专题10 解三角形 11

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精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号:
年 课 级: 题 辅导科目:数学 课时数:

解三角形

教学目的 教学内容

第一节
(一)高考目标

正弦定理和余弦定理

考纲解读 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 考向预测 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化,进而进行恒等变形解决问题. 2.与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦定理和面积公式的同时,考查三角恒等变形,这是高考的热点. 3.三种题型均有可能出现,属中低档题目.

(二)课前自主预习
知识梳理 1. 正弦定理和余弦定理

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2.解三角形的类型 在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下:

3.解三角形的常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三角外)才能求解,常见类型及其解法如表所示. 已知条件 一边和两角 (如 a,B,C) 两边和夹角 (如 a,b,C) 三边(a,b,c) 两边和其中一边的对角 (如 a,b,A) 应用定理 正弦定理 余弦定理 正弦定理 余弦定理 正弦定理 余弦定理 一般解法 由 A+B+C=180°,求角 A;由正弦定理求出 b 与 c. 在有解时只有一解 由余弦定理求第三边 c;由正弦定理求出小边所对的角;再由 A +B+C=180°求出另一角. 在有解时只有一解 由余弦定理求出角 A、B;再利用 A+B+C=180°,求出角 C. 在有解时只有一解 由正弦定理求出角 B;由 A+B+C=180°,求出角 C;再利用正 弦定理或余弦定理求 c. 可有两解,一解或无解

(三)基础自测
1.(2010?湖北理)在Δ ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=( 2 2 A.- 3 [答案] D
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) D. 6 3

2 2 B. 3

C.-

6 3

中国领先的个性化教育品牌 2.(2009?福建文)已知锐角△ABC 的面积为 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为( ) A.75° B.60° C.45° D.30° 3.(2011?铜陵一中月考)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a、b、c 成等比数列,且 a+c=3, tanB= A. 7 ,则△ABC 的面积为( 3 7 4 B. 5 4 ) 7 2 5 2

C.

D.

4.(2010?湖南文)在 Δ ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若∠C=120°,c= 2a,则( A.a>b B.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 5.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 c= 2,b= 6,B=120°,则 a=________ 6.在△ABC 中,若 sinC=2cosAsinB,则此三角形是________三角形.

)

7. 在△ABC 中, a,b,c 分别是∠A, ∠B, ∠C 的对边长, 已知 a, b, c 成等比数列, 且 a -c =ac-bc, 求∠A 及 的值.

2

2

bsinB c

(四)典型例题
1.命题方向:正弦定理和余弦定理的应用
[例 1] 在△ABC 中,已知 a= 3,b= 2,B=45°,求 A、C 和 c.

[点评] 应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定 理更方便、简捷. 跟踪练习 1: 已知在△ABC 中,a=7,b=3,c=5,求三角形中的最大角及角 C 的正弦值.

2.命题方向:与面积有关的问题
[例 2] 在△ABC 中,A=60°,b=1,其面积为,则△ABC 外接圆的直径是________. 跟踪练习 2 : (2008· 江苏)满足条件 AB=2,AC= 2BC 的△ABC 的面积的最大值为________.

3.命题方向:判断三角形的形状
[例 3] 在△ABC 中,acosA+bcosB=ccosC,试判断三角形的形状. 跟踪练习 3:△ABC 中,a2tanB=b2tanA,判断三角形的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 4.命题方向:正、余弦定理的综合应用 2 2 2 [例 4] △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且 b +c -a +bc=0. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 3,求 bc 的最大值;

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中国领先的个性化教育品牌 (3)求 asin?30° -C? 的值. b-c

c 1 跟踪练习 4:在△ABC 中,A、B、C 所对的边长分别为 a,b,c,设 a,b,c 满足条件 b2+c2-bc=a2 和 = + 3, b 2 求 A 和 tanB 的值.

