M ? S ? ? 2、设 i 是虚数单位,则 (1 ? i ) ?

2 等于( i

A、0 B、 4 C、 2 3、设等差数列 ?a n ? 的前项和为 S n ,若 a 4 ? 9 , a6 ? 11 ,则 S 9 等于( A、180 B、90 C、72 4、要得到一个奇函数,只需将 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的图象( A、向右平移 C、向左平移

? ?
6

个单位 个单位

B、向右平移 D、向左平移

? ?
3

开始 输入 p n=1 S=0 n=n+1 S=S+2?n n<p?
? 否 是

个单位 个单位

3 6 ???? ? ???? ? 5、 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 a ,AM ? 1 MC1 , N 为 B1B 的 点 2 中点, 则 MN ? ( )
A、

21 a 6

B、 6 a

6

C、 15 a

6

D、 15 a

3

6、执行如图的程序框图,如果输入 p=8,则输出的 S=( 63 127 127 A、 B、 C、 64 64 128
x

) 255 D、 128

输出 S 结 束

7、已知 a ? 0, 且 a ? 1 ,函数 y ? log a x, y ? a , y ? x ? a 在同一坐标系中的 图象可能是( )

A B C D 8、某校周四下午第五、六两节是选修课时间,现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。已知甲、乙教 师各自最多可以开设两节课,丙、丁教师各自最多可以开设一节课.现要求第五、六两节课中每节 课恰有两位教师开课(不必考虑教师所开课的班级和内容),则不同的开课方案共有( )种。 A、20 B、19 C、16 D、15
3 2 9、已知函数 f ( x) ? x ? px ? qx 与 x 轴相切于 x0 ( x0 ? 0) 点,且极小值为 ?4 ,则 p ? q ? (



A、12 B、15 C、13 D、16 10、已知 R 上的连续函数 g(x)满足:①当 x ? 0 时, g '( x) ? 0 恒成立( g '( x) 为函数 g ( x) 的导函数); ② 对 任 意 的 x ? R 都 有 g ( x ) ? g (? x ) , 又 函 数 f ( x ) 满 足 : 对 任 意 的 x ? R , 都 有

f ( 3 ? x) ? f ( x ? 3) 成 立 。 当 x ? [? 3, 3] 时 , f ( x) ? x3 ? 3 x 。 若 关 于 x 的 不 等 式 3 3 ) g[ f ( x)] ? g (a 2 ? a ? 2) 对 x ? [? ? 2 3, ? 2 3] 恒成立,则 a 的取值范围是( 2 2 1 3 3 1 3 3 A、 a ? R B、 0 ? a ? 1 C、 ? ? D、 a ? 0 或 a ? 1 ?a?? ? 2 4 2 4

第Ⅱ部分 非选择题(共 100 分)
二.填空题(本大题 5 个小题,每题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卷上)

3 , ? ),sin ? ? , 则 tan ? = 2 5 ?1 ? x ? y ? 3, 12、设 x , y 满足条件 ? 则点 ( x, y ) 构成的平面区域面积等于 ?? 1 ? x ? y ? 1,
11、已知 ? ? ( 13、若 2x ? 1

?

.

?

x

? 展开式中各项的二项式系数之和为 32,则该展开式中含 x 的项的系数为
n
3

14、已知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+b?1,且 a?(0,3),则对于任意的 b?R,函数 F(x)=f(x)?x 总有两个不同的 零点的概率是 15、若对任意 x ? A , y ? B , A 、 B ? R )有唯一确定的 f ( x, y ) 与之对应,称 f ( x, y ) 为关于 x 、 ( y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x 、 y 的广义“距离”: (1)非负性: f ( x, y ) ? 0 ,当且仅当 x ? y 时取等号; (2)对称性: f ( x, y ) ? f ( y, x) ; (3)三角形不等式: f ( x, y ) ? f ( x, z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立.
2 今 给 出 个 二 元 函 数 :① f ( x, y ) ?| x ? y | ; ② f ( x, y ) ? ( x ? y ) ; ③ f ( x, y ) ?

x? y ;

④ f ( x, y ) ? sin( x ? y ) . 则 能 够 成 为 关 于 的 x 、 y 的 广 义 “ 距 离 ” 的 函 数 的 所 有 序 号 是 . 三.解答题(本大题 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 16、 (12 分)集合 A ? { y | y ? sin x ? cos( x ?

