成都青羊区初2012级第一次诊断性测试题(数学)


勤奋一点,踏实一点,让自己的起点再高一点!

成都前思(chance)中小学培优学校

青羊区初 2012 级第一次诊断性测试题(数学)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.计算:-(-2)的结果是( ▲ ) A.-2 B.2 C.-

1 2

D.

1 2

2.成都地铁 4 号线一期工程起于公平站,止于沙河站,基本为东西走向,线路长 22.4km,估算总投资约 125 亿元,其中 125 亿用科学记数法表示为( ▲ ) A.0.125× 11 10 B.1.25× 10 10 C.1.25× 9 10 D.1.25× 8 10 3.函数 y ?

x ?1 的自变量 x 的取值范围是( ▲ ) x A.x≥-1 且 x≠0 B.x>-1 且 x≠0 C.x≥0 且 x≠-1

D.x>0 且 x≠-1

?x ?1 ? 0 ? 4.不等式组 ? 3 x ? 4 的解集在数轴上应表示为( ▲ ) ? 2 ? x ?1 ?

5.如图,AB 是⊙ 的弦,半径 OA=2,∠ O AOB=120° ,则弦 AB 的长是( A.2 2 B. 2 3 C. 5 D.3 5





6. 下面四个几何体中,主视图与其它几何体的主视图不同的是( ▲ )

A.

B.

C.

D.

7.某市为治理污水,需要辅设一段全长为 300 m 的污水排放管道,铺设 120 m 后,为了尽量减少施工对 城市交通所造成的影响.后来每天的工效比原计划增加 20%,结果共用 30 天完成这一任务.如果设原 计划每天铺设 xm 管道,那么根据题意,可得方程( ▲ ) A.

120 300 ? ? 30 x 2x

B.

120 180 ? ? 30 x 2x

C.

120 300 ? ? 30 x 1.2x

D.

120 180 ? ? 30 x 1.2x

8.在 6 张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、正方形和圆,在看不 见图形的情况下随机摸出 1 张,这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是( ▲ ) A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

9.如图,在△ABC 中,∠AED=∠B,则下列等式成立的是( ▲ ) A.

DE AD ? BC DB DE AE C. ? CB AB

AE AD ? BC BD AD AE D. ? AB AC
B.

第 9 题图

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10.抛物线 y=x2+x+p(p≠0)的图象与 x 轴一个交点的横坐标是 p,那么该抛物线的顶点坐标是( ▲ ) A.(0,-2) B.(

1 9 ,? ) 2 4
▲ 。 ▲

C.(-

1 9 , ) 2 4

D.(-

1 9 ,? ) 2 4

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.数据 2,0,2,1,3 的众数为 12.若 m2-n2=12,且 m-n=2,则 m+n=

。 ▲ ° 。

13.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=30° ,DE 垂直平分 AC,则∠BCD=

第 13 题图 14.如图,直线 y= ? x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,把△AOB 绕点 A 按顺时针方向旋转 90° 后 得到△AO1B1,则点 B1 的坐标是 ▲ 。

4 3

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 54 分) 15. (本小题满分 12 分,每题 6 分)

?1? (1)计算: 8 ? ? ? ?2?

?1

? 4 cos 45? ?

?

3 ??

?

0

第 14 题图

(2)先化简,再求值:

m 1 ? ? ? ?1 ? ? ,其中 m ? ?2 m ?1 ? m ? 1 ?
2

16. (本小题满分 6 分) 如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点 P 处测得教学楼 A 位于北偏东 60° 方向,办公楼 B 位于 南偏东 45° 方向。小明沿正东方向前进 60 米到达 C 处,此时测得教学楼 A 恰好位于正北方向,办公楼 B 正好位于正南方向。求教学楼 A 与办公楼 B 之间的距离。 (结果精确到 0.1 米,供选用的数据: 2 ≈1.414, 。 3 ≈1.732)
60°

A

P
45°

C

第 16 题图

B

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2

1? ?1 ? ? 17. (本小题满分 8 分)解方程: 2 ? ? x ? ? ? x ? ? ? 1 ? 0 2? ?2 ? ?

