E 不等式(理科)


E E1

不等式

不等式的概念与性质 )

5.E1、E6[2012· 福建卷] 下列不等式一定成立的是( 1 2 ? A.lg? ?x +4?>lgx(x>0) 1 B.sinx+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sinx C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1 5.C

[解析] 本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用,解题时注意使用不等式 1 2 1? 的性质以及基本不等式成立的条件.对于 A 选项,当 x= 时,lg? ?x +4?=lgx;所以 A 不一 2 定正确;B 命题,需要满足当 sinx>0 时,不等式成立,所以 B 也不正确;C 命题显然正确; 1 D 命题不正确,∵x2+1≥1,∴0< 2 ≤1,所以正确的是 C. x +1 21.D1、D3、E1、M3[2012· 重庆卷] 设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1=a2Sn+a1,其 中 a2≠0. (1)求证:{an}是首项为 1 的等比数列; n (2)若 a2>-1,求证:Sn≤ (a1+an),并给出等号成立的充要条件. 2 21.解:(1)证法一:由 S2=a2S1+a1 得 a1+a2=a2a1+a1,即 a2=a2a1. a2 因 a2≠0,故 a1=1,得 =a2. a1 又由题设条件知 Sn+2=a2Sn+1+a1,Sn+1=a2Sn+a1, 两式相减得 Sn+2-Sn+1=a2(Sn+1-Sn), 即 an+2=a2an+1, an+2 由 a2≠0,知 an+1≠0,因此 =a2. an+1 an+1 综上, =a2 对所有 n∈N*成立,从而{an}是首项为 1,公比为 a2 的等比数列. an -1 * 证法二:用数学归纳法证明 an=an 2 ,n∈N . 当 n=1 时,由 S2=a2S1+a1,得 a1+a2=a2a1+a1,即 a2=a2a1,再由 a2≠0,得 a1=1, 所以结论成立. -1 假设 n=k 时,结论成立,即 ak=ak 2 ,那么 当 n=k+1 时,ak+1=Sk+1-Sk=(a2Sk+a1)-(a2Sk-1+a1)=a2(Sk-Sk-1)=a2ak=ak 2, 这就是说,当 n=k+1 时,结论也成立. -1 综上可得,对任意 n∈N*,an=an 2 .因此{an}是首项为 1,公比为 a2 的等比数列. n (2)当 n=1 或 2 时,显然 Sn= (a1+an),等号成立. 2 -1 设 n≥3,a2>-1 且 a2≠0,由(1)知 a1=1,an=an 2 ,所以要证的不等式化为 n -1 2 n-1 1+a2+a2 +?+an 2 ≤ (1+a2 )(n≥3), 2 n+1 n 即证:1+a2+a2 (1+an 2+?+a2≤ 2)(n≥2). 2 当 a2=1 时,上面不等式的等号成立. n-r 当-1<a2<1 时,ar 2-1 与 a2 -1(r=1,2,?,n-1)同为负; r n-r 当 a2>1 时,a2-1 与 a2 -1(r=1,2,?,n-1)同为正. n-r 因此当 a2>-1 且 a2≠1 时,总有(ar 2-1)(a2 -1)>0,即

n r n ar 2+a2 <1+a2(r=1,2,?,n-1). 上面不等式对 r 从 1 到 n-1 求和得 n-1 n 2(a2+a2 2+?+a2 )<(n-1)(1+a2), n+1 n 由此可得 1+a2+a2 (1+an 2+?+a2< 2). 2 n 综上, 当 a2>-1 且 a2≠0 时, 有 Sn≤ (a1+an), 当且仅当 n=1,2 或 a2=1 时等号成立. 2 n n 证法二:当 n=1 或 2 时,显然 Sn≤ (a1+an),等号成立.当 a2=1 时,Sn=n= (a1+ 2 2 an),等号也成立. 1-an 2 - 当 a2≠1 时,由(1)知 Sn= ,a =an 1,下证: 1-a2 n 2 1-an n 2 -1 < (1+an 2 )(n≥3,a2>-1 且 a2≠1). 1-a2 2 当-1<a2<1 时,上面不等式化为 n-1 (n-2)an 2+na2-na2 <n-2(n≥3). -1 n 令 f(a2)=(n-2)a2 +na2-nan 2 . n-2 当-1<a2<0 时,1-a2 >0,故 n-2 n f(a2)=(n-2)an 2+na2(1-a2 )<(n-2)|a2| <n-2, 即所要证的不等式成立. -2 n-1 当 0<a2<1 时,对 a2 求导得 f′(a2)=n[(n-2)a2 -(n-1)an 2 +1]=ng(a2). -2 -3 n-1 其中 g(a2)=(n-2)a2 -(n-1)an 则 g′(a2)=(n-2)(n-1)(a2-1)an 即 g(a2) 2 +1, 2 <0, 是(0,1)上的减函数,故 g(a2)>g(1)=0,从而 f′(a2)=ng(a2)>0,进而 f(a2)是(0,1)上的增函数, 因此 f(a2)<f(1)=n-2,所要证的不等式成立. 1 当 a2>1 时,令 b= ,则 0<b<1,由已知的结论知 a2 1 ?n 1-? ?a2? n? ? 1 ?n-1? < ?1+?a ? ?, 1 2 2 1- a2 -1 两边同时乘以 an 2 得所要证的不等式. n 综上, 当 a2>-1 且 a2≠0 时, 有 Sn≤ (a1+an), 当且仅当 n=1,2 或 a2=1 时等号成立. 2


