四川省雅安市天全中学2015-2016学年高二数学下学期第4周周练试题

天全中学 2015—2016 学年下期高二第 4 周周考 数 学 试 题
班级: 一、填空题 则 姓名:
3

成绩:

1.【2015 高考新课 标 1,文 14】已知函数 f ? x ? ? ax ? x ?1 的图像在点 1, f ?1? 的处的切线过点 ? 2, 7 ? ,

a?

?

?

.

2.【2015 高 考天津,文 11】已知函数 f ? x ? ? ax ln x, x ? ? 0, ??? ,其中 a 为实数, f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函 数,若 f ? ?1? ? 3 ,则 a 的值为 .

3.函数 y=x (x>0)的图象在点(an,an)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 an+1,n∈N ,若 a1=16,则 a3+ a5=________,数列{an}的通项公式为________.

2

2

*

4.点 P 是曲线 y=x -ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是________.

2

5.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则 f′(0)=__________.

6.【2015 高考陕西,文 15】函数 y ? xe 在其极值点处的切线方程为____________.
x

7.已知函数 f(x)=ln x+2 ,若 f(x +2)<f(3x),则实数 x 的取值范围是________.

x

2

8.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x -ax -2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值为________.

3

2

1? ?2-? ?2? ,x≤0, ? ? ? 9.已知直线 y=mx(m∈R)与 函数 f(x)= ?1x +1,x>0 ?2
x
2

的图象恰有三个不同的公共点,则实数 m

的取值范围是________.

10 .已知函数 f(x) =x -3ax + 3x+ 1.设 f(x)在区间 (2,3)中至少 有一个极值点,则 a 的取值范围是 ________.

3

2

1

二、解答题 2 2 11.【2015 高考四川,文 21】已知函数 f(x) =-2lnx+x -2ax+a ,其中 a>0. (Ⅰ)设 g(x)为 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; (Ⅱ)证明:存在 a∈(0,1),使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内有唯一解.

12.【2015 高 考天津,文 20】(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) = 4x - x4 , x ? R, (I)求 f ( x ) 的单调区间; (II)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求证:对于任意的 正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ;

2

天全中学 2015—2016 学年下期高二第 4 周周考 数学答案 一、填空题 1.【答案】1 【解析】试题分 析:∵ f ?( x) ? 3ax2 ? 1 ,∴ f ?(1) ? 3a ? 1 ,即切线斜率 k ? 3a ? 1 , 又∵ f (1) ? a ? 2 ,∴切点为(1, a ? 2 ),∵切线过(2,7),∴ 考点:利用导数的几何意义求函数的切线;常见函数的导数;

a?2?7 ? 3a ? 1 ,解得 a ? 1. 1? 2

2.【答案】3【解析】因为 f ? ? x ? ? a ?1 ? ln x ? ,所以 f ? ?1? ? a ? 3 . 【考点定位】本题主要考查导数的运算法则. 2 3.解析 k=f′(an)=2an,切线方程为 y-an=2an(x-an),令 y=0, an+1 1 1 2 得-an=2an(an+1-an),即 = .所以{an}是首项为 16,公比为 的等比数列, an 2 2 ?1?n-1 5-n 所以 an=16·? ? =2 ,a3+a5=5. ?2? 5-n 答案 5 2 1 1 2 4.解析 设 P(t,t -ln t),由 y′=2x- ,得 k=2t- =1(t>0),解得 t=1.所以过点 P(1,1)的切

x

t

线方程为 y=x,它与 y=x- 2 的距离 d=

= 2即为所求.答案 2 2 4 4 12 5 . 解 析 函 数 f(x) 的展 开 式含 x 项的 系 数为 a1·a2·…·a8 = (a1·a8) = 8 = 2 , 而 f′(0)= a1·a2·…·a8=212=4 096.答案 4 096 6.【答案】 y ? ?

2

1 e 1 e

【解析】 y ? f ( x) ? xex ? f ?( x) ? (1 ? x)e x ,令 f ?( x) ? 0 ? x ? ?1 ,此时 f ( ?1) ? ? 函数 y ? xe 在其极值点处的切线方程为 y ? ?
x