18. (本小题满分 8 分) 小强参观上海世博会,由于仅有一天的时间,他上午从 A—韩国馆、B—英国馆、C—法国馆中任意选 择一处参观,下午从 D—中国馆、E—日本馆、F—美国馆中任意选择一处参观。 (1)请用画树状图或列表的方法,分析并写出小强所有可能的参观方式(用字母表示即可) 。 (2)求小强上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的概率。

19. (本小题满分 10 分) 如图,正方形 ABCD 边长为 6。菱形 EFGH 的三个顶点 E、G、H 分别在正方形 ABCD 的边 AB、CD、 DA 上,且 AH=2,连结 CF。 (1)当 DG=2 时,求证菱形 EFGH 为正方形; (2)设 DG= x ,试用含 x 的代数式表示 ?FCG 的面积。

D H A

G C F E B
第 19 题图

y

20. (本小题满分 10 分) 已知关于 x 的方程 mx2 ? (3 ? 2m) x ? m ? 3 ? 0 ,其中 m ? 0 。 (1)求证:方程总有两个不相等的实数根; (2)设方程的两个实数根分别为 x1 , x2 ,其中 x1 ? x2 。 若y?
x2 ? 1 ,求 y 关于 m 的函数关系式; 3 x1
1

O

1

m

(3)在(2)的条件下,请根据函数图象,直接写出使不等 式 y ≤ ? m 成立的 m 的取值范围. 第 20 题图

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B 卷(共 50 分)

一、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分。 ) 21.如图,直线 OA 与反比例函数 y ? 面积为 2,则 k= ▲ 。

k (k ? 0) 的图象在第一象限交于点 A,AB⊥x 轴于点 B,△OAB 的 x

? x ? 2 y ? 5k ? 2 22.已知关于 x、y 的方程组 ? 的解是一对异号的数,则 k 的取值范围是 ▲ 。 ? x ? y ? ?k ? 4

B O

第 21 题图

第 23 题图

第 24 题图

23.如图,AB 是⊙O 的直径,点 D、T 是圆上的两点,且 AT 平分∠BAD,过点 T 作 AD 延长线的垂线 PQ,垂足为 C。若⊙O 的半径为 2,TC= 3 ,则图中阴影部分的面积是 ▲ 。

24.设函数 y ? x 2 ? (2k ? 1) x ? 2k ? 4 的图像如图所示,它与 x 轴交于 A,B 两点,且线段 OA 与 OB 的长 度之比为 1:3,则 k = ▲ 。

25.如图 4,对面积为 1 的△ABC 逐次进行以下操作:第一次操作,分别延长 AB、BC、CA 至点 A1、B1、 C1,使得 A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接 A1、B1、C1,得到△A1B1C1,记其面积为 S1;第二次 操作,分别延长 A1B1、B1C1、C1A1 至点 A2、B2、C2,使得 A2B1=2A1B1,B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1,顺次连 接 A2、B2、C2,得到△A2B2C2,记其面积为 S2;?;按此规律继续下去,可得到△AnBnCn,则其面积 Sn= ▲ 。 (用含 n 的式子表示)

第 25 题图

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二、解答题(本大题共 3 个小题,共 30 分) 26. (本小题满分 8 分) 某旅行社拟在暑假期间推出“两日游”活动,收费标准如下: 人数 m 收费标准(元/人) 0<m≤120 180 120<m≤200 170 m>200 150

甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动。已知甲校报名参加的学生人数多于 120 人,乙 校报名参加的学生人数少于 120 人。经核算,若两校分别组团共需花费 41600 元,若两校联合组团只需花 费 36000 元。 (1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过 200 人吗?为什么? (2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?

27. (本小题满分 10 分) 如图,PA 为⊙O 的切线,A 为切点。过 A 作 OP 的垂线 AB,垂足为点 C,交⊙O 于点 B。延长 BO 与⊙O 交于点 D,与 PA 的延长线交于点 E。 (1)求证:PB 为⊙O 的切线; (2)若 BC=2OC,求 sinE 的值。

第 27 题图

28. (本小题满分 12 分) 如图,分别以两个彼此相邻的正方形 OABC 与 CDEF 的边 OC、OA 所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直 角坐标系 (C、 两点在 x 轴正半轴上) 若⊙P 过 A、 E 三点 F 。 B、 (圆心 P 在 x 轴上) 抛物线 y ? , 经过 A、C 两点,与 x 轴的另一交点为 G,正方形 CDEF 的面积为 4。 (1)求点 B 的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3) 设直线 AC 与抛物线对称轴交于点 N, Q 是此对称轴上不与点 N 点 重合的一动点。 ①求△ACQ 周长的最小值; ②设点 Q 的纵坐标为 t,△ACQ 的面积为 S,直接写出 S 与 t 之间的函 数关系式,并指出相应的 t 的取值范围。 第 28 题图

1 2 x ? bx ? c 8

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青羊区初 2012 级第一次诊断性测试题 数学参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 3 分,满分 30 分) 1 2 3 题号 4 5 6 7 D 8 D 9 C 10 D

B B A C B C 答案 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 11、2 12、6 13、45 14、 (7,3) 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 54 分) 15. (本题满分 12 分,每小题 6 分) (1)解:原式= 2 2 ? 2 ? 4 ?

