【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第2章 第7讲_图文

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课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

第7讲 函数的图象

第二章 第7讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第二章 第7讲

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1. 在 实 际 情 境 中 , 会 根 据 不 同 的 需 要 选 择 图 象 法 、 列 表 法、解析法表示函数.
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的 个数与不等式的解的问题.
3.会用数形结合思想、转化与化归思想解决数学问题.

第二章 第7讲

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1条主线 数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,函数的 单调性、奇偶性、周期性、最值、零点等问题常借助于函数的 图象来研究. 2个掌握 1. 掌握几个基本函数的图象,如二次函数、指数函数、对 数函数、幂函数等. 2. 掌握平移、伸缩、对称、翻折、周期变换等方法、技 巧,帮助我们简化作图过程.

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3种方法 1. 定性分析法:通过对问题进行定性分析,从而得到图象 上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题. 2. 定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题. 3. 函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模 型,利用这一函数模型来分析解决问题.

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课前自主导学

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1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线,首先:①确定函数的定 义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调 性、周期性、对称性等);其次:列表(尤其注意特殊点、零 点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.

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函数y=x|x|的图象大致是( )

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设奇函数f(x)的定义域为[-5,5], 若 当 x∈[0,5] 时 , f(x) 的 图 象 如 右 图 , 则不等式f(x)<0的解集是________.

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2.图象变换 (1)平移变换

原图象对应的函 图象变换过程(a>0、



b>0)

y=f(x)

向左平移a个单位

y=f(x)

向右平移a个单位

y=f(x)

________

y=f(x)

______

变换后图象 对应的函数
________
________ y=f(x)+b y=f(x)-b

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(2)对称变换

函数A y=f(x) y=f(x) y=f(x)

函数B ________ ________ y=-f(-x)

A与B的图象间的对称关系 关于y轴对称 关于x轴对称 ____________

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(3)伸缩变换

原图象 对应的
函数 y=f(x) y=f(x)

图象变换过程(a>1、0<b<1)
图象上每个点的纵坐标都伸长到原来的a倍 图象上每个点的纵坐标都缩短到原来的b倍

y=f(x) 图象上每个点的____坐标都伸长到原来的___倍

y=f(x) 图象上每个点的____坐标都缩短到原来的___倍

变换后图象对应的 函数
________ ________ y=f(1ax) y=f(1bx)

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(4)翻折变换

原图象 对应的 函数

图象变换过程

变换后图 象对应的
函数

先把f(x)的图象中位于x轴上方的部 y=f(x) 分______,将图象中位于x轴下方 y=|f(x)|
的部分__________翻折到____

先把f(x)的图象中位于y轴右侧的部

y=f(x)

分______,左侧的部分去掉,将 图象中位于y轴右侧的部分

____________翻折到______

y=f(|x|)

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已知函数f(x),若f(a+x)=f(b-x),则f(x)对称性如何,函 数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象又具有什么关系?

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已知f(x)=

?? -2x,?-1≤x≤0?

? ??

x,?0<x≤1?

,则下列函数的图象是

否正确.

①y=f(x-1)的图象( )

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②y=f(-x)的图象( )

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③y=|f(x)|的图象( )

④y=f(|x|)的图象( )

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1.选一选:A 填一填:(-2,0)∪(2,5] 提示:当x>0时,不等式f(x)<0等 价于2<x≤5; 当x<0时,f(x)=-f(-x)<0,∴f(-x)>0, ∴0<-x<2,∴-2<x<0. 综上:不等式f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5]. 另解,数形结合

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∵f(x)为奇函数,∴[-5,0]图象与[0,5]图象关于(0,0)对称, ∴在[-5,5]函数如下图

∴f(x)<0解集为(-2,0)∪(2,5].

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2.y=f(x+a) y=f(x-a) 向上平移b个单位 向下平

移b个单位 y=f(-x) y=-f(x) 关于原点对称 y=af(x)

y=bf(x) 横 a 横 b 不变 以x轴为对称轴 上方 不

变 以y轴为对称轴 左侧

想一想:提示:f(x)图象关于x=a+2 b对称,这是一种自

对称;而y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=

b-a 2



称,这是一种互相对称,二者是不同的.

判一判:①√ ②√ ③√ ④×

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核心要点研究

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例1 利用变换规律画出函数图象,且体现变换过程. (1)y=|x-2|·(x+2); (2)y=xx+ +23; (3)y=sin|x|; (4)y=|log2(x+1)|.