(五)思想方法点拨
1.在利用正弦定理解决已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形问题时,可能出现一解、两解或无解情况,应 结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况,作出正确取舍. 2. 在判断三角形的形状时, 一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系, 再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、 配方等)求解. 注意等式两边的公因式不要约掉, 要移项提取公因式, 否则会有漏掉一种形状的可能. 3.一般地,由 sinα >sinβ ?/ α >β ,但在△ABC 中,sinA>sinB?A>B. 4.判断三角形形状的方法 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两条途径:(1)化边为角;(2)化角为边.具体有如下四种方法:①通过正弦 定理实施边、角转换;②通过余弦定理实施边、角转换;③通过三角变换找出角之间的关系;④通过三角函数值符号 的判断及正、余弦函数有界性的讨论;⑤b2+c2-a2>0?A 为锐角,b2+c2-a2=0?A 为直角,b2+c2-a2<0?A 为 钝角.

(六)课后强化作业
一、选择题 1.在△ABC 中,AB= 3,A=45°,C=75°,则 BC 等于( A.3- 3 [答案] A [解析] 由 = 得 BC=3- 3. sinC sinA 2.(2008?安徽)在三角形 ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC 的大小为( A. 2π 3 B. 5π 6 3π C. 4 ) D. π 3 ) B. 2 C.2 )

D.3+ 3

AB

BC

b+c 2A 3.在△ABC 中,cos = ,则△ABC 的形状为( 2 2c
A.直角三角形 C.正三角形 [答案] A B.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

b+c 1+cosA b+c 2A [解析] ∵cos = ,∴ = , 2 2c 2 2c
即 cosA= ,又由余弦定理知,

b c

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中国领先的个性化教育品牌 cosA=
2

b +c -a b +c -a b ,∴ = , 2bc 2bc c
2 2

2

2

2

2

2

2

∴a +b =c ,∴△ABC 为直角三角形. 4.(2010?天津理)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a -b = 3bc,sinC=2 3sinB, 则 A=( A.30° ) B.60° C.120° D.150°
2 2 2 2

5.已知△ABC 的三个内角为 A、B、C,所对的三边分别为 a、b、c,若△ABC 的面积为 S=a -(b-c) ,则 tan 等 2 于( A. 1 2 ) B. 1 4 1 C. 8 D.1

A

6.锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,设 B=2A,则 的取值范围是( A.(-2,2) B.(0,2) C.( 2,2) D.( 2, 3)

b a

)

7.已知△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 a=c= 6+ 2且∠A=75°,则 b=( A.2 [答案] A [解析] 考查正弦定理与两角和的正弦公式. sinA=sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+sin45°cos30°= 由 a=c= 6+ 2及 A=75°可知,∠C=75°, 1 所以∠B=30°,sinB= , 2 2+ 6 , 4 B.4+2 3 C.4-2 3 D. 6- 2

)

a 2+ 6 1 由正弦定理得 b= ?sinB= ? =2,故选 A. sinA 2+ 6 2 4
8. 如图所示, 将平面直角坐标系中的纵轴绕点 O 顺时针旋转 30°(坐标轴的长度单位不变)构成一个斜坐标系 xOy, 平面上任一点 P 关于斜坐标系的坐标(x,y)用如下方式定义:过 P 作两坐标轴的平行线分别交坐标轴 Ox 于点 M,Oy 于点 N, 则 M 在 Ox 轴上表示的数为 x, N 在 Oy 轴上表示的数为 y.在斜坐标系中, 若 A, B 两点的坐标分别为(1,2), (- 2,3),则线段 AB 的长为( A. 7 B. 13 ) C. 10 D. 2 2

[分析] 这是一个知识迁移题,在斜坐标系中求线段 AB 的长,根据斜坐标系的定义 不难发现, 可将线段 AB 放在一个三角形中进行求解, 这样就转化为利用正余弦定理解三 角形的问题. [答案] A

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中国领先的个性化教育品牌 [解析] 如图,分别过 A 作 x 轴平行线,过 B 作 y 轴的平行线,设两条平行线交于点 C,根据题意可得,△ABC 中,∠C=60°,AC=3,BC=1,根据余弦定理有 AB =BC +AC -2AC?BC?cosC,解得 AB= 7. [点评] 解决此题的关键是理解题意,根据题中对斜坐标系的定义将求距离问题转化为解三角形问题,这里涉及 知识的迁移能力,这也是近几年高考试题中经常考查的内容,体现了数学知识的灵活应用. 二、填空题 9.(2010?北京理)在△ABC 中,若 b=1,c= 3,∠C= [答案] 1 3 2 sinC 1 [解析] sinB= ?b= ?1= , c 2 3 π π 因此 B= ,A= =B,故 a=b=1. 6 6 10.(2010?山东文)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2,则 角 A 的大小为________. [答案] π 6 2π ,则 a=________. 3
2 2 2