9.B11、B12、E1[2012· 浙江卷] 设 a>0,b>0( A.若 2a+2a=2b+3b,则 a>b B.若 2a+2a=2b+3b,则 a<b C.若 2a-2a=2b-3b,则 a>b D.若 2a-2a=2b-3b,则 a<b

)

9.A [解析] 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否,考 查观察、构想、推理的能力.若 2a+2a=2b+3b,必有 2a+2a>2b+2b.构造函数:f(x)=2x +2x,则 f(x)=2x+2x 在 x>0 上单调递增,即 a>b 成立,故 A 正确,B 错误.其余选项用 同样方法排除. 7.D2、E1[2012· 浙江卷] 设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和,则下 列命题错误 的是 ( ) .. A.若 d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则 d<0 C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意 n∈N*,均有 Sn>0 D.若对任意 n∈N*,均有 Sn>0,则数列{Sn}是递增数列

7.C [解析] 本题考查等差数列的通项、前 n 项和,数列的函数性质以及不等式知识, 考查灵活运用知识的能力,有一定的难度. 法一:特值验证排除.选项 C 显然是错的,举出反例:-1,0,1,2,3,?满足数列{S n} 是递增数列,但是 S n>0 不恒成立. n?n-1? d 2 ? d 法二:由于 Sn=na1+ d= n +?a1-2? ?n,根据二次函数的图象与性质知当 d<0 2 2 时, 数列{Sn}有最大项, 即选项 A 正确; 同理选项 B 也是正确的; 而若数列{Sn}是递增数列, * 那么 d>0,但对任意的 n∈N ,Sn>0 不成立,即选项 C 错误;反之,选项 D 是正确的;故 应选 C. [点评] 等差数列的求和公式与二次函数的图象的关系是解决本题的重要依据.

图 1-2 E2 绝对值不等式的解法 13.E2[2012· 山东卷] 若不等式|kx-4|≤2 的解集为{x|1≤x≤3},则实数 k=________. 13.2 [解析] 本题考查绝对值不等式的解法,考查运算求解能力,容易题. 去绝对值得-2≤kx-4≤2,即 2≤kx≤6,又∵其解集为{x|1≤x≤3},∴k=2. E3 一元二次不等式的解法 13.E3[2012· 江苏卷] 已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________. 13.9 [解析] 本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法.解题突 破口为二次函数的性质及三个“二次”之间的关系. a?2 由条件得 a2-4b=0,从而 f(x)=? ?x+2? , a a 不等式 f(x)<c 解集为- - c<x<- + c, 2 2 a - - c=m, 2 故 两式相减得 c=3,c=9. a - + c=m+6, 2

? ? ?

11.E2、A1[2012· 天津卷] 已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x- 2)<0},且 A∩B=(-1,n),则 m=________,n=________. 11.-1,1 [解析] 本题考查绝对值不等式的解法及集合的交并运算,考查运算求解能 力,容易题. ∵A={x∈R|-5<x<1},且 A∩B=(-1,n),∴m=-1,B={x|-1<x<2}, ∴A∩B=(-1,1),即 n=1. 1. A1、 E3[2012· 浙江卷] 设集合 A={x|1<x<4}, 集合 B={x|x2-2x-3≤0}, 则 A∩(?RB) =( ) A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4) 1.B [解析] 本题主要考查不等式的求解、集合的关系与运算等.由于 B={x|x2-2x

