上海市闸北区2015届高三上学期期末练习(一模)数学(理)试题

闸北区 2014 学年度第一学期高三数学(理科)期末练习卷 考生注意: 1. 本次测试有试题纸和答题纸,解答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,并 在规定区域内贴上条形码. 3. 本试卷共有 16 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(54 分)本大题共有 9 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 6 分,否则一律得零分. 1.若复数 a ? 2i ( i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a ? 1 ? 2i . . . 个. . 2.若 f ( x) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log2 (2 ? x) ,则 f (0) ? f (2) ? 3.设定点 A(0,1) ,若动点 P 在函数 y ? x?2 ( x ? 0) 图像上,则 PA 的最小值为 x 4.用数字“ 1 , 2 ”组成一个四位数,则数字“ 1 , 2 ”都出现的四位偶数有 1 2 4n ?1 ? 1 2 5.设 n ? N ,圆 Cn : ( x ? ) ? ( y ? 1) ? n 的面积为 Sn ,则 lim S n ? n ? ?? n 4 ?1 ? 6.在 Rt ?ABC 中, AB ? AC ? 3 , M , N 是斜边 BC 上的两个三等分点,则 AM ? AN 的值 为 . 7.设函数 f ( x) ? 15 对任意的 x ? R , sin(?x) ,若存在 x0 ? (?1,1) 同时满足以下条件:① 2 都有 f ( x) ? f ( x0 ) 成立;②x02 ? [ f ( x0 )]2 ? m2 ,则 m 的取值范围是 . 2 8.若不等式 x ? x ?1 ? a 的解集是区间 ? ?3, 3? 的子集,则实数 a 的取值范围为 9.关于曲线 C : x ? y ? 1,给出下列四个结论: 4 3 . ① 曲线 C 是双曲线; ③ 关于坐标原点中心对称; 则其中正确结论的序号是 ② 关于 y 轴对称; ④ 与 x 轴所围成封闭图形面积小于 2. . (注:把你认为正确结论的序号都填上) 二、选择题(18 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 6 分,否则一律得零分. 10. “ a ? 2 ”是“关于 x , y 的二元一次方程组 ? A.必要不充分条件; C.充要条件; ?ax ? 2 y ? 3 有唯一解”的 【 ?x ? (a ? 1) y ? 1 】 B.充分不必要条件; D.既不充分也不必要条件. 11.已知等比数列 {a n } 前 n 项和为 S n ,则下列一定成立的是 A.若 a3 ? 0 ,则 a2015 ? 0 ; C.若 a3 ? 0 ,则 S2015 ? 0 ; B.若 a4 ? 0 ,则 a2014 ? 0 ; D.若 a4 ? 0 ,则 S2014 ? 0 . 【 】 12.对于集合 A ,定义了一种运算“ ? ” ,使得集合 A 中的元素间满足条件:如果存在元素 e ? A ,使得对任意 a ? A ,都有 e ? a ? a ? e ? a ,则称元素 e 是集合 A 对运算“ ? ” 的单位元素.例如: A ? R ,运算“ ? ”为普通乘法;存在 1 ? R ,使得对任意 a ? R , 都有 1? a ? a ?1 ? a ,所以元素 1 是集合 R 对普通乘法的单位元素. 下面给出三个集合及相应的运算“ ? ” : ① A ? R ,运算“ ? ”为普通减法; ② A ? { Am?n Am?n 表示 m ? n 阶矩阵, m ? N? , n ? N? },运算“ ? ”为矩阵加法; ③ A ? X X ? M (其中 M 是任意非空集合) ,运算“ ? ”为求两个集合的交集. 其中对运算“ ? ”有单位元素的集合序号为 A.① ② ; B.① ③ ; C.① ② ③ ; D.② ③ . 【 】 ? ? 三、解答题(本题满分 78 分)本大题共有 4 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 13. (本题满分 18 分,第(1)小题 9 分,第(2)小题 9 分) 请仔细阅读以下材料: 已知 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数. 求证:命题“设 a, b ? R ,若 ? ,则 ”是真命题. 证明 因为 ,由 得 . 又因为 是定义在 上的单调递增函数, 于是有 . ① 同理有 . ② 由①+ ② 得 . 故,命题“设 ,若 ,则 ”是真命题. 请针对以上阅读材料中的 ,解答以下问题: (1)试用命题的等价性证明: “设 ,若 ,则: ”是真命题; (2)解关于 的不等式 (其中 ) . 14. (本题满分 20 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 如图,在海岸线 一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段 , 该曲线段是函数 , 的图像,图像的 y 最 高点 为 . 边界的 中间部 分为 长 B G F(- 4,0) C 2 Q D P M E x -1 O 千米的直线段 ,且 .游乐场的后一部分边界是以 为圆心的一段圆弧 . (1)求曲线段 的函数表达式; (2)曲线段 上的入口 距海岸线 最近距离为 千米,现准备从入口 修一条笔直的景观路到 , 求景观路 长; (3)如图,在扇形 区域内建一个平行四边 形休闲区 ,平行四边形的一边在海岸线 上,一边在半径 上,另外一个顶点 在圆弧 上,且 ,求平行四边形休闲区 面积的

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