[解析] 本题考查了三角恒等变形,给值求角及正弦定理等知识点,考查学生灵活解三角形的能力,属中档题, π π π π π sinB+cosB= 2? 2sin(B+ )= 2,∴sin(B+ )=1,∴B+ = ,∴B= ,又 a= 2,b=2,由正弦定理: 4 4 4 2 4 2 2 1 π = .解得:sinA= ,又 a<b,∴A<B= , sinA π 2 4 sin 4 π ∴A= 为所求. 6 11.(2011?东营模拟)在△ABC 中,BC=a,AC=b,a、b 是方程 x -2 3x+2=0 的两根,且 2cos(A+B)=1, 则 AB=________. [答案] 10
2

[解析] 设 AB=c,

a+b=2 3, ? ?ab=2, ∵? 1 cos?A+B?= , ? ? 2
又∵cosC=

1 ∴cosC=- . 2

a2+b2-c2 ?a+b?2-2ab-c2 = 2ab 2ab

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中国领先的个性化教育品牌 = 8-c 1 =- , 4 2
2 2

∴c =10,∴c= 10,即 AB= 10. 三、解答题 12.(2010?陕西文)在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. [解析] 本题考查正、余弦定理的应用. 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 cos∠ADC=

AD2+DC2-AC2 100+36-196 1 = =- , 2AD?DC 2?10?6 2

∴∠ADC=120°,∠ADB=60°. 在△ABD 中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理得 = , sin∠ADB sinB 10? 2 2 3 2

AB

AD

∴AB=

AD?sin∠ADB 10sin60° = = sinB sin45°

=5 6.

13.(2010?安徽理)设△ABC 是锐角三角形,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对边长,并且 π π 2 2 sin A=sin( +B)sin( -B)+sin B. 3 3 (1)求角 A 的值; → → (2)若AB?AC=12,a=2 7,求 b,c(其中 b<c). [解析] 本题考查两角和的正弦公式,同角三角函数的基本关系,特殊角的三角函数值,向量的数量积,利用余 弦定理解三角形等有关知识,考查综合运算求解能力. 解题思路是:(1)利用三角恒等变形结合同角三角函数的平方关系式求 sinA 的值,然后确定 A 的值.(2)利用数 量积的定义,余弦定理并结合(1)中的结论再联系韦达定理求解. (1)因为 sin A=( 所以 sinA=±
2

3 1 3 1 3 2 1 3 2 2 2 cosB+ sinB)( cosB- sinB)+sin B= cos B- sin B+sin B= , 2 2 2 2 4 4 4

3 π ,又 A 为锐角,所以 A= .① 2 3

→ → (Ⅱ)由AB?AC=12,可得 cbcosA=12. π 由(Ⅰ)知 A= ,所以 cb=24.② 3 由余弦定理知 a =c +b -2bccosA,将 a=2 7及①代入,得 c +b =52,③ ③+②?2,得(c+b) =100,所以 c+b=10. 因此,c,b 是一元二次方程 t -10t+24=0 的两个根.
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2 2 2 2 2 2 2

中国领先的个性化教育品牌 解此方程并由 c>b 知 c=6,b=4.

A 2 5 → → 14.(2009?浙江理)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos = ,AB?AC=3. 2 5
(1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值. [解析] 本题主要考查正弦、余弦定理、三角公式变换、三角形面积公式及向量运算等基础知识,同时考查运算 求解能力.