2 ? 1 ????????????????????3 分 2

= 2 2 + 2 - 2 2 - 1 = 1 ????????????????6 分
(2)原式 ?

m m ?1?1 ? ????????????????????3 分 (m ? 1)( m ? 1) m ?1 m m ?1 ? ????????????????????? 4 分 (m ? 1)( m ? 1) m

?

1 ???????????????????????????? 5 分 m ?1 1 1 当 m ? ?2 时,原式 ? ? ? ?????????????????? 6 分 ? 2 ?1 3 ?
16. (本小题满分 6 分) 解:由题意可知∠ACP= ∠BCP= 90° ∠APC=30° ,∠BPC=45° ????????????1 分 在 Rt△BPC 中,∵∠BCP=90° ,∠BPC=45° , ∴ BC ? PC ? 60 ?????????????????3 分 在 Rt△ACP 中,∵∠ACP=90° ,∠APC=30° , ∴ AC ? 20 3 ??????????????????5 分 ∴ AB ? AC ? BC ? 60? 20 3 ≈60+20×1.732 =94.64≈94.6(米) 答:教学楼 A 与办公楼 B 之间的距离大约为 94.6 米????? 6 分 17. (本小题满分 8 分) 解:设 t ? x ? 第 16 题 图 B
60°

A C
45°

P

1 ,则原方程可化为 2t 2 ? t ? 1 ? 0 ????????????2 分 2 1 解得 t1 ? 1, t 2 ? ? ?????????????????????????5 分 2 1 3 1 1 x ? ? 1 , x ? , x ? ? ? ,x=0?????????????????7 分 2 2 2 2 3 ∴ x1 ? ,x2=0?????????????????????????? 8 分 2

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18. (本小题满分 8 分) 解: (1)树状图如下图所示:

列表: 上午 下午 A B C D (A,D) (B,D) (C,D) E (A,E) (B,E) (C,E) F (A,F) (B,F) (C,F)

∴小强所有可能选择参观的方式有: (A,D)(A,E)(A,F)(B,D)(B,E) , , , , , (B,F)(C,D)(C,E)(C,F) , , , 。?????????????????4 分 (2)小强上午和下午都选择参观亚洲国家展馆的可能有(A,D)(A,E)???6 分 , ∴小强上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的概率= 19. (本小题满分 10 分) (1)证明:在△HDG 和△AEH 中, ∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠D=∠A=90° 。?????1 分

2 ???????????8 分 9

D H

G

C F E B

∵四边形 EFGH 是菱形,∴HG=HE, ∴Rt△HDG≌△AEH????????????????3 分 ∴∠DHG=∠AEH,∴∠DHG+∠AHE=90° ∴∠GHE=90° ,∴菱形 EFGH 为正方形。???????5 分 (2)过 F 作 FM⊥CD,垂足为 M,连接 GE。???????6 分 ∵CD//AB,∴∠AEG=∠MGE ∵GF//HE,∴∠HEG=∠FGE,∴∠AEH=∠FGM ∵HE=FG,∴Rt△AHE≌Rt△GFM??????????8 分 ∴MF=2 ∵DG=x,∴CG=6-x。 ∴ S ?FCG ?

A
图1

D H A

G C

M F

E B
图2

1 GC ? FM ? 6 ? x ?????????????????????10 分 2

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20. (本小题满分 10 分) 解: (1)由题意可知,∵ ? ? (3 ? 2m) 2 ? 4m(m ? 3) ? 9 ? 0 ?????????????2 分 即△>0 ,∴方程总有两个不相等的实数根。???????????????3 分 (2)由求根公式,得: x ? ∵ m>0,∴ 1 ? 1 ? ∵ x1 ? x2 ,∴ ∴ y?

?(3 ? 2m) ? 3 3 .∴ x ? 1 ? 或 x ? 1 。 2m m

3 。????????????????????????5 分 m 3 。???????????????????6 分 m

x1 ? 1,x2 ? 1 ?
即y??

x2 ? 1 1 ?? . 3x1 m

1 (m ? 0) 为所求。??????????????7 分 m

(3)在同一平面直角坐标系中分别画出 y ? ?