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[审题视点] 对于(1)(2)可先化简解析式,再利用基本函数 的图象变换得到它们的图象,对于(3)(4)可直接使用图象变换得 到其图象.

[解] (1)函数式可化为y=?????x-2-x24+,4x,≥x2<2

其图象如下图实线所示:

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(2)y=

x+2 x+3

=1-

1 x+3

,该函数图象可由函数y=-

1 x



左平移3个单位再向上平移1个单位得到,如图所示.

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(3) 当 x≥0 时 , y = sin|x| 与 y = sinx 的 图 象 完 全 相 同 , 又 y = sin|x|为偶函数,其图象关于y轴对称,其图象如图.

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(4)作y=log2x的图象c1,然后将c1向左平移1个单位,得到y =log2(x+1)的图象c2,再把c2位于x轴下方的图象作关于x轴对 称的图象,即为所求图象c3:y=|log2(x+1)|的图象.如图.

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作函数图象的一般步骤为: (1)求出函数的定义域; (2)化简函数式; (3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性)以及图象上的特殊 点、线(如渐近线、对称轴等); (4)利用基本函数的图象画出所给函数的图象.

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[变式探究] 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lgx|; (2)y=2x+2; (3)y=x2-2|x|-1. (4)y=12|x+1|.

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解:(1)y=?????l-gxlgx

?x≥1? ?0<x<1? .图象如图(1).

(2)将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图(2).

(3)y=?????xx22- +22xx- -11

?x≥0? ?x<0?

.图象如图(3).

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(4)函数图象可由y=(12)x变化而得,其过程如下:

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例2 [2012·山东卷]函数y=2cx-os62x-x的图象大致为(

)

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[审题视点] 我们注意到f(x)=cos6x有无数个零点及g(x)= 2x-2-x的变化趋势可迅速确定选项.

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[解析] 函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除

A;令y=0得cos6x=0,所以6x=

π 2

+kπ,x=

π 12



k 6

π,函数

零点有无穷多个,排除C,且y轴右侧第一个零点为(

π 12



0);又函数y=2x-2-x为增函数,当0<x<

π 12

时,y=2x-2-

x>0,cos6x>0,所以函数y=2cx-os62x-x>0,排除B,答案选D. [答案] D

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奇思妙想:本例函数变为“y=

x 2

-2sinx”,其图象大

致是哪一个?

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解析:C 当x=0时,y=0,由此排除选项A;当x=2π 时,y=π<4,由此排除B;当x→+∞时,y>0,由此排除选项 D,故应选C.

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函数图象是研究函数性质的直观工具,研究一个函数图象 可从如下几个方面来考查:(1)函数图象的范围,即定义域和值 域;(2)函数图象的最高点、最低点和极点;(3)函数图象的变化 趋势,即单调性、对称性和周期性;(4)函数过定点或渐近线等 关键特征.

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[变式探究] [2013·揭阳模拟]已知函数f(x)=log2|x|,g(x)= -x2+2,则f(x)·g(x)的图象为( )

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答案:C

解析:由f(x)·g(x)为偶函数,排除A,D,当x=

1 2

时,

f(x)·g(x)=-74,排除B.

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例3 [2013·长沙检测]已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4) =0.
(1)求实数m的值; (2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数; (3)根据图象指出f(x)的单调递减区间; (4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集; (5)求集合M={m|使方程f(x)=m有三个不相等的实根}.

第二章 第7讲

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[审题视点] 求解本题先由f(4)=0,求得函数解析式,再 根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象,进而应用图 象求解(3)(4)(5)三个小题.
[解析] (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即m=4;

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(2)∵f(x)=x|m-x|=x|4-x|=?????x-?xx-?x4-?,4?,x≥x4<,4. ∴函数f(x)的图象如图: 由图象知f(x)有两个零点. (3)从图象上观察可知:f(x)的单调递减区间为[2,4]. (4)从图象上观察可知: 不等式f(x)>0的解集为:{x|0<x<4或x>4}.

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(5)由图象可知若y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交点, 则0<m<4,
∴集合M={m|0<m<4}.

第二章 第7讲

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奇思妙想:本例题已知条件不变,求f(x)在[1,5]上的值域. 解 : ∵ f(5) = 5>4 , ∴ 由 图 象 知 , 函 数 在 [1,5] 上 的 值 域 为 [0,5].