A 2 5 (1)因为 cos = , 2 5
3 4 2A 所以 cosA=2cos -1= ,sinA= . 2 5 5 → → 又由AB?AC=3,得 bccosA=3,所以 bc=5. 1 因此 S△ABC= bcsinA=2. 2 (2)由(1)知,bc=5,又 b+c=6, 所以 b=5,c=1 或 b=1,c=5 由余弦定理,得 a =b +c -2bccosA=20, 所以 a=2 5. → → 2 2 2 15.已知△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 3sin B+3sin C-2sinBsinC=3sin A,a= 3,求AB?AC 的最大值. [分析] 所给条件式为角的关系,又均为“二次”式,故化角为边后可利用余弦定理寻求联系求解. [解析] ∵3sin B+3sin C-2sinBsinC=3sin A,由正弦定理得 3b +3c -2bc=3a ,即 3b +3c -3a =2bc,再 由余弦定理得 cosA=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b2+c2-a2 1 = . 2bc 3
2

∵a= 3,∴3b +3c -2bc=9≥6bc-2bc=4bc, 9 ∴bc≤ ,当且仅当 b=c 时等号成立. 4

bc 3 → → ∴AB?AC=c?b?cosA= ≤ , 3 4
3 → → 故AB?AC的最大值为 . 4

第二节
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正弦、余弦定理的应用举例
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(一)高考目标
考纲解读 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 考向预测 1.对解决实际问题的能力及测量问题的考查是高考的重点. 2.在选择、填空、解答中都可能考查,属中档题.

(二)课前自主预习
知识梳理 1.仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线 平视线 叫俯角(如图①).

叫仰角,目标视线在水

2.方位角 指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为α (如图②). 3.方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③) ①北偏东α °:指北方向顺时针旋转α °到达目标方向. ②东北方向:指北偏东 45°或东偏北 45°. ③其他方向角类似. 4.坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ 为坡角). 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i 为坡比).

(三)基础自测
1.若点 A 在点 B 的北偏西 30°,则 B 点在 A 点的(
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)
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中国领先的个性化教育品牌 A.西偏北 30° B.西偏北 60° [答案] C [解析] 由图可知 B 在 A 的南偏东 30°. C.南偏东 30° D.东偏南 30°

2.一人向东走了 xkm 后转向南偏西 60°走了 3km,结果他离出发点恰好 3km,则 x 的值为( A. 3 [答案] C [解析] 如图所示,在△ABC 中,AB=x,BC=3,AC= 3,∠ABC=30°,由余弦定理得, ( 3) =3 +x -2?3?x?cos30°, 即 x -3 3x+6=0,解得 x1= 3,x2=2 3.经检验均合题意.
2 2 2 2

)

B.2 3

C.2 3或 3

D.3

3. (教材改编题)在某次测量中, 在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60°, C 点的俯角为 70°, 则∠BAC=( A.10° B.50° C.120° D.130° [答案] D [解析] 如图,由已知∠BAD=60°,∠CAD=70°, ∴∠BAC=60°+70°=130°. 4.(教材改编题)有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 20°,现高不变,将倾斜角改为 10°,则斜坡长为( ) A.1 B.2sin10° C.2cos10° D.cos20° [答案] C [解析] 如图,∵∠ABC=20°,AB=1,∠ADC=10°, ∴∠ABD=160°.

)

在△ABD 中,由正弦定理 = , sin160° sin10° sin160° sin20° ∴AD=AB? = =2cos10°. sin10° sin10° 5.(2011?南京模拟)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D.测得∠BCD =15°,∠BDC=30°,CD=30m,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°,则塔高 AB=________m.

AD

AB

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[答案] 15 6 [解析] 由已知可得∠DBC=135°, 在△DBC 中,由正弦定理可得 = , sin30° sin135°

BC

CD

CDsin30° 30?sin30° BC= = =15 2,
sin135° sin135° ∴AB=BCtan60°=15 2? 3=15 6. 6.在△ABC 中,已知 AC=3,sinA+cosA= 2. (1)求 sinA 的值; (2)若△ABC 的面积 S=3,求 BC 的值.

? π? [解析] (1)由 sinA+cosA= 2sin?A+ ?= 2得 4? ? ? π? sin?A+ ?=1,由此及 0<A<π , 4? ?
即 π π 5π π π <A+ < ,得 A+ = , 4 4 4 4 2

π 2 故 A= ,sinA= . 4 2 1 3 2 (2)由 S= bcsinA= c=3 得 c=2 2, 2 4 由此及余弦定理得

a2=b2+c2-2bccosA=9+8-2?3?2 2?
故 a= 5,即 BC= 5.

2 =5, 2

(四)典型例题
1.命题方向:测量距离问题 [例 1] 要测量河对岸 A、B 两点之间的距离,选取相距 km 的 C、D 两点,并且测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠

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ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B 之间的距离.