-3≤0}={x|-1≤x≤3},则?RB={x|x<-1 或 x>3},那么 A∩(?RB)={x|3<x<4}=(3,4),故 应选 B. [点评] 不等式的求解是进一步处理集合的关系与运算的关键. 14.A2、A3、B3、E3[2012· 北京卷] 已知 f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若 同时满足条件: ①?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ②?x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是________. 14.(-4,-2) [解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指 数函数等基础知识和基本技能. 满足条件①时, 由 g(x)=2x-2<0, 可得 x<1, 要使?x∈R, f(x)<0 或 g(x)<0, 必须使 x≥1 时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0 恒成立, 当 m=0 时, f(x)=m(x-2m)(x+m+3)=0 不满足条件, 所以二次函数 f(x)必须开口向下, ?2m<1, ? 也就是 m<0, 要满足条件, 必须使方程 f(x)=0 的两根 2m, -m-3 都小于 1, 即? ?-m-3<1, ? 可得 m∈(-4,0). 满足条件②时, 因为 x∈(-∞, -4)时, g(x)<0, 所以要使?x∈(-∞, -4)时, f(x)g(x)<0, 只要?x0∈(-∞, -4)时, 使 f(x0)>0 即可, 只要使-4 比 2m, -m-3 中较小的一个大即可, 当 m∈(-1,0)时,2m>-m-3,只要-4>-m-3,解得 m>1 与 m∈(-1,0)的交集为空集; 当 m=-1 时,两根为-2;-2>-4,不符合;当 m∈(-4,-1)时,2m<-m-3,所 以只要-4>2m, 所以 m∈(-4,-2). 综上可知 m∈(-4,-2). x-1 2.E3[2012· 重庆卷] 不等式 ≤0 的解集为( ) 2x+1 1 ? A.? ?-2,1? 1 ? B.? ?-2,1? 1? C.? ?-∞,-2?∪[1,+∞) 1? D.? ?-∞,-2?∪[1,+∞) ??x-1??2x+1?≤0, ? 1 2.A [解析] 不等式等价于? 解得- <x≤1,选 A. 2 ?2x+1≠0, ? 1 3 16.B11、B12、E3[2012· 重庆卷] 设 f(x)=a ln x+ + x+1,其中 a∈R,曲线 y=f(x) 2x 2 在点(1,f(1))处的切线垂直于 y 轴. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 1 3 16.解:(1)因 f(x)=a ln x+ + x+1, 2x 2 a 1 3 故 f′(x)= - 2+ . x 2x 2 由于曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于 y 轴,故该切线斜率为 0,即 f′(1)=0, 1 3 从而 a- + =0,解得 a=-1. 2 2 1 3 (2)由(1)知 f(x)=-ln x+ + x+1(x>0), 2x 2

1 1 3 f′(x)=- - 2+ x 2x 2 3x2-2x-1 = 2x2 ?3x+1??x-1? = . 2x2 1 1 令 f′(x)=0,解得 x1=1,x2=- (因 x2=- 不在定义域内,舍去). 3 3 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,1)上为减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(1,+∞)上为增函数. 故 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=3,无极大值. E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题

? x>0 ?lnx, 14. E5[2012· 陕西卷] 设函数 f(x)=? D 是由 x 轴和曲线 y=f(x)及该曲 ?-2x-1,x≤0, ? 线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则 z=x-2y 在 D 上的最大值为________.

14.2 [解析] 本小题主要考查了利用导数求切线方程、线性规划的知识,解题的突破 口是先求出切线的方程,画出可行域.对于函数在 x=1 的导数,可只对函数 y=lnx 求导, 1 有 y′= ,所以在 x=1 处的切线的斜率为 k=1,在 x=1 处的切线方程为:y=x-1.此时可 x 画出可行域. 当目标函数过点(0,-1)时 z 取得最大值 2. x+2y≥2, ? ? 5.E5[2012· 山东卷] 已知变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤4, 则目标函数 z=3x- ? ?4x-y≥-1, y 的取值范围是( ) 3 ? ? 3 ? A.? ?-2,6? B.?-2,-1? 3? C.[-1,6] D.? ?-6,2? 5.A [解析] 本题考查简单的线性规划问题,考查数据处理能力,容易题. 可行域如图所示阴影部分.

当目标函数线 l 移至可行域中的点 A(2,0)时,目标函数有最大值 z=3×2-0=6;当目 1 ? 1 3 ,3 时,目标函数有最小值 z=3× -3=- . 标函数线 l 移至可行域中的 B 点? 2 ? ? 2 2 1 ? (y - x)· 10 . E5 、 H4[2012· 重 庆 卷 ] 设 平 面 点 集 A = (x , y) y - ≥0 , B = ? x 2 2 {?x,y?|?x-1? +?y-1? ≤1},则 A∩B 所表示的平面图形的面积为( ) 3 3 A. π B. π 4 5

4 π C. π D. 7 2

y-x≥0, y-x≤0, ? ? ? ? 10. D [解析] 平面点集 A 表示的平面区域就是不等式组? 1 与? 1 y- ≥0 ? ? ? x ?y-x≤0 表示的两块平面区域, 而平面点集 B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心, 以 1 为半径的圆及 圆的内部,作出它们所示的平面区域,如图所示,图中的阴影部分就是 A∩B 所表示的平面 1 图形.由于圆和曲线 y= 关于直线 y=x 对称,因此阴影部分所表示的图形面积为圆面积的 x 1 π ,即为 . 2 2 x-y≤10, ? ? 8.E5[2012· 辽宁卷] 设变量 x,y 满足?0≤x+y≤20, ? ?0≤y≤15, A.20 B.35 C.45 D.55 8.D [解析] 本小题主要考查线性规划.解题的突破口为作出可行域,借助目标函数 的几何意义求目标函数的最值. 2 z 不等式组表示的区域如图 1-1 所示,令 z=2x+3y,目标函数变为 y=- x+ ,故而 3 3 ?x+y=20, ? 当截距越大,z 的取值越大,故当直线 z=2x+3y 经过点 A 时,z 最大,由于? ? ?y=15 ?
? ?x=5 ? 故而 A 的坐标为(5,15),代人 z=2x+3y,得到 zmax=55,即 2x+3y 的最大值为 ?y=15, ?