第二章 第7讲

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利用函数的图象能直观地解决函数的性质问题、方程根的 个数问题、函数的零点个数问题及不等式的解集与恒成立问 题,但其关键是作出准确的函数图象,数形结合求解,否则若 图象出现失误,将得到错误的结果.

第二章 第7讲

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[变式探究] 设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈

R,都有f(x-2)=f(x+2),且当x∈[-2,0]时,f(x)=(

1 2

)x-

1,若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1) 恰有3个不同的实数根,求实数a的取值范围.

第二章 第7讲

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解:f(x)是定义在 R 上的偶函数,∴f(x)的图象关于 y 轴 对称.
对任意 x∈R,都有 f(x-2)=f(x+2),∴f(x)的周期为 4. 当 x∈[-2,0]时,f(x)=(12)x-1,所以就可以画出一个周 期的图象.

第二章 第7讲

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f(x)-loga(x+2)=0(a>1),即f(x)=loga(x+2), 作图分析,函数f(x)与函数y=loga(x+2)的图象在(-2,6] 上有三个交点.

∴?????llooggaa??26+ +22??<>33, , ∴?????48<>aa33, , ∴3 4<a<2, ∴实数a的取值范围为(3 4,2).

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课课精彩无限

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【选题·热考秀】

[2012·天津高考]已知函数y=

|x2-1| x-1

的图象与函数y=kx

的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.

第二章 第7讲

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[规范解答]

函数y=

|x2-1| x-1

的定义

域为{x|x≠1},所以当x>1时,y=x+

1,当-1<x<1时,y=-x-1,当x≤-

1时,y=x+1,图象如图所示,

由图象可知当0<k<2且k≠1时两函

数恰有两个交点,所以实数k的取值范

围为(0,1)∪(1,2).

[答案] (0,1)∪(1,2)

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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 本题中的函数含有绝对值号,必须先根据绝对值的定义去 掉绝对值符号,转化为一般的分段函数,通过数形结合直观判 断出两个函数交点的个数即可. No.2 角度关键词:方法突破 (1)函数图象形象地显示了函数的性质 (如单调性、奇偶 性、最值等),为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,因 此常用函数的图象研究函数的性质.

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(2) 有 些 不 等 式 问 题 常 转 化 为 两 函 数 图 象 的 上 、 下 关 系 来 解.
(3)方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问 题来求解.
(4)本题比较突出的问题,是作图不规范.由于作图不规 范,会导致思路出现错误.

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经典演练提能

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1.[2011·陕西高考]函数y= 的图象是( )

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答案:B 解析:由(-x) =- 知函数是奇函数.同时由当 0<x<1时, >x,当x>1时, <x,知只有B选项符合.

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2.[2013·吉林模考]函数f(x)=1+log2x与g(x)=21-x在同一 直角坐标系下的图象大致是( )

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答案:C

解析:f(x)=1+log2x的图象由函数f(x)=log2x的图象向上平 移一个单位而得到,所以函数图象经过(1,1)点,且为单调增函

数 , 显 然 , A 项 中 单 调 递 增 的 函 数 图 象 经 过 点 (1,0) , 而 不 是

(1,1),故排除A;

函数g(x)=21-x=2×(

1 2

)x,其图象经过(0,2)点,且为单

调减函数,B项中单调递减的函数图象与y轴的交点坐标为

(0,1),故排除B;

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D项中两个函数都是单调递增的,故也排除. 综上所述,排除A、B、D.选C.

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3.[2012·湖北卷]已知定义在区间[0,2] 上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=- f(2-x)的图象为( )

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答案:B 解析:设g(x)=-f(2-x),由已知函数图象可知f(1)=1,令 2-x=1,解得x=1,故g(1)=-f(2-1)=-f(1)=-1<0,故排 除A、C.由已知函数图象可得f(0)=0,令2-x=0,解得x=2, 故g(2)=-f(2-2)=-f(0)=0,故排除D.综上选B.

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4.[2013·陕西联考]已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+

4x-3,若存在f(a)=g(b),则实数b的取值范围为( )

A.[1,3]

B.(1,3)

C.[2- 2,2+ 2]

D.(2- 2,2+ 2)

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答案:D
解析:函数f(x)=ex-1的值域为(-1,+∞),g(x)=- x2+4x-3的值域为(-∞,1],若存在f(a)=g(b)则需g(b)>- 1,即-b2+4b-3>-1,∴b2-4b+2<0,∴2- 2 <b<2+
2.

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限时规范特训

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