[解析] △ACD 中,∠ACD=120°, ∠CAD=∠ADC=30° ∴AC=CD= 3km

在△BCD 中,∠BCD=45°,∠BDC=75°, ∠CBD=60°,∴BC= 3sin75° 6+ 2 = sin60° 2

在△ABC 中,由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2AC?BC?cos∠ACB=( 3)2+(
∴AB= 5km 答:A、B 之间的距离为 5km.

6+ 2 2 6+ 2 ) -2? 3? cos75°=5 2 2

[点评] 求距离问题要注意: (1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知 量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 跟踪练习 1:(2009?海南 宁夏理)为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,

M,N 在同一个铅垂平面内(如示意图),飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设计一个方案,包括:①指
出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤.

[解析] 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,考查学生分析问题和解决问题的能力. 方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角α 1,β 1;B 点到 M,N 点的俯角α 2,β 2;A,B 的距离 d(如图 所示).
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dsinα2 ②第一步:计算 AM.由正弦定理 AM= ; sin(α1+α2)
dsinβ2 第二步:计算 AN.由正弦定理 AN= ; sin(β2-β1) 第三步:计算 MN,由正弦定理 MN= AM +AN -2MA·ANcos(α1-β1). 方案二:①需要测量的数据有: A 点到 M,N 点的俯角 α1,β1;B 点到 M,N 点的俯角 α2,β2;A,B 的距离 d(如图所示). dsinα1 ②第一步:计算 BM.由正弦定理 BM= ; sin(α1+α2) dsinβ1 第二步:计算 BN.由正弦定理 BN= ; sin(β2-β1) 第三步:计算 MN.由余弦定理 MN= BM +BN +2BM×BNcos(β2+α2).
2 2 2 2

2.命题方向:测量高度问题 [例 2] 某人在塔的正东沿着南 60°的方向前进 40 米以后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为 30°, 求塔高. [分析] 依题意画图,某人在 C 处,AB 为塔高,他沿 CD 前进,CD=40 米,此时∠DBF=45°,从 C 到 D 所测塔 的仰角最大的,只有 B 到 CD 最短时,仰角才最大,这时因为 tan∠AEB= ,AB 为定值,要求出塔高 AB,必须先求

AB BE

BE,而要求 BE,须先求 BD(或 BC).

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[解析] 在△BCD 中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°, 由正弦定理得, = , sin∠DBC sin∠BCD 40sin30° ∴BD= =20 2. sin135° 在 Rt△BED 中, ∠BDE=180°-135°-30°=15°. ∴BE=BDsin15°=20 2? 6- 2 =10( 3-1). 4

CD

BD

在 Rt△ABE 中,∠AEB=30°, 10 ∴AB=BEtan30°= (3- 3)(米). 3 10 故所求的塔高为 (3- 3)米. 3 [点评] 本例中,方向角是属于水平面的角度,而仰角则属于铅垂平面上的角度,因而这里的图形是立体图形.在画 立体图形时,应有立体感,即水平面的图形画成倾斜的,如图所示.这是此题的一个难点. 跟踪练习 2:地平面上一旗杆设为 OP,为测得它的高度 h,在地平面上取一基线 AB,AB=200m,在 A 处测得 P 点的 仰角∠OAP=30°,在 B 处测得 P 点的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,求旗杆的高 h.(结果保留根号) [分析] 依题画图,首先由 Rt△OAP 可求得 OA 与 h 的关系,同理在 Rt△OBP 中,可求得 OB 与 h 的关系,最后由余弦 定理,在△AOB 中,由 AB=200m,从而求得 h.

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[解析] 如图,OP=h,∠OAP=30°,∠OBP=45°,∠AOB=60°,AB=200m,在△AOP 中,∵OP⊥AO, ∴∠AOP=90°,则 OA=OPcot30°= 3h.同理在△BOP 中,∠BOP=90°,且∠OBP=45°,∴OB=OP=h, 在△OAB 中,由余弦定理得

AB2=OA2+OB2-2OA?OBcos∠AOB,
即 200 =3h +h -2 3h cos60° 解得 h= 200 4- 3 . 200 4- 3
2 2 2 2

答:旗杆的高度为

m.