则 2x+3y 的最大值为(

)

55.

图 1-1 x-y+1≥0, ? ? 13.E5[2012· 全国卷] 若 x,y 满足约束条件?x+y-3≤0, ? ?x+3y-3≥0, ________. 13.-1 [解析] 本小题主要考查线性规划最优解的应用,解题的突破口是正确作出可 行域和平移目标函数曲线. 利用不等式组,作出可行域,则目标函数直线过(0,1)时,z 取最小值-1. 则 z=3x-y 的最小值为

x≥0, ? ? 11 . E5[2012· 安徽卷 ] 若 x , y 满足约束条件 ?x+2y≥3, ? ?2x+y≤3, ________. 11.[-3,0] [解析] 本题考查线性规划的应用. x≥0, ? ? 设 z=x-y.作出约束条件?x+2y≥3, ? ?2x+y≤3

则 x - y 的取值范围是

表示的可行域,如图阴影部分所示(含边界).

易知当直线 z=x-y 经过点 A(0,3)时,直线在 y 轴上截距最大,目标函数 z 取得最小值, 且 zmin=-3,当直线 z=x-y 经过点 C(1,1)时,直线在 y 轴上截距最小,目标函数 z 取得最 大值,即 zmax=0,所以 x-y∈[-3,0]. ?0≤x≤2, ? 2.E5、K3[2012· 北京卷] 设不等式组? 表示的平面区域为 D,在区域 D 内 ?0≤y≤2 ? 随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( ) π - 2 π A. B. 4 2 4-π π C. D. 6 4 2.D [解析] 设事件 A:点到坐标原点的距离大于 2. S2 S-S1 4-π 如图 1-1,P(A)= = = . S S 4

图 1-1 9.E5[2012· 四川卷] 某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原 料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、B 原料 1 千克.每桶甲产品 的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天 消耗 A、B 原料都不超过 12 千克,通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品 中,公司共可获得的最大利润是( ) A.1800 元 B.2400 元 C.2800 元 D.3100 元

9.C [解析] 设该公司每天生产甲产品 x 桶,乙产品 y 桶, x+2y≤12, ? ? 则?2x+y≤12, ? ?x∈N,y∈N, 利润函数 z=300x+400y, ?x+2y=12, ? 如图,在? 的交点(4,4)处取得最大值. ? ?2x+y=12

zmax=300×4+400×4=2800 元. x+y-3≤0, ? ? 9. E5[2012· 福建卷] 若函数 y=2 图象上存在点(x, y)满足约束条件?x-2y-3≤0, ? ?x≥m,
x



实数 m 的最大值为( ) 1 3 A. B.1 C. D.2 2 2 9.B [解析] 根据约束条件画出可行域如下图所示, 根据题意,显然当曲线 y=2x 与直线 y=-x+3 相交,交点的横坐标即为 m 的最大值, x ? ?y=2 , 解方程组:? 解得 x=1,y=2,所以交点的横坐标为 x=1,所以当 m≤1 时, ?y=-x+3, ? 曲线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件,所以 m 的最大值为 1.

y≤2, ? ? 5.E5[2012· 广东卷] 已知变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, ? ?x-y≤1, ( ) A.12 B.11 C.3 D.-1

则 z=3x+y 的最大值为

5.B [解析] 作出可行域,如图所示.目标函数变形为:y=-3x+z,平移目标函数线,显然 ?y=2, ? 当直线经过可行域中 A 点时,z 最大,由? 得 A(3,2),所以 zmax=3×3+2=11.所 ? ?x-y=1

以选择 B. 8.E5[2012· 江西卷] 某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不 超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表: 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种 植面积(单位:亩)分别为( ) A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 8.B [解析] 考查二元一次不等式组表示的平面区域、线性规划的实际应用、数形 结合思想, 以及阅读理解和数学建模能力; 解题的突破口是按照线性规划解决实际问题的步 骤求解,即①设出 x、y、z;②列出约束条件,确定目标函数;③画出可行域;④判断最优 解;⑤求出目标函数的最值,并回到原问题中作答.设种植黄瓜 x 亩,种植韭菜 y 亩,因此, ? ? x+y≤50, 1.2x+0.9y≤54, 原问题转化为在条件? 下, 求 z=0.55×4x+0.3×6y-1.2x ? x≥0,y≥0 ? - 0.9y = x + 0.9y 的最大值.画出可 行域如图.利用线性规 划知识可知, 当 x , y 取 ? ?x+y=50, ? 的交点(30,20)时,z 取得最大值.故选 B. ?1.2x+0.9y=54 ?

x-y≥-1, ? ?x+y≤3, 14.E5[2012· 课标全国卷] 设 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0, 范围为________. 14.[答案] [-3,3] x-y≥-1, ? ?x+y≤3, 作出不等式组? x≥0, ? ?y≥0

则 z=x-2y 的取值

[解析]

表示的平面区域(如下图阴影部分所示,含边

界),平移直线 z=x-2y,可知当直线 z=x-2y 经过点 M(1,2)时,z=x-2y 取得最小值-3, 经过点 N(3,0)时,z=x-2y 取得最大值 3,所以 z∈[-3,3].