?

若命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,且 p 是 q 必要不充分条件,求实数 m 的取值范围。

6

) ? m, x ? R} , B ? { y | y ? ? x 2 ? 2 x, x ? [1, 2]} ,

17、 (12 分)三棱锥 P?ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC。 (1)证明:平面 PAB⊥平面 PBC; 2 2 (2)若 PA= 6,PC 与侧面 APB 所成角的余弦值为 ,PB 与底面 3 ABC 成 60° 角,求二面角 B―PC―A 的大小。 18、 (12 分)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母, “辽宁”号以 4 台蒸 汽轮机为动力,为保证航母的动力安全性,科学家对蒸汽轮机进行了 170 余项技术改进,增加了某项新技术,该项新技术要进入试用阶段 前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。假如该 项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为



A C



3 2 1 、 、 。指标甲、乙、丙合格 4 3 2

分别记为 4 分、2 分、4 分;若某项指标不合格,则该项指标记 0 分,各项指标检测结果互不影 响。 (I)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率; (II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 X,求 X 的分布列与数学期望。 19、 分) (12 如图, 海上有 A , 两个小岛相距 10 km , O 将保持观望 A 岛和 B 岛所成的视角为 60? , 船 B 现从船 O 上派下一只小艇沿 BO 方向驶至 C 处进行 D 作业,且 OC ? BO .设 AC ? x km 。 2 2 A (1)用 x 分别表示 OA ? OB 和 OA ? OB ,并求出 x 的取值范围; 60? (2)晚上小艇在 C 处发出一道强烈的光线照射 A B C O 岛,B 岛至光线 CA 的距离为 BD ,求 BD 的最大 ( 第 19 题 值. 图) 20、 (13 分)已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1, 且点 P (an , an ?1 )(n ? N * ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上。 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)若函数 f (n) ? 小值; (3)设 bn ?

1 2 3 n ?n ? N , 且n ? 2?, 求函数 f (n) 的最 ? ? ??? n ? a1 n ? a 2 n ? a3 n ? an

g ?n ? 的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。 x 21、 (14 分) (理)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, g ( x) ? e . (I)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间 x?m (Ⅱ)若不等式 g ( x) ? 有解,求实数 m 的取值菹围; x (Ⅲ)定义: 对于函数 y ? F ( x) 和 y ? G ( x ) 在其公共定义域内的任意实数 x0 , F ( x0 ) ? G ( x0 ) 称
所有差值都大干 2。

1 , S n 表示数列 ?bn ?的前项和.试问:是否存在关于 n 的整式 g ?n ? ,使得 an S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?1 ? ?S n ? 1? ? g ?n ? 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若存在,写出

的值为两函数在 x0 处的差值。证明:当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x ) 在其公共定义域内的

成都外国语学校高 2014 级数学 12 月月考理科答案
1-10:ADBCA CCBBD

16、解: y ? sin x ? cos( x ?

?
6

) ? m ? sin x ?

? 3 sin( x ? ) ? m ? [m ? 3, m ? 3] --------------------------5 分 6 故 A ? [m ? 3, m ? 3] -------------------------6 分

?