3.命题方向:测量角度问题 [例 3] 沿一条小路前进,从 A 到 B,方位角(从正北方向顺时针转到 AB 方向所成的角)是 50°,距离是 3km,从 B 到 C,方位角是 110°,距离是 3km,从 C 到 D,方位角是 140°,距离是(9+3 3)km.试画出示意图,并计算出从 A 到 D 的方位角和距离(结果保留根号). [分析] 画出示意图,要求 A 到 D 的方位角,需要构造三角形,连接 AC,在△ABC 中,可知∠BAC=30°,用余弦定 理求出 AC,再在△ACD 中,求出 AD 和∠CAD. [解析] 如图,连接 AC,在△ABC 中, ∠ABC=50°+(180°-110°)=120°, 又 AB=BC=3, ∴∠BAC=∠BCA=30°. 由余弦定理可得

AC= AB2+BC2-2AB?BCcos120°=

? 1? 9+9-2?3?3??- ?= 27=3 3(km). ? 2?

在△ACD 中,∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°,

CD=3 3+9.
由余弦定理得 AD= AC +CD -2AC?CDcos120°=
2 2

? 1? 2 27+?3 3+9? -2?3 3??3 3+9???- ? ? 2?
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中国领先的个性化教育品牌 = 9 2+9 6 (km). 2

3 ?3 3+9?? 2 CD?sin∠ACD 2 由正弦定理得 sin∠CAD= = = . AD 2 9 2+9 6 2 ∴∠CAD=45°, 于是 AD 的方位角为 50°+30°+45°=125°, 9 2+9 6 所以,从 A 到 D 的方位角是 125°,距离为 km. 2 [点评] 首先要理解题意,分清已知和未知,画出示意图,据已知条件和求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有 关三角形中,综合利用正、余弦定理有序地解三角形,逐步求解问题的答案. 跟踪练习 3:如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即 前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直 线前往 B 处救援?

[解析] 如图所示,在△ABC 中,AB=20,AC=10,∠BAC=120°,由余弦定理知

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=202+102-2×20×10×?- ?=700.∴BC=10 7, 2
由正弦定理得

? 1? ? ?

AB BC AB 20 21 = ,∴sin∠ACB= ?sin∠BAC= ?sin120°= , sin∠ACB sin∠BAC BC 7 10 7

∴∠ACB≈41°, ∴乙船应沿北偏东 30°+41°=71°的方向沿直线前往 B 处救援.

(五)思想方法点拨
解三角形应用题常见的几种情况 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件 的三角形, 然后逐步求出其他三角形中的解, 有时需设出未知量, 从几个三角形中列出方程, 解方程得出所要求的解.

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(六)课后强化作业
一、选择题 1.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见 一灯塔在船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这只船的速度是每小时( A.5 海里 [答案] C [解析] 依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而 CD=CA=10,在直角三角形 ABC 中,可得 AB=5,于是这只船的速度是 5 =10(海里/小时). 0.5 B.5 3海里 C.10 海里 D.10 3海里 )

2.如图所示,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50m,∠ACB =45°,∠CAB=105°后,就可以计算 A、B 两点的距离为( A.50 2m [答案] A [解析] 由题意知∠ABC=30° 由正弦定理 = sin∠ABC sin∠ACB 2 50? 2 AC?sin∠ACB ∴AB= = =50 2(m). sin∠ABC 1 2 3.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯 塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为( A. 17 6 2 B.34 6 ) 海里/小时 17 2 C. 2 D.34 2 B.50 3m C.25 2m ) D. 25 2 m 2

AC

AB

[答案] A [解析] 如图所示,在△PMN 中, = , sin45° sin120° 68? 3 MN 17 ∴MN= =34 6,∴v= = 6(海里/小时). 4 2 2

PM

MN

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4.为测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼顶 D 处测得塔顶 A 的仰角为 30°,测得塔基 B 的俯角为 45°,那么塔 AB 的高度是( A.20?1+ [答案] A [解析] 如图所示,四边形 CBMD 为正方形,而 CB=20m,所以 BM=20m. 又在 Rt△AMD 中, ) B.20?1+

? ?

3? ?m 3?

? ?

3? ?m 2?