E6 基本不等式 ab ? 5.E1、E6[2012· 福建卷] 下列不等式一定成立的是( 1 2 ? A.lg? ?x +4?>lgx(x>0) 1 B.sinx+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sinx C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1 5.C

a?b 2
)

[解析] 本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用,解题时注意使用不等式 1 2 1? 的性质以及基本不等式成立的条件.对于 A 选项,当 x= 时,lg? ?x +4?=lgx;所以 A 不一 2 定正确;B 命题,需要满足当 sinx>0 时,不等式成立,所以 B 也不正确;C 命题显然正确; 1 D 命题不正确,∵x2+1≥1,∴0< 2 ≤1,所以正确的是 C. x +1 15.A2、C8、E6、E9[2012· 安徽卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b, c,则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). π ①若 ab>c2,则 C< ; 3 π ②若 a+b>2c,则 C< ; 3 π ③若 a3+b3=c3,则 C< ; 2 π ④若(a+b)c<2ab,则 C> ; 2 π ⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,则 C> . 3 15.①②③ 不等式等. [解析] 本题考查命题真假的判断,正、余弦定理,不等式的性质,基本

a2+b2 b a 1 对于①,由 c2=a2+b2-2abcosC<ab 得 2cosC+1> = + ≥2,则 cosC> ,因为 ab a b 2 π 0<C<π,所以 C< ,故①正确; 3 2 2 对于②,由 4c2=4a2+4b2-8abcosC<a2+b2+2ab 得 ab(8cosC+2)>3(a +b )即 a b? 1 π 8cosC+2>3? ?b+a?≥6,则 cosC>2,因为 0<C<π,所以 C<3,故②正确; a?3 ?b?3 a b ?a?3 ?b?3 ?a?2 对于③,a3+b3=c3 可变为? ?c? +?c? =1,可得 0<c<1,0<c<1,所以 1=?c? +?c? <?c? b?2 π 2 2 2 +? ? c? ,所以 c <a +b ,故 C<2,故③正确; 1 1 1 2 对于④,(a+b)c<2ab 可变为 2× > + ≥ ,可得 ab>c,所以 ab>c2,因为 a2+ c a b ab π b2≥2ab>ab>c2,所以 C< ,④错误; 2 a2+b2 1 1 2 1 1 2 2 2 对于⑤, (a +b ) c <2a2b2 可变为 2 + 2 < 2 ,即 2 > ,所以 c2<ab≤ ,所以 a b c c ab 2 2 2 a +b 2 1 π cosC> ≥ ,所以 C< ,故⑤错误.故答案为①②③. 2ab 2 3

E7 E8

不等式的证明方法 不等式的综合应用

b 14.E8[2012· 江苏卷] 已知正数 a,b,c 满足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,则 a 的取值范围是________. 14. [e,7] [解析] 本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用. 解题突破口为将 所给不等式条件同时除以 c,三元换成两元.

? ?a b 题设条件可转化为?c +c ≤4, a ? ≥e , ?b c c

3a b + ≥5, c c

3x+y≥5, ? ? x+y≤4, a b 记 x= ,y= ,则? c c y≥e , ? ?x,y>0,
x

且目标函数为

y z= ,上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形.由方程组 x ? ?3x+y=5, 1 7? ? , , 得交点坐标为 C? 此时 zmax=7.又过原点作曲线 y=ex 的切线, 切点为(x0, 2 2 ? ? ?x+y=4, ? y0),因 y′=ex,故切线斜率 k=ex0,切线方程为 y=ex0x,而 y0=ex0 且 y0=ex0x0,解之得 x0=1,故切线方程为 y=ex,从而 zmin=e,所求取值范围为[e,7].

21. B12、B14 、E8 [2012· 广东卷] 设 a<1,集合 A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x2-3(1 +a)x+6a>0},D=A∩B. (1)求集合 D(用区间表示); (2)求函数 f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax 在 D 内的极值点. 21.解:(1)x∈D?x>0 且 2x2-3(1+a)x+6a>0. 令 h(x)=2x2-3(1+a)x+6a, Δ=9(1+a)2-48a=3(3a-1)(a-3). 1 ①当 <a<1 时,Δ<0, 3 ∴?x∈R,h(x)>0,∴B=R. 于是 D=A∩B=A=(0,+∞). 1 ②当 a= 时,Δ=0,此时方程 h(x)=0 有唯一解, 3 ?1+1? 3? 3?1+a? 3? x1=x2= = =1, 4 4 ∴B=(-∞,1)∪(1,+∞). 于是 D=A∩B=(0,1)∪(1,+∞).

