高中数学新人教A版必修1 3.1.2 用二分法求方程近似解-PPT课件_图文

3.1.2

用二分法求方程的近似解

第三章

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

●课标展示 1.掌握用二分法求函数零点近似值的步骤. 2 .了解函数零点与方程根之间的关系,初步形成用函数

观点处理问题的意识.
3.能够借助计算器用二分法求方程的近似解.

●温故知新 旧知再现 1 .函数 y=x2 +bx +c(x∈[0 ,+ ∞ )) 是单调增函数,则 b的 b≥0 取值范围为________. -1,1,3 2.函数y=(x-1)(x2-2x-3)的零点为_________. 1 3.方程log2x+x2=2的实数解的个数为_____.

新知导学
1.二分法的概念

f(a)· f(b) <0 的函数 y = 对于在区间 [a,b] 上连续不断且 __________ 一分为二 ,使 f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 __________
零点 ,进而得到零点 ________ 近似值 的方 区间的两个端点逐步逼近 _____

法叫做二分法.
[ 名师点拨 ] 二分法就是通过不断地将所选区间 (a , b) 一 分为二,逐步地逼近零点的方法,即找到零点附近足够小的区

间,根据所要求的精确度,用此区间内的某个数值近似地表示
真正的零点.

2.用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤 f(a)· f(b)<0 ,给定精确度ε; (1)确定区间[a,b],验证__________ (2)求区间(a,b)的中点c; (3)计算f(c): 0 ,则c就是函数的零点; 若f(c)=_____ < ,则令b=c[此时零点x0∈(a,c)]; 若f(a)· f(c) _____0 < ,则令a=c[此时零点x0∈(c,b)]. 若f(c)· f(b) _____0 (4)判断是否达到精确度ε: < ε,则得到零点的近似值为a(或b);否则重 即若|a-b|_____

复(2)~(4).

3.二分法的应用 由函数的零点与相应方程根的关系,可以用二分法来求方 近似解 . 程的________

●自我检测 1.下面关于二分法的叙述,正确的是( A.用二分法可求所有函数零点的近似值 B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的 )

任一位
C.二分法无规律可循,无法在计算机上完成 D.只有在求函数零点时才用二分法

[答案] B

[解析]

只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零

点左右函数值异号,才可以用二分法求函数的零点的近似值, 故 A 错,二分法有规律可循,可以通过计算机来进行,故 C

错,求方程的近似解也可以用二分法,故D错.

2.函数f(x)的图象是连续不断的曲线,在用二分法求方程
f(x)=0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)< 0,则方程的解所在的区间为( )

A.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) [答案] A [ 解析 ] (1.25,1.5).

B.(1,1.25)
D.不能确定

由于 f(1.25)f(1.5) < 0 ,则方程的解所在的区间为

互动课堂

●典例探究

1 对二分法概念的理解
1

下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分

法求图中函数零点的是(

)

[分析] 由题目可获取以下主要信息:
①题中给出了函数的图象; ②二分法的概念. 解答本题可结合二分法的概念,判断是否具备使用二分法 的条件.

[解析]

利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值

异号.在B中,不满足f(a)· f(b)<0,不能用二分法求零点,由于 A、C、D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.

[答案] B

规律总结:运用二分法求函数零 点需具备的两个条件 (1)函数图象在零点附近连续不断.

(2)在该零点左右函数值异号.

1

对于二分法求得的近似解,精确度ε说法正确的是(
A.ε越大,零点的精确度越高 B.ε越大,零点的精确度越低 C.重复计算次数就是ε D.重复计算次数与ε无关

)

[解析] 由精确度ε定义知,ε越大,零点的精确度越低. [答案] B

用二分法求函数的零点问题 用二分法求函数 f(x) = x3 - 3 的一 个正实数零点(精确到0.1).

[解析 ]

由于f(1) =-2<0,f(2) =5>0,因此可取区间 (1,2)

作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:

区间 (1,2) (1,1.5) (1.25,1.5) (1.375,1.5)

中点的值 中点函数近似值 1+2 f(x1)=0.375>0 x1= 2 =1.5 1+1.5 f(x2)=-1.046 x2= 2 =1.25 9<0 1.25+1.5 f(x3)=-0.400 x3 = =1.375 2 4<0 1.375+1.5 f(x4)=-0.029 x4 = =1.4375 2 5<0

(1.437 5,1.5) ∵|1.5-1.4375|=0.062 5<0.1, ∴函数的正实数零点近似值可以取为 1.437 5.

规律总结:1.用二分法求函数零
点的近似值应遵循的原则 (1) 需依据图象估计零点所在的初始区间 [m , n]( 一般采用 估计值的方法完成). (2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是[m, c] 还是 [c , n] ,逐步缩小区间的 “ 长度 ” ,直到区间的两个端 点符合精确度要求,终止计算,得到函数零点的近似值.

2.二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间,找中点;中值计算两边看, 同号丢,异号算,零点落在异号间.

重复做,何时止,精确度来把关口.