1 (m ? 0) m 与 y ? ?m (m ? 0) 的图象????????8 分
由图象可得,由图象可得 当 0 ? m ≤ 1 时, y ≤ ? m ????????10 分

y

1

O

1

y??

1 (m ? 0) m

m

y ? ?m (m ? 0)

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B卷
一、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 ) 3 3 2 1 ? ? 21、4 22、-2<k<1 23、 24、 25、 19 n 2 3 2 二、解答题(本大题共 3 个小题,共 30 分)二、解答题(本题 8 分) 26.( 本小题满分 8 分) (1) 设两校人数之和为 S。 若 S>200,则 S=36000÷ 150=240。???????????????????1 分 若 120<S≤200,则 S=36000÷170= 211

13 ,不合题意。 17

∴两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于 240,超过 200 人。?????3 分 (2)设甲学校报名参加旅游的学生有 x 人,乙学校报名参加旅游的学生有 y 人,则 ? x ? y ? 240 ? x ? 160 ①当 120<x≤200 时,得 ? 解得 ? ????????5 分 ?170x ? 180 y ? 41600 ? y ? 80

1 ? ? x ? 53 3 ? 解得 ? ? y ? 186 2 ? 3 ? 此解不合题意,舍去??????????????????????????7 分 ∴甲学校报名参加旅游的学生有 160 人,乙学校报名参加旅游的学生有 80 人。? 8 分 27.(本 小 题 满 分 10 分 ) ( 1) 证 明 : 连 接 OA ∵ P A 为 ⊙ O 的 切 线 , ∴ ∠ P AO=90° ? ? 1 分 ? ∵ OA= OB, OP ⊥ AB 于 C ∴ BC= CA, P B= P A ∴ △ P BO≌ △ PAO ∴ ∠ P BO= ∠ PAO = 90° ∴ PB 为 ⊙ O 的 切 线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 分 ( 2) 解 : 连 接 AD, 第 27 题图 ∵ BD 是 直 径 , ∠ BAD= 90 ° 由 ( 1) 知 ∠ BCO= 90 ° ∴ AD∥ OP , ∴ △ ADE∽ △ POE? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 分 EA AD ∴ , 由 AD∥ OC 得 AD= 2OC? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 分 ? EP OP ∵ BC=2OC, 设 OC= t, 则 BC= 2t, AD=2t 由 △ P BC∽ △ BOC, 得 P C= 2BC= 4t, OP= 5t EA AD 2 ∴ ? ? , 可 设 EA= 2 m, E P =5m, 则 P A=3m EP OP 5 PB 3 ∵ P A=P B, ∴ P B=3m, sin E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分 EP 5 28. (本小题满分 12 分)
? x ? y ? 240 ②当 x>200 时,得 ? ?150x ? 180 y ? 41600
(1)如图,连接 PE、PB,设 PC=n, 由正方形 CDEF 的面积为 4,可得 CD=CF=2 根据圆和正方形的对称性知,OP=PC=n。 由 PB=PE,根据勾股定理,

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得 PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2, PE2=PF2+EF2=(n+2)2+4,即 5n2=(n+2)2+4 解得 n=2 或 n=-1(舍去) 。 ∴BC=OC=4,故点 B 的坐标为(4,4)????????????????3 分 (2)由(1)A(0,4) ,C(4,0) ,∵抛物线 y ?

1 2 x ? bx ? c 经过 A、C 两点 8

?4 ? c ? ∴? 1 2 ?0 ? 8 ? 4 ? 4b ? c ?
∴抛物线的解析式为 y ?

?c ? 4 ? 解之得 ? 3 ?b ? ? 2 ?

1 2 3 x ? x ? 4 ???6 分 8 2
对 称 轴 x=6 AC+A′C 的

(3)①如图,延长 AB 交抛物线于点 A′,连接 CA′交 于点 Q,连接 AQ,则有 AQ=A′Q。△ACQ 周长的最小值为 长。 利用勾股定理,在 Rt△AOC 中,AC= AO 2 ? OC 2 ? 4 2 , 在 Rt△A′BC 中, A?C ? A?B 2 ? BC 2 ? 4 5 即△ACQ 周长的最小值为 4 2 ? 4 5 。????????????????9 分 ②直线 AC 的解析式为 x+y-4=0,当 x=6 时,y=-2,由于点 Q 与 N 不重合, ∴t≠-2 当 t>-2 时,S=2t+4?????????????????????????11 分 当 t<-2 时,S=-2t-4???????????????????????? 12 分 (其它解法参照给分。 )


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