2014-2015学年高中数学 3.4生活中的优化问题举例课时作业 新人教A版选修1-1

3.4 生活中的优化问题举例 课时目标 通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题,使学生体会导数在解决 实际问题中的作用,会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题. 1 .生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为 ____________,通过前面的学习,我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具,运用 ________,可以解决一些生活中的______________. 2.解决实际应用问题时,要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系,这需通过分 析、 联想、 抽象和转化完成. 函数的最值要由极值和端点的函数值确定, 当定义域是开区间, 而且其上有惟一的极值,则它就是函数的最值. 3.解决优化问题的基本思路是: 用函数表示的数学问题 → 用函数表示的数学问题 ↓ 优化问题的答案 ← 用导数解决数学问题 上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ _过程. 一、选择题 1.某箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)=x ? 2 ?60-x? (0<x<60),则当箱子的容积 ? ? 2 ? 最大时,箱子底面边长为( ) A.30 B.40 C.50 D.其他 2.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y 1 3 =- x +81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) 3 A.13 万件 B.11 万件 C.9 万件 D.7 万件 3.某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其 他三边需要砌新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( ) A.32 米,16 米 B.30 米,15 米 C.40 米,20 米 D.36 米,18 米 4.若底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V,则其表面积最小时,底面边长为( ) 3 3 3 3 A. V B. 2V C. 4V D.2 V 5.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积最大,则高为( 3 10 3 A. cm B. cm 3 3 ) 16 3 20 3 C. cm D. cm 3 3 6.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 1 ? ?400x- x2 2 元,已知总收益 r 与年产量 x 的关系是 r=? ? x ? 大时,年产量是( ) 1 x ,则总利润最 A.100 B.150 C.200 D.300 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题 7.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货 物的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________千米 处. 8.如图所示,一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如果窗户面积一定,窗户周长最小 时,x 与 h 的比为________. 9.做一个无盖的圆柱形水桶,若需使其体积是 27π ,且用料最省,则圆柱的底面半径 为________. 三、解答题 10.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需建两端桥墩之 间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它 因素.记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 11.某商品每件成本 9 元,售价 30 元,每星期卖出 432 件.如果降低价格,销售量可 以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位:元,0≤x≤30)的平方成 正比,已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 能力提升 12. 某单位用 2 160 万元购得一块空地, 计划在该块地上建造一栋至少 10 层、 每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560 +48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注: 购地总费用 平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= ) 建筑总面积 2 13.已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的 1 函数关系式为 p=25- q,求产量 q 为何值时,利润 L 最大. 8 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤. (1)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变 量之间的函数关系 y=f(x); (2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和 f′(x)=0 的点的函数值的大小, 最大(小)者为最大(小)值; (4)写出答案. §3.4 生活中的优化问题举例 答案 知识梳理 1.优化问题 导数 导数 优化问题 作业设计 3 2 1.B [V′(x)=60x- x =0,x=0 或 x=40. 2 x (0,40) 40 V′(x) + 0 (40,60) - V(x) 极大值 可见当 x=40 时,V(x)达到最大值.] 2 2.C [y′=-x +81,令 y′=0,得 x=9 或 x=-9(舍去).当 0<x<9 时,y′>0; 当 x>9 时,y′<0,故当 x=9 时,函数有极大值,也是最大值.] 3.A [要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短, 512 512 如图所示,设场地宽为 x 米,则长为 米,

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