3 1 3 3 cos x ? sin x ? m ? sin x ? cos x ? m 2 2 2 2

y ? ? x 2 ? 2 x 在 x ? [1, 2] 为减函数,故 B ? [0,1] ,------------------8 分 又命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B , p 是 q 必要不充分条件,故 B ? A -----------10 分 ? m ? 3 ? 0 且 m ? 3 ? 1 ,从而 1 ? 3 ? m ? 3 ------------12 分,
17、 (1)证明:∵PA?面 ABC,?PA?BC, ∵AB?BC,且 PA∩AB=A,?BC?面 PAB P 而 BC?面 PBC 中,?面 PAB?面 PBC. ……5 分 解:(2)过 A 作 AE ? PB于E, 过E作EF ? PC于F, 连结AF, 如图所示: F E 则?EFA 为 B?PC?A 的二面角的平面角 ……8 分 2 由 PA= 6,在 Rt?PBC 中,cos?COB= 2. 3 A PA· AB 6 Rt?PAB 中,?PBA=60?. ?AB= 2,PB=2 2,PC=3 ?AE= = PB 2 B 同理:AF= 2 ………10 分 6 2 3 ?sin?EFA= = , ………11 分 2 2 ??EFA=60. ………12 分 另解:向量法:由题可知:AB= 2,BC=1,建立如图所示的空间直角坐标系…………7 分 → z B(0,0,0),C(1,0,0),A(0, 2,0),P(0, 2, 6),假设平面 BPC 的法向量为 n =(x1,y1,z1), P → ?→· =x1=0 n BC ??→ → ? n · = 2y1+ 6z1=0 BP → 取 z1= 6,可得平面 BPC 的法向量为 n =(0,?3 2, 6)………9 分 y → 同理 PCA 的法向量为 m =(2,? 2,0)…………………11 分 A →→ m· 1 n →→ ?cos< m , n >= = ,? 所求的角为 60° ………12 分 → → 2 B | m |·n | | 18、解:(Ⅰ)该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件 A 、 B 、 C , 则事 件“得分不低于 8 分”表示为 ABC + ABC . ? ABC 与 ABC 为互斥事件,且 A 、 B 、 C 为彼此独 立 ? P( ABC + ABC ) = P ( ABC )+ P ( ABC )
2 1 3 1 1 3 ------------5 分 ? 3 2 4 3 2 8 (Ⅱ)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数 X 的取值为 0,1,2,3. ------------6 分 1 1 1 1 , ? P( X ? 0) = P ( ABC )= ? ? = 4 3 2 24 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 P( X ? 1) = P ( ABC + ABC + ABC )= ? ? + ? ? + ? ? = , 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 1 1 2 1 3 1 1 11 P( X ? 2) = P ( ABC + ABC + ABC )= ? ? + ? ? + ? ? = , 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24

C

x C

= P ( A ) P ( B ) P ( C )+ P ( A ) P ( B ) P ( C )= ? ? ? ? ?

3 4

3 2 1 1 P( X ? 3) = P ( ABC )= ? ? = , ---------------10 分 4 3 2 4 随机变量 X 的分布列为 0 1 2 3 X 1 1 11 1 P 24 4 24 4 1 1 11 1 23 + 1? + 2 ? + 3? = ---------------12 分 ? EX = 0 ? 24 4 24 4 12 19、解: (1)在 ?OAC 中, ?AOC ? 120? , AC ? x , 由余弦定理得, OA2 ? OC 2 ? 2OA ? OC ? cos120? ? x 2 , 又 OC ? BO , 所以 OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos120? ? x 2 ①, ……1 分 在 ?OAB 中, AB ? 10 , ?AOB ? 60? C 由余弦定理得, 2 2 OA ? OB ? 2OA ? OB ? cos 60? ? 100 ②, ………3 分

D
A

60? O
(第 19 题图)

B

①+②得 OA2 ? OB 2 ?

x ? 100 , 2
2

x 2 ? 100 , …………4 分 2 x 2 ? 100 x 2 ? 100 又 OA2 ? OB 2 ≥ 2OA ? OB ,所以 ,即 x 2 ≤ 300 , ≥2? 2 2 x 2 ? 100 2 又 OA ? OB ? >0 ,即 x >100 , 所以 10< x ≤10 3 ………………………6 分 2 (2)易知 S ?OAB ? S ?OAC ,
①-②得 4OA ? OB ? cos 60? ? x 2 ? 100 ,即 OA ? OB ?

1 3( x 2 ? 100) 故 S ?ABC ? 2 S ?OAB ? 2 ? ? OA ? OB sin 60? ? , ………………………8 分 2 4 1 又 S ?ABC ? ? AC ? BD ,设 BD ? f ( x) , 2 3( x 2 ? 100) 所以 f ( x) ? ……………………………9 分 , ? (10 , 3] , x 10 2x 3 100 又 f ?( x) ? ……………………………10 分 (1 ? 2 ), 2 x 则 f ( x) 在 (10 , 3] 上是增函数, 10
所以 f ( x) 的最大值为 f (10 3) ? 10 ,即 BD 的最大值为 10. ) (10 , 3] 上是增函数,但未给出证明,扣 2 分. 10 ……………………12 分 (利用单调性定义证明 f ( x) 在 (10 , 3] 上是增函数,同样给满分;如果直接说出 f ( x) 10

21、


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