1 e

【考点定位】:导数的几何意义. 1 x x 7. 解析 由 f(x)=ln x+2 ,得 f′(x)= +2 ln 2>0,x∈(0,+∞),

x

所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增,又 f(x +2)<f(3x),得 0<x +2<3x, 所以 x∈(1,2).答案 (1,2) 2 8.解析 由题意,x=1 是 f′(x)=12x -2ax-2b 的一个零点,所以 12-2a-2b=0,即 a+b=6(a>0, ?a+b?2=?6?2=9,当且仅当 a=b=3 时等号成立.答案 9 b>0),因此 ab≤? ? ? ? ? 2 ? ?2? 1 2 9.解析 如图,可求得直线 y= 2x 与 y= x +1(x>0)的图象相切时恰有两个不同的 2 公共点,当 m> 2时,直线 y=mx 与 y=f(x)的图象恰有三个不同的公共点. 答案 ( 2,+∞) 2 2 2 10.解析 f′(x)=3x -6ax+3=3[(x-a) +1-a ]. 2 当 1-a ≥0 时,f′(x)≥0,f(x)为增函数,故 f(x)无极值点; 2 2 2 当 1-a <0 时,f′(x)=0 有两个根 x1=a- a -1,x2=a+ a -1. 2 2 由题意,知 2<a- a -1<3,①或 2<a+ a -1<3,② 5 5 ?5 5? ?5 5? ①无解,②的解为 <a< ,因此 a 的取值范围为? , ?.答案 ? , ? 4 3 4 3 ? ? ?4 3? 二、解答题 11.【解析】(Ⅰ)由已知,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) g(x)=f '(x)=2(x-1-lnx-a)

2

2

3

所以 g'(x)=2-

2 2( x ? 1) ? x x

当 x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减 当 x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增 (Ⅱ)由 f '(x)=2(x-1- lnx-a)=0,解得 a=x-1-lnx 2 2 2 令 Φ (x)=-2xlnx+x -2x(x- 1-lnx)+(x-1-lnx) =(1+lnx) -2xlnx 则 Φ (1)=1>0,Φ (e)=2(2-e)<0 于是存在 x0∈(1,e),使得 Φ (x0)=0 令 a0=x0-1-lnx0=u(x0),其中 u(x)=x-1-lnx(x≥1) 由 u'(x)=1-

1 ≥0 知,函数 u(x)在区间(1,+∞)上单调递增 x

故 0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1 即 a0∈(0,1) 当 a=a0 时,有 f '(x0)=0,f(x0)=Φ (x0)=0 再由(Ⅰ)知,f '(x)在区间(1,+∞)上单调递增 当 x∈(1,x0)时,f '(x)<0,从而 f(x)>f(x0)=0 当 x∈(x0,+∞)时,f '(x)>0,从而 f(x)>f(x0)=0 2 又当 x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0) -2xlnx>0 故 x∈(0,+∞)时,f(x)≥0 综上所述,存在 a∈(0,1),使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内有唯一解. 【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论 证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想. 见试题解析. 【解析】

12.【答案】(I) f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??,1? ,单调递减区间是 ?1, ?? ? ;(II)见试题解析;(III)

( I )由 f ? ( x) = 4- 4x3 , 可得 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??,1? , 单调递减区间是 ?1, ?? ? ; ( II )

g ? x ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? , F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,证明 F ? x ? 在 ? ??, x0 ? 单调递增,在 ? x0 , ??? 单调递减,
所以对任意的实数 x, F ? x ? ? F ? x0 ? ? 0 ,对于任意的正实数 x ,都有 f (x) ? g (x) ; (III) 设方程 g ? x ? ? a 的 根为 x2? , 可得 x2? ? ?
1 a ? 4 3 , 由 g ? x ? 在 ? ??, ??? 单调递减, 得 g ? x2 ? ? f ? x2 ? ? a ? g x2? 12

? ?

, 所以

a x2 ? x2? . 设曲线 y ? f ? x ? 在原点处的切线为 y ? h ? x ? , 方程 h ? x ? ? a 的根为 x1? , 可得 x1? ? ,由 4 h ? x ? ? 4x 在 在 ? ? ? , ?? ? 单 调 递 增 , 且 h x ? ? a ? f ? x ? ? h ? x ? , 可 得 x1? ? x1 , 所 以

? ?
1

1

1

a ?2? ?x1 x2 ? x1? x ? ? ? 43 . 3 试题解析:(I)由 f ( x) = 4 x - x 4 ,可得 f ? (x) = 4 - 4 x 3 ,当 f ? ? x ? ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ? x ? 单调递增;当

1

f ? ? x ? ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ? x ? 单调递减.所以函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??,1? ,单调递减区间是

?1, ??? .
( II ) 设 P ? x0 ,0? , 则 x0 ? 4
1 3

, f ? ? x0 ? ? ?12,

曲 线 y ? f? x ? , 令

在点 P 处的切线方程为

y ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ?

,



g ? x ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ?

F ? x? ? f ? x? ? g ? x?



F ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ?? x ? x0 ? 则 F ? ? x ? ? f ? ? x ? ? f ? ? x0 ? . 由于 f ? ( x) = 4 - 4x3 在 ? ??, ??? 单调递减,故 F ? ? x ? 在 ? ??, ??? 单调递减,又因为 F ? ? x0 ? ? 0 ,所以当 x ? ? ??, x0 ? 时 , F ? ? x ? ? 0 , 所以当 x ? ? x0 , ??? 时 , F ? ? x ? ? 0 , 所以 F ? x ? 在 ? ??, x0 ? 单调递增 , 在

? x0 , ??? 单调递减,所以对任意的实数 x, F ? x? ? F ? x0 ? ? 0

,对 于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) .

4


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