高中二年级数学教案-两条直线的位置关系

高中二年级数学教案-两条直线的位置关系
教学目标

(1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件,能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念,掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的概念,理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法. (7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求,培养学生发散思维能力,理解数形结合的思想方 法.

教学建议

一、教材分析

1.知识结构

2.重点、难点分析

重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离.

难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导.

本节内容与后边内容联系十分紧密,两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中 都有广泛的应用,因此非常重要.

(1)平行与垂直

①平行

在讨论两条直线平行的问题时,教材先假定了两条直线有斜截式方程,根据倾斜角与斜率的对应关系, 将初中学过的两直线平行的充要条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语言,用斜率和截距重 新加以刻画,教学中应注意斜率不存在的情况.

②垂直

教材上将直线的斜率转化成方向向量,然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率 不存在的情况,两条直线垂直的充要条件可叙述为:

或 一个为 0,另一个不存在.

(2)夹角

①应正确区分直线 到 的角、直线 到 的角、直线 和 的夹角这三个概念.

到 的角是带方向的角, 它是指 按逆时针方向旋转到与 重合时所转的角, 它与 到 的角是不同的, 如果设前者是 ,后者是 ,则 + = . 与 所夹的不大于 的角成为 和 的夹角,夹角不带方向.

当 到 的角为锐角 时,则 和 的夹角也是 ;当 到 的角为钝角 时,则 和 的夹角也是 .

②在求直线 到 的角 时, 应注意分析图形的几何性质, 找出 与 , 的倾斜角 , 关系, 得出 或 然后由 , 联想差角的正切公式,便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示,推导出





再由 与 的夹角与 到 的角之间的关系,而得出夹角计算公式

这种把“形”转化为“数”的方法,是解析几何的基本方法,要认真揣摩.

③对于以上两个求角公式,在解决实际问题时,要注意根据具体情况选用.

(3)交点

①求两条直线的交点问题就是求它们的方程的公共解的问题,这可以由直线的方程与方程的直线的定 义来理解.

②在同一平面内,两条直线有三种位置关系:相交、平行、重合,相应的由直线方程组成的二元一次 方程组的解有三种情况:有惟一解、无解、无数多个解.但在实际判定时,利用直线的斜率和截距更方 便.若 , ,则:

与 相交 ;

且 ;

与 重合 且 .

(4)点到直线的距离

①点到直线的距离公式是研究点与直线位置关系的重要工具.教科书借助于直角三角形的面积公式, 推导出点到直线的距离公式.在推导过程中,把与两条坐标轴都不平行的线段的长度的计算,转化为与坐 标轴平等或垂直的线段长度的计算,从而简化了运算过程.

②利用点到直线的距离公式可推出两平行线 , 间的距离公式: .

③点到直线距离公式的推导,有多种方法,应鼓励同学们思考,下面介绍一种较简便的方法.

(5)当直线中有一条没有斜率时,讨论平行、垂直、角、距离的问题,不必套用以上结论,这时可结合图 形几何性质;直接求解.

二、教法建议

1.本节知识与初中所学的平面几何知识和三角知识联系非常紧密,教学时应加强启发和引导.如学生 对两条直线的平行同位角相等的条件已经非常熟悉,因此在研究两直线平行时,应引导学生迅速建立联系: 同位角—倾斜角—斜率(直线方程).又如,在求 到 的角 时,根据图形中角的关系,建立 与倾斜 角 和 的联系(有且只有 或 两种情况),进而借助三角建立与斜率的关系,得出公式.

2.本节内容中在研究两直线的垂直条件时,由于采用向量这一更高级的工具来处理,显得既简单又深 刻.所以教学中应注意向量工具的运用,可让学生尝试用向量推导两直线平行的条件和点到直线距离公式 的推导.

3.本节内容新概念不多,但要求推导的内容不少,教学时要坚持启发式的教学思想,重点放在思路的 探求和结论或公式的运用上.本节不少内容可安排学生自学和讨论,还要适当增加练习,使学生能熟练地 掌握公式,增强学生动手计算的能力.本节还要加强根据已知条件求直线方程的教学.

4.不仅要使学生熟悉用斜率求两直线夹角的公式,也要掌握根据直线方程系数求夹角的方法(即教材 中例 6 的方法),同时会根据所给条件选用.

5.已知两直线的方程会求其交点即可,不必研究两直线方程系数与位置关系之间的关系.

6.在学习点到直线距离公式时,可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法,并通过寻找多 种推导公式的方法,锻炼思维,培养能力.

7.本节学完以后学生可以解决很多较复杂、较综合的问题,如对称问题、直线系过定点问题、光路最 短与足球射门角度最大等最值问题.教学中应适当安排一些这样的内容,以训练学生思维和培养学生分析 问题、解决问题的能力.

教学设计方案

课题:点到直线的距离

教学目标:(1)理解点到直线距离公式的推导过程.

(2)会求点到直线的距离.

(3)在探索点到直线距离公式推导思路的过程中,培养学生发散思维、积极探索的精神.

教学用具:计算机

教学方法:启发引导法,讨论法

教学过程:

一、引入

点到直线的距离是指过点 作 的垂线, 与垂足 之间的长度

【问题 1】已知点 (-1,2)和直线 : ,求 点到直线 的距离.

(由学生分析、解答)

分析:先求出过 点和 垂直的直线:

: ,再求出 和 的交点

如果把问题 1 一般化就有如下问题:

【问题 2】已知: 和直线 : ( 不在直线 上,且 , ),试求 点到直线 的距离.

二、点到直线距离

分析 1:要求 的长度可以象问题 1 的解法一样,利用两点的距离公式可以求 的长度.

∵ 点坐标已知,∴只要求出 点坐标就可以了.

又∵ 点是直线 和直线 的交点

又∵直线 的方程已知

∴只要求出直线 的方程就可以了.

即: ← 点坐标←直线 与直线 的交点←直线 的方程←直线 的斜率←直线 的斜率

(这一解法在课前由学生自学完成,课上进行评价总结)

问:这种解法好不好,为什么?

根据学生讨论,教师适时启发、引导,得出

分析 2:如果 垂直坐标轴,则交点和距离都容易求出,那么不妨做出与坐标轴垂直的线段 和 , 如图 1 所示,显然相对而言 ,和 好求一些,事实上,设 到直线的距离为 , 坐标为 , 坐标为 , 则易求:

(1)分子是 点坐标代入直线方程;

(2)分母是直线未知数 、 系数平方和的算术根.

类似于勾股定理求斜边的长

三、检测与巩固

练习 1

(1) 到直线 的距离是________.

(2) 到直线 的距离是_______.

(3)用公式解 到直线 的距离是______.

(4) 到直线 的距离是_________.

订正答案:(1)5;(2)0;(3) ;(4) .


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