1 ③当 a< 时,Δ>0,此时方程 h(x)=0 有两个不同的解 3 3+3a- 3?3a-1??a-3? x1= , 4 3+3a+ 3?3a-1??a-3? x2= . 4 ∵x1<x2 且 x2>0, ∴B=(-∞,x1)∪(x2,+∞). 又∵x1>0?a>0,所以 1 i)当 0<a< 时,D=A∩B=(0,x1)∪(x2,+∞); 3 ii)当 a≤0 时,D=(x2,+∞). (2)f′(x)=6x2-6(1+a)x+6a=6(x-1)(x-a). 当 a<1 时,f(x)在 R 上的单调性如下表: x a (a,1) 1 (-∞,a) (1,+∞) 0 0 f′(x) + - + f(x) ? ? ? 极大值 极小值 1 ①当 <a<1 时,D=(0,+∞). 3 由表可得,x=a 为 f(x)在 D 内的极大值点,x=1 为 f(x)在 D 内的极小值点. 1 ②当 a= 时,D=(0,1)∪(1,+∞). 3 1 由表可得,x= 为 f(x)在 D 内的极大值点. 3 1 ③当 0<a< 时,D=(0,x1)∪(x2,+∞). 3 3+3a- 3?3a-1??a-3? ∵x1= 4 3+3a- ?3-5a?2-16a2 = 4 3+3a 1 ≥ [3+3a-(3-5a)]=2a>a 且 x1< <1, 4 4 3+3a+ 3?3a-1??a-3? x2= 4 3+3a+ ?1-3a?2+?8-24a? = 4 3+3a+?1-3a? > =1, 4 ∴a∈D,1?D. 由表可得,x=a 为 f(x)在 D 内的极大值点. ④当 a≤0 时,D=(x2,+∞)且 x2>1. 由表可得,f(x)在 D 内单调递增. 因此 f(x)在 D 内没有极值点. 21.B9、B12、E8[2012· 陕西卷] 设函数 fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R). 1 ? (1)设 n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间? ?2,1?内存在唯一零点; (2)设 n=2,若对任意 x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求 b 的取值范围; 1 ? (3)在(1)的条件下,设 xn 是 fn(x)在? ?2,1?内的零点,判断数列 x2,x3,?,xn,?的增减

性. 21.解:(1)b=1,c=-1,n≥2 时,fn(x)=xn+x-1. 1? ? 1 1? ?1 ? ∵fn? ?2?fn(1)=?2n-2?×1<0,∴fn(x)在?2,1?内存在零点. 1 ? n-1 又当 x∈? ?2,1?时,f′n(x)=nx +1>0, 1 ? ?1 ? ∵fn(x)在? ?2,1?上是单调递增的,∴fn(x)在?2,1?内存在唯一零点. (2)当 n=2 时,f2(x)=x2+bx+c. 对任意 x1, x2∈[-1,1]都有|f2(x1)-f2(x2)|≤4 等价于 f2(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之 差 M≤4.据此分类讨论如下: b? ①当? ?2?>1,即|b|>2 时, M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾. b ②当-1≤- <0,即 0<b≤2 时, 2 b? ?b ?2 M=f2(1)-f2? ?-2?=?2+1? ≤4 恒成立. b ③当 0≤- ≤1,即-2≤b≤0 时, 2 b? ?b ?2 M=f2(-1)-f2? ?-2?=?2-1? ≤4 恒成立. 综上可知,-2≤b≤2. 注:②,③也可合并证明如下: 用 max{a,b}表示 a,b 中的较大者. b 当-1≤- ≤1,即-2≤b≤2 时, 2 b? M=max{f2(1),f2(-1)}-f2? ?-2? f2?-1?+f2?1? |f2?-1?-f2?1?| b? = + -f2? ?-2? 2 2 b2 - +c ? =1+c+|b|-? ? 4 ? | b | ?2 =? ?1+ 2 ? ≤4 恒成立. 1 ? (3)法一:设 xn 是 fn(x)在? ?2,1?内的唯一零点(n≥2). n+1 ?1 ? fn(xn)=xn n+xn-1=0,fn+1(xn+1)=xn+1+xn+1-1=0,xn+1∈ 2,1 , ? ? +1 n 于是有 fn(xn)=0=fn+1(xn+1)=xn + x - 1< x + x - 1 = f ( x n+1 n+1 n+1 n+1 n n+1), 1 ? 又由(1)知 fn(x)在? ?2,1?上是递增的,故 xn<xn+1(n≥2),所以,数列 x2,x3,?,xn,? 是递增数列. 1 ? 法二:设 xn 是 fn(x)在? ?2,1?内的唯一零点, +1 n+1 fn+1(xn)fn+1(1)=(xn +1-1) n +xn-1)(1 n+1 n =xn +xn-1<xn+xn-1=0, 则 fn+1(x)的零点 xn+1 在(xn,1)内,故 xn<xn+1(n≥2), 所以,数列 x2,x3,?,xn,?是递增数列. E9 单元综合 17.E9[2012· 江苏卷] 如图 1-5,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂 直于地平面,单位长度为 1 km,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx

1 - (1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横 20 坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 km,试问它的横坐标 a 不 超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

图 1-5 17.解:(1)令 y=0,得 kx- 1 (1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知 x>0,k>0, 20

20k 20 20 故 x= = ≤ =10,当且仅当 k=1 时取等号. 1 2 1+k2 k+ k 所以炮的最大射程为 10 km. (2)因为 a>0,所以 1 炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka- (1+k2)a2 成立 20 ?关于 k 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根 ?判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0 ?a≤6. 所以当 a 不超过 6 km 时,可击中目标. 21.H10、E9[2012· 四川卷] 如图 1-7 所示,动点 M 与两定点 A(-1,0)、B(2,0)构成△ MAB,且∠MBA=2∠MAB,设动点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设直线 y=-2x+m 与 y 轴相交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q、R,且|PQ|<|PR|,求 |PR| 的取值范围. |PQ|

图 1-7 21.解:(1)设 M 的坐标为(x,y),显然有 x>0,且 y≠0. 当∠MBA=90° 时,点 M 的坐标为(2,± 3). 当∠MBA≠90° 时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB,有 2tan∠MAB tan∠MBA= , 1-tan2∠MAB |y| 2 x+1 |y| 即- = . |y| x-2 1-?x+1?2 ? ? 2 2 化简可得,3x -y -3=0. 而点(2,± 3)在曲线 3x2-y2-3=0 上, 综上可知,轨迹 C 的方程为 3x2-y2-3=0(x>1). ?y=-2x+m, ? (2)由? 2 2 消去 y,可得 ? ?3x -y -3=0 x2-4mx+m2+3=0.(*)

由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内,设 f(x)=x2-4mx+m2+3. -4m - ? ? 2 >1. 所以? f?1?=1 -4m+m +3>0, ? ?Δ=?-4m? -4?m +3?>0.
2 2 2 2

解得,m>1,且 m≠2. 设 Q、R 的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),由|PQ|<|PR|有 xR=2m+ 3?m2-1?,xQ=2m - 3?m2-1?. 1? 2+ 3? 2 ?1-m2? |PR| xR 2m+ 3?m -1? 4 所以 = = = =-1+ . |PQ| xQ 2m- 3?m2-1? 1? 1? ? ? 2- 3?1-m2? 2- 3?1-m2? 由 m>1,且 m≠2,有 4 4 1<-1+ <7+4 3,且-1+ ≠7. 1 1? ? ? ? 2- 3?1-m2? 2- 3?1-m2? |PR| 所以 的取值范围是(1,7)∪(7,7+4 3). |PQ| 16.D5、E9[2012· 四川卷] 记[x]为不超过实数 x 的最大整数,例如,[2]=2,[1.5]=1, ?xn+? a ?? ?xn??(n∈N*).现有下列命题: [-0.3]=-1.设 a 为正整数,数列{xn}满足 x1=a,xn+1=? ? 2 ? ①当 a=5 时,数列{xn}的前 3 项依次为 5,3,2; ②对数列{xn}都存在正整数 k,当 n≥k 时总有 xn=xk; ③当 n≥1 时,xn> a-1; ④对某个正整数 k,若 xk+1≥xk,则 xk=[ a]. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号) ?3+?5?? ?3+1? 5+1? ? ?3??= 16.①③④ [解析] 对于①,x1=a=5,x2= =2,① 2 ? ? 2 ?=3,x3=? ? 2 ? ? 正确; ?3+?3?? ?3+1? 对于②,取 a=3,则 x1=3,x2=? ?3??= =2, 2 ? ? 2 ? ? ?2+?3?? ?2+1? ?1+?3?? ?1+3? 2 ? ? x3=? ?= 2 ?=1,x4=? ?1??=? 2 ?=2. ? 2 ? ? ? 2 ? 由此可知,n≥2 时,该数列所有奇数项等于 1,所有偶数项等于 2,故②错误; 对于③,由[x]的定义知[x]>x-1,而 a 是正整数,故 xn≥0,且 xn 是整数, 又 n=1 时,x1=a≥ a> a-1,命题为真, ?xn+? a ?? a ?xn??,由于 xn 和? ?都是整数, 于是,xn+1=? ?xn? ? 2 ? a a ?a? ?xn+? a ?? xn+?xn? 1 xn+xn-1 1 2 xn· xn ?xn??≥ 故 xn+1=? - > - ≥ -1= a-1, 2 2 2 2 2 ? 2 ? ③正确; a? xk+? ?xk+? a ?? ?xk? ?xk??≥xk,从而 对于④,当 xk+1≥xk 时,得? -xk≥0, 2 ? 2 ?