C.20(1+ 3)m

D.30m

DM=20m,∠ADM=30°,
20 ∴AM=DMtan30°= 3(m), 3 20 3? ? ∴AB=AM+MB= 3+20=20?1+ ?m. 3 3? ? 5.如图所示,D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测得 A 点的仰角分别是 β 、α (α <β ),则 点 A 离地面的高 AB 等于( )

A.

asinα sinβ sin?β -α ?

B.

asinα sinβ cos?β -α ?

acosα cosβ C. sin?β -α ?

D.

acosα cosβ cos?β -α ?

[答案] A [解析] 在△ADC 中,∠DAC=β -α , 由正弦定理,

AC
sinα



a asinα ,得 AC= . sin?β -α ? sin?β -α ?

asinα sinβ 在 Rt△ABC 中,AB=AC?sinβ = . sin?β -α ?
6.(2011?潍坊)已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80°处,且 A 到 C 距离为 2km,B 船在灯塔 C 北偏西 40°,AB 两船距 离为 3km,则 B 到 C 的距离为( A. 19km [答案] B [解析] 由条件知,∠ACB=80°+40°=120°,设 BC=xkm,则由余弦定理知 9=x +4-4xcos120°,
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2

) C. 6+1km D. 7km

B. 6-1km

中国领先的个性化教育品牌 ∵x>0,∴x= 6-1. 7.如图,在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15°,向山顶前进 100 米 到达 B 后,又测得 C 对于山坡的斜度为 45°,若 CD=50 米,山坡对于地平面的坡角为 θ ,则 cosθ =( )

A.

3 2

B.2- 3

C. 3-1

D.

2 2

[答案] C [解析] 在△ABC 中,BC= =

ABsin∠BAC sin∠ACB

100sin15° =50( 6- 2), sin?45°-15°?

在△BCD 中,sin∠BDC=

BCsin∠CBD 50? 6- 2?sin45° = = 3-1, CD 50

由图知 cosθ =sin∠ADE=sin∠BDC= 3-1. 8. 空中有一气球, 在它的正西方 A 点测得它的仰角为 45°, 同时在它南偏东 60°的 B 点, 测得它的仰角为 30°, 若 A,B 两点间的距离为 266 米,这两个观测点均离地 1 米,那么测量时气球到地面的距离是( A. 266 7 米 7 B.? )

?266 7 ? +1?米 ? 7 ?

C.266 米

D.266 7米

[答案] B [解析] 如图,D 为气球 C 在过 AB 且与地面平行的平面上的正投影,设 CD=x 米,依题意知:∠CAD=45°,∠

CBD=30°,则 AD=x 米,BD= 3x 米.在△ABD 中,由余弦定理得 AB2=AD2+BD2-2AD?BD?cos∠ADB,即 2662=x2
266 7 ?266 7 ? 2 2 +( 3x) -2x?( 3x)?cos150°=7x ,解得 x= ,故测量时气球到地面的距离是? +1?米,故选 B. 7 ? 7 ?

二、填空题 9. 海上有 A、 B 两个小岛相距 10 海里, 从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角, 从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角, 则 B、C 的距离是________. [答案] 5 6海里
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中国领先的个性化教育品牌 10 BC [解析] 在△ABC 中由正弦定理得 = , sin45° sin60° ∴BC=5 6. 10.我舰在岛 A 南 50°西 12 海里的 B 处,发现敌舰正从岛沿北 10°西的方向以每小 时 10 海里的速度航行,若我舰要用 2 小时追上敌舰,则速度为________. [答案] 14 海里/小时 [解析] 设我舰在 C 处追上敌舰,速度为 V,则在△ABC 中,AC=20,AB=12,∠BAC=120°. ∴BC =784,∴V=14 海里/小时. 11.2009 年 8 月 9 日,莫拉克台风即将登陆福建省霞浦县,如图,位于港口 O 正东方向 20 海里的 B 处的渔船回 港避风时出现故障.位于港口南偏西 30°方向,距港口 10 海里的 C 处的拖轮接到海事部门营救信息后以 30 海里/小 时的速度沿直线 CB 去营救渔船,则拖轮到 B 处需要________小时.
2

