2.4 二项分布上课课件_图文

第二章 概 率 2.4 二项分布

问题1 姚明的罚球命中率为0.9, 假设他每次命中率相同,请问他某 次比赛中4罚3中的概率是多少?

问题1 姚明的罚球命中率为0.9,假设他每 次命中率相同,请问他某次比赛中4罚3中的 概率是多少? 问题2 随机抛掷一枚均匀硬币100次, 求恰 好出现50次正面的概率;
问题3 随机抛掷一颗质地均匀的骰子n次, 求恰好出现k次5的概率;
共同点: 1).每次试验是在同样的条件下进行的; 2).各次试验中的事件是相互独立的; 3).每次试验都只有两种结果:A与A; 4).每次试验中事件A发生的概率相同:P(A)=p.

1.n次独立的重复试验.
一般地,由n次试验构成,且每次试验相互独立完成, 每次试验的结果仅有两种对立的状态,即A与 A ,每次试 验中P(A)=p>0.我们将这样的试验称为n次独立的重 复试验,也称为伯努利试验. (Bernoulli trials).

判断下列试验是不是独立重复试验:
1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上; 2).某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击 了10次,其中6次击中; 3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次 抽取5个球,恰好抽出4个白球; 4).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回 的抽取5个球,恰好抽出4个白球

姚明的罚球命中率为0.9,假设他 每次命中率相同,请问他某次比赛 中4罚3中的概率是多少?
分别记在第i次罚球中,姚明罚中为事件Ai(i=1,2,3,4), 未罚中为事件Ai(i=1,2,3,4), 那么,罚球4 次,击中3 次共有以下情况:
A1 ? A2 ? A3 ? A4 A1 ? A2 ? A3 ? A4 A1 ? A2 ? A3 ? A4 A1 ? A2 ? A3 ? A4

P( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ) ? 0.9 ? 0.9 ? 0.9 ? (1 ? 0.9) ? 0.93 ? 0.1 P( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ) ? 0.9 ? 0.9 ? 0.9 ? (1 ? 0.9) ? 0.93 ? 0.1

P( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ) ? P( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ) ? 0.93 ? 0.1

P ? 4 ? 0.9 ? 0.1 ? 0.29
3
3×(1-0.9)4- 3 1 、每种情况的概率都是 0.9 特征:

A发生 2、共有4种情况, A1 ? A2 ? A3 ? A4 A1 ? A2 ? A3 ? A4
A1 ? A2 ? A3 ? A4

A不发生
A1 ? A2 ? A3 ? A4

上述的每一种情况,都可看成是在4个位置上取出3 个写上A,剩下一个位置写上A,所以这些情况数等 3 于 从4个元素中任取3个元素的组合数 C4 3、这4次罚球看成进行4次相互独立的重复试验。 因而罚球4次罚中 3 次的概率可算为

P ? C 0.9 ? (1 ? 0.9)
3 4 3

4? 3

这4次罚球看成进行4次相互独立的重复试验。
因而罚球4次罚中 3 次的概率可算为

P ? C 0.9 ? (1 ? 0.9)
3 4 3

4? 3

推广: 1、姚明罚球4 次恰好罚中2次的概率是:

P ? C 0.9 ? (1 ? 0.9)
2 4 2

4? 2

这4次罚球看成进行4次相互独立的重复试验。
因而罚球4次罚中 3 次的概率可算为

P ? C 0.9 ? (1 ? 0.9)
3 4 3

4? 3

推广: 2、姚明罚球5次恰好罚中2次的概率是:

P ? C 0.9 ? (1 ? 0.9)
2 5 4 2

5? 2 4

这4次罚球看成进行4次相互独立的重复试验。
因而罚球4次罚中 3 次的概率可算为

P ? C 0.9 ? (1 ? 0.9)
3 4 3

4? 3

推广: 3、姚明n次恰好罚中中k次的概率是:

P ? C 0.9 ? (1 ? 0.9)
k n k

n?k

象上述问题是相互独立事件进行重复试验

2、在 n 次独立重复试验中,如果事 件A在每次次试验中发生的概率是p, 那么在n次独立重复试验中这个事件恰 好发生 k 次的概率是:
k k n ?k ? ? Pn ( k ) C n p (1 p ) ( k ? 0 ,1, 2 , L n ).

1).公式适用的条件

2).公式的结构特征:
事件 A 发生的概率
k n

事件 A发生的概率
k n? k

Pn ( k ) ? C ? p ? (1 ? p)
实验总次数 事件 A 发生的次数

(其中k = 0,1,2,· · · ,n )

意义理解

因P(A)=p,设P(A)=1-p=q 与二项式定 理有联系吗 ? 3、若随机变量X的分布列为:

P( X ? k ) ? C ? p ? q
k n k

n ?k

(其中k = 0,1,2,· · · ,n ) 它恰好是(q+p)n的二项展开式中的第k+1项.

称X为服从参数为 n, p的二项分布 , 记作X ~ B(n, p).

问题2 随机抛掷一枚均匀硬币100次,求恰 好出现50次正面的概率。
解 : 设X为抛掷100次硬 币出现正面的次数, 则随机变量X ~ B(100,0.5) ,则 P(X ? 50)? C p q 的概率为8%.
50 50 100 ?5 0 100

?C

50 100

0.5

100

? 8%.

答 : 随机抛掷100次硬币 ,正好出现50次正面

问题3 随机抛掷一颗质地均匀的骰子n次, 求恰好出现k次5的概率。
解 : 设 X为 抛 掷 n次 骰 子 出 现 5的 次 数 , 1 则随机变量X ~ B(n, ),从 而 6 k n ?k Cn 5 k k n ?k k 1 k 5 n ?k P(X ? k)? C n p q ? C n( ) ( ) ? n 6 6 6 答 :随 机 抛 掷 n次 骰 子 正 , 好 出 现 k次 5 C 5 的概率为 n 6
k n n ?k

.

例.设某保险公司吸收10 000人参加人 身意外保险,该公司规定:每人每年付给 保险公司120元,若意外死亡,公司将赔 偿10 000元.如果已知每人每年意外死 亡的概率为0.006,问:该公司赔本及盈 利额在400 000元以上的概率分别有多 大?

例3

一盒零件中有9个正品和3个次品,每次取一个零

件,如果取出的次品不再放回,求在取得正品前已取

出的次品数X的概率分布.
分析 由于题设中要求取出次品 不再放回,故应仔细

分析每一个X所对应的事件的准确含义 ,据此正确地
计算概率p.


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