2019年人教版必修五高中数学2.2等差数列第2课时等差数列的性质优质课课件_图文

第2课时 等差数列的性质 (一)等差数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做 等差数列. a n+1 - a n = d (n ∈ N * ) (二)等差中项的概念 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单 的等差数列,这时,A叫做a与b的等差中项. (三)等差数列的通项公式 a n = a1 +(n -1)d 推导方法:迭加法. 推广的通项公式:a n = a m +(n - m)d. 1.理解等差数列、等差中项的概念,会用定义判定 一个数列是否是等差数列.(重点) 2.进一步加深对等差数列通项公式的理解、认识和 应用.(难点) 3.掌握等差数列的有关性质. 探究 等差数列的性质 1.在等差数列?an ?中, 若 m ? n ? p ? q , m , n, p , q ? N ? , 则 a m ? a n ? a p ? aq , 特别地:若m ? n ? 2 p, 则am ? an ? 2a p . 思考:若p ? q ? n ? 3m, 则a p ? aq ? an ? 3am 成立吗? 提示:成立. 2.若?an ? 是公差为d的等差数列, 则?a2 n ? 和?a2 n?1 ? 也是 等差数列. 思考:在上述两个数列中,首项和公差各是 多少? 提示:数列?a2 n ?的首项是a2 , 公差是2d ; 数列?a2 n?1 ?的首项是a1 , 公差是2d . 【即时练习】 (2015·重庆高考)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2, 则a 6= ( A.-1 ) B.0 C.1 D.6 【提示】解答本题可以利用等差中项的概念进行计 算. 【解析】选B.因为数列{an}为等差数列,所以a4为a2和a6 的等差中项,所以有2a4=a2+a6,解得a6=0. 例1 某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步 价为10元,即最初的4 km(不含4千米)计费10 元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目 的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多 少车费? 解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于 4 km时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元.所以, 我们可以建立一个等差数列?an ? 来计算车费.令 a1 = 11.2,表示4 km处的车费,公差d = 1.2.那么 当出租车行至14 km处时,n = 11,此时需要 支付车费a11 = 11.2 +(11- 1) ×1.2 = 23.2(元). 答:需要支付车费23.2元. 【方法技巧】 1.建立等差数列的数学模型; 2.解得模型的结果. 【变式练习】 梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽110 cm,中间 还有10级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽. 解: 由题意知,建立一个等差数列{an}来计算中间各级 的宽,由已知条件,有a1=33,a12=110,1≤n≤12,n∈N*, 又a12=a1+(12-1)d,即110=33+11d,所以 d=7, 因此,a2=33+7=40,a3=40+7=47,…,a11=96+7=103. 答:梯子中间各级的宽从上到下依次是 40 cm、47 cm、 54 cm、61 cm、68 cm、75 cm、82 cm、89 cm、96 cm、 103 cm. 例2 已知数列?an ?的通项公式为an ? pn ? q,其中 p,q为常数,那么这个数列一定是等差数列吗? 分析:判定?an ? 是不是等差数列,可以利用等差数列 的定义,也就是看an - an-1 ? n > 1? 是不是一个与n无关的 常数. 解:取数列?an ?中的任意相邻两项an与an-1(n > 1), 求差得an - an-1 = ? pn + q ? - ? ?p ? n - 1 ? + q ? ? = pn + q -(pn - p + q)= p. 它是一个与n无关的常数.所以?an ? 是等差数列. 证明等差数列的方法: 1.利用定义; 2.利用等差中项的性质; 3.利用通项公式是一次函数的性质. 【变式练习】 在等差数列{an}中,已知 a4+a5+a6+a7=56,a4a7=187, 求a14及公差d. 解:a4+a5+a6+a7=56,所以a4+a7=28,① 又a4a7=187②, 联立①②解得 a4=17, a7=11, 或 a4=11, a7=17, 所以d= -2或2, 从而a14= -3或31. 例3 在等差数列{an}中, 熟记性质 (1)已知 a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20. 解:由a1+a20 =a6+a15= a9+a12 及a6+a9+a12+a15=20, 可得a1+a20=10. (2)已知a3+a11=10,求a6+a7+a8. 解:a3+a11 =a6+a8 =2a7 ,又a3+a11=10, 所以 a6+a7+a8= 3 (a +a )=15. 2 3 11 【变式练习】 (2013·上海高考)在等差数列? an ? 中,若 a1+ a2+ a3+ a4=30,则a2+ a3= . 【解析】a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 2(a2 ? a3 ) ? 30 ? a2 ? a3 ? 15. 答案:15 1.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为( A ) A.5 B.6 C.8 D.10 【解析】∵a1+a9=2a5, ∴a5=5. 2.等差数列{an}中,a4+a5=15,a7=12,则 a2=( A.3 3 C. 2 B.-3 3 D.- 2 A ) 【解析】由题意知a4+a5=a2+a7 ∴a2=15-12=3,故选A. 3.等差数列{an}的前三项依次为a-6,2a-5,-3a+2, 则 a等于( B ) A. -1 B. 1 C.-2

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