a? a a ?a? 即? ?xk?-xk≥0,∴xk-xk≥?xk?-xk≥0,即xk-xk≥0,解得 xk≤ a, 结合③得: a-1<xk≤ a,故 xk=[ a]. ④正确. 15.A2、C8、E6、E9[2012· 安徽卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b, c,则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). π ①若 ab>c2,则 C< ; 3 π ②若 a+b>2c,则 C< ; 3 π ③若 a3+b3=c3,则 C< ; 2 π ④若(a+b)c<2ab,则 C> ; 2 π ⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,则 C> . 3 15.①②③ 不等式等. [解析] 本题考查命题真假的判断,正、余弦定理,不等式的性质,基本

a2+b2 b a 1 对于①,由 c2=a2+b2-2abcosC<ab 得 2cosC+1> = + ≥2,则 cosC> ,因为 ab a b 2 π 0<C<π,所以 C< ,故①正确; 3 2 2 对于②,由 4c2=4a2+4b2-8abcosC<a2+b2+2ab 得 ab(8cosC+2)>3(a +b )即 a b? 1 π 8cosC+2>3? ?b+a?≥6,则 cosC>2,因为 0<C<π,所以 C<3,故②正确; a?3 ?b?3 a b ?a?3+?b?3<?a?2 对于③,a3+b3=c3 可变为? + = 1 ,可得 0< <1,0< <1 ,所以 1 = c c ? ? ? ? ? c? ? c? ? c? c c b?2 π 2 2 2 +? ? c? ,所以 c <a +b ,故 C<2,故③正确; 1 1 1 2 对于④,(a+b)c<2ab 可变为 2× > + ≥ ,可得 ab>c,所以 ab>c2,因为 a2+ c a b ab π b2≥2ab>ab>c2,所以 C< ,④错误; 2 a2+b2 1 1 2 1 1 2 2 对于⑤, (a +b ) c2<2a2b2 可变为 2 + 2 < 2 ,即 2 > ,所以 c2<ab≤ ,所以 a b c c ab 2 a2+b2 2 1 π cosC> ≥ ,所以 C< ,故⑤错误.故答案为①②③. 2ab 2 3 22.B14、E9、J3、D5[2012· 四川卷] 已知 a 为正实数,n 为自然数,抛物线 y=-x2+ an 与 x 轴正半轴相交于点 A.设 f(n)为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距. 2 (1)用 a 和 n 表示 f(n); f?n?-1 n3 (2)求对所有 n 都有 ≥ 3 成立的 a 的最小值; f?n?+1 n +1 (3)当 0<a<1 时,比较 ?
n

k=1

1 27 f?1?-f?n? 与 · 的大小,并说明理由. f?k?-f?2k? 4 f?0?-f?1?

1 an ? ,0 ,对 y=-x2+2an 求导得 y′=-2x, 2 ? ? an? n? 则抛物线在点 A 处的切线方程为 y=- 2a x- ,即 y=- 2anx+an,则 f(n)=an. 2? ? 22.解:(1)由已知得,交点 A 的坐标为?

f?n?-1 n3 (2)由(1)知 f(n)=an,则 ≥ 3 成立的充要条件是 an≥2n3+1. f?n?+1 n +1 即知,an≥2n3+1 对所有 n 成立,特别地,取 n=2 得到 a≥ 17. 当 a= 17,n≥3 时, an>4n=(1+3)n=1+C1 3+C2 32+C3 33+? n· n· n· ≥1+C1 3+C2 32+C3 33 n· n· n· 1 =1+2n3+ n[5(n-2)2+(2n-5)] 2 3 >2n +1. 当 n=0,1,2 时,显然( 17)n≥2n3+1. f?n?-1 n3 故 a= 17时, ≥ 3 对所有自然数 n 都成立. f?n?+1 n +1 所以满足条件的 a 的最小值为 17. (3)由(1)知 f(k)=ak, ? 下面证明: ?
n n k=1 n f?1?-f?n? a-an 1 1 =? k , = . f?k?-f?2k? k=1 a -a2k f?0?-f?1? 1-a

k=1

1 27 f?1?-f?n? > · . f?k?-f?2k? 4 f?0?-f?1?

1 27 首先证明:当 0<x<1 时, ≥ x. x-x2 4 27 设函数 g(x)= x(x2-x)+1,0<x<1. 4 81 2 则 g′(x)= x(x- ). 4 3 2 2 当 0<x< 时,g′(x)<0;当 <x<1 时,g′(x)>0. 3 3 2? 故 g(x)在区间(0,1)上的最小值 g(x)=g? ?3?=0. 1 27 1 所以,当 0<x<1 时,g(x)≥0,即得 ≥ x,由 0<a<1 知 0<ak<1(k∈N*),因此 k x-x2 4 a -a2k 27 ≥ ak,从而 4 =? k ? 2k k=1 f?k?-f?2k? k=1 a -a ≥ = 27 n k a 4 k? =1
n+1 n

1

n

1

27 a-a · 4 1-a n 27 a-a > · 4 1-a 27 f?1?-f?n? = · . 4 f?0?-f?1?


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