2

1 (1)已知 f(x)=x -lnx 在区间(1,2)内有一个零点 x0,若用二 分法求 x0 的近似值(精确度 0.2), 则最多需要将区间等分的次数 为( ) A.3 C.5 B.4 D.6

(2)用二分法求函数 f(x)=3x-x-4 的一个零点,其参考数 据如下: f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067

f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈-0.029 f(1.550 0)≈-0.060 据此数据,可得 f(x)=3x-x-4 的一个零点的近似值(精确 度 0.01)为________.

[答案] (1)A (2)1.562 5

[解析]

(1)由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一

3 3 次 f(2)>0,区间长度|2-2|=0.5>0.2, 7 7 分二次,f(4)>0,区间长度|2-4|=0.25>0.2, 15 7 15 1 分三次 f( 8 )<0,区间长度|4- 8 |=8<0.2, 所以最多分三次可以使 x0 的近似值达到精确度 0.2.

(2) 由参考数据知, f(1.562 5)≈0.003>0 , f(1.556 25)≈ - 0.029<0, 即 f(1.562 5)· f(1.556 25)<0, 且 1.562 5-1.556 25=0.006 25<0.01,∴f(x)=3x-x-4 的一个零点的近似值可取为 1.562 5.

二分法在实际中的应用 在一个风雨交加的夜里,从某水 库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条长 10 km 的线路,电线杆的间距为 100 m .如何迅速查出故障所在

呢?
[分析] 考虑用二分法思想,通过找中点不断将区间一分 为二,逐渐逼近在两根电线杆之间.

[解析] 如图所示,

首先从 AB 线路的中点 C 开始检查,当用随身带的话机向 两端测试时,发现 AC 段正常,判定故障在 BC;再到 BC 段中 点 D 检查,这次发现 BD 段正常,可见故障出在 CD 段;再到 CD 段中点 E 来检查……每查一次,可以把待查的线路长度缩 减一半.要把故障可能发生的范围缩小到 100 m 左右,查 7 次 就可以了.

规律总结: (1)精确度ε与等分区

间次数之间有什么关系?
若初始区间选定为(a,b),则区间长度为 b-a,等分 1 次, b-a b-a 区间长度变为 2 ;等分 2 次,区间长度变为 22 ;则等分 n b-a b-a 次,区间长度变为 2n . 要想达到精确度,需满足 2n ≤ε ? b-a n≥log2 ε . 如选取精确度为 0.1 ,初始区间为 (2,3) ,经计算 3-2 log2 0.1 =log210≈3.32,则需等分 4 次即可达到精确度 0.1.如 10000 上题中,ε=100,n≥log2 100 =log2100≈7.

3

在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们相同的假币
(重量较轻),现在只有一台天平,请问:最多几次就可以发现 这枚假币? [解析] 将26枚金币分为两组,每组13枚,分别放于天平 左右两侧测量,则假币在较轻的那一组中; 从这较轻的 13 枚金币中任取 12 枚均分为 2 组,分别放于天 平左右两侧测量,

若天平平衡,则剩下的那一枚为假币,到此也就完成任务 了;若天平不平衡,则假币在较轻的那6枚中;将较轻的6枚再 均分为 2组,分别置于天平上测量,则假币将会出现在较轻的 那3枚中;

再从这 3 枚中任取两枚,若天平平衡,则未取到的那一枚
为假币,若天平不平衡,则较轻的盘中所放的为假币. 因此,发现假币最多需进行4次比较.

随堂测评

1 . 若 函 数 f(x) 的 图 象 是 连 续 不 断 的 , 且 f(0)>0 , f(1)f(2)f(4)<0,则下列命题正确的是( A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数f(x)在区间(1,2)内有零点 )

C.函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D.函数f(x)在区间(0,4)内有零点 [答案] D

2.下列函数中,不能用二分法求零点的是(

)

[答案] B

3.下列函数中不能用二分法求零点的是( A.f(x)=3x-1 C.f(x)=|x| [答案] C B.f(x)=x3 D.f(x)=lnx

)

6.已知函数 f(x)=lnx+2x-6. (1)证明 f(x)有且只有一个零点; (2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于 1 4.

[ 解析 ] 数,

(1) 证明: f(x) = lnx + 2x - 6 在 (0 ,+ ∞ ) 上是增函

∴f(x)至多有一个零点. 由于f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,

∴f(2)· f(3)<0.
∴f(x)在(2,3)内有一个零点. ∴f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.

2+3 5 (2)∵f(2)<0,f(3)>0,取 x1= 2 =2, 5 5 5 f(2)=ln2+5-6=ln2-1<0, 5 5 ∴f(3)· f(2)<0.∴f(x)零点 x0∈(2,3). 5 2+3 11 取 x2 = 2 = 4 ,

11 11 11 11 1 则 f( 4 )=ln 4 +2× 4 -6=ln 4 -2>0. 11 5 5 11 ∴f( 4 )· f(2)<0.∴x0∈(2, 4 ). 11 5 1 1 ∵| 4 -2|=4≤4, 5 11 ∴满足题意的区间为(2, 4 ).


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