[分析] 求解本题的关键是把实际应用问题转化为数学问题,然后再利用余弦定理解决. [答案] 7 3
2 2 2

[解析] 由题易知,∠BOC=120°,因为 BC =OC +OB -2?OC?OB?cos120°=700,所以 BC=10 7,所以拖 10 7 7 轮到达 B 处需要的时间 t= = (小时). 30 3

三、解答题 12. 如图某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75°, 距离为 12 6n mile, 在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30°, 距离为 8 3n mile,货轮由 A 处向正北航行到 D 处时,再看灯塔 B 在南偏东 60°,求: (1)A 处与 D 处的距离; (2)灯塔 C 与 D 处的距离.(结果精确到 1n mile) [解析] (1)在△ABD 中,∠ADB=60°,∠B=45°, 由正弦定理得

AD=

ABsinB = sin∠ADB

12 6? 3 2

2 2

=24(n mile).

(2)在△ADC 中,由余弦定理得

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CD =AD +AC -2AD?ACcos30°,
解得 CD=8 3≈14(n mile). 即 A 处与 D 处的距离为 24n mile,灯塔 C 与 D 处的距离约为 14n mile. 13.某海域内一观测站 A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 50°且与 A 相距 80 海里的位置

2

2

2

B,经过 1 小时又测得该船已行驶到点 A 北偏东 50°+θ (其中 sinθ =
置 C. (1)求该船的行驶速度;

15 ,0°<θ <90°)且与 A 相距 60 海里的位 8

(2)若该船不改变航行方向继续向前行驶,求船在行驶过程中离观测站 A 的最近距离. [解析] (1)如图,AB=80,AC=60,∠BAC=θ ,sinθ = 15 . 8

由于 0°<θ <90°,所以 cosθ =
2 2

1-?

? 15?2 7 ?= . ? 8 ? 8

由余弦定理得 BC= AB +AC -2AB?ACcosθ =40, 所以船的行驶速度为 40 海里/小时. (2)在△ABC 中,由正弦定理得 = , sin∠BAC sin∠ABC 15 8 AC?sin∠BAC 3 15 ∴sin∠ABC= =60? = , BC 40 16 自 A 作 BC 的垂线,交 BC 的延长线于 D,则 AD 的长是船离观测站的最近距离. 3 15 在 Rt△ABD 中,AD=ABsin∠ABD=80? =15 15(海里), 16 ∴船在行驶过程中离观测站 A 最近距离为 15 15海里. 14. (2010?陕西理)如图 A, B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点, 现位于 A 点北偏东 45°,

BC

AC

B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号, 位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即
前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

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中国领先的个性化教育品牌 [解析] 本题考查正余弦定理在实际问题中的应用,本题要结合图像确定恰当三角形进行边角的求解,求解过程 中三角函数的变形,转化是易错点,注意运算的准确性. 由题意知 AB=5(3+ 3)海里, ∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°,∴∠ADB=105° 在△DAB 中,由正弦定理得, = sin∠DAB sin∠ADB ∴DB= =

DB

AB

AB?sin∠DAB 5?3+ 3??sin45° = sin∠ADB sin105°

5?3+ 3??sin45° 5 3? 3+1? = =10 3(海里). sin45°?cos60°+sin60°?cos45° 3+1 2

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,

BC=20 3(海里),
在△DBC 中,由余弦定理得

CD2=BD2+BC2-2BD?BC?cos∠DBC=300+1200-2?10 3?20 3? =900,
∴CD=30(海里), 30 则需要的时间 t= =1(小时). 30 答:救援船到达 D 点需要 1 小时. 点评:(1)解决实际应用问题,要过好语言关,图形关和数理关,考生在平时训练中要注意加强. (2)本题若认定△DBC 为直角三角形,由勾股定理正确求得 CD,同样可以. 15.(2010?福建文)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港 口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小里的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船 沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值. (3)是否存在 v,使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试 确定 v 的取值范围;若不存在,请说明理由. [解析] 本小题主要考查解三角形,二次函数等基础知识,考查推理论证能力,抽象概括能力,运算求解能力, 应用意识,考查函数与方程思想,数形结合思想,化归与转化思想. (1)设相遇时小艇的航行距离为 S 海里,则

1 2

S= 900t2+400-2?30t?20?cos?90°-30°?= 900t2-600t+400=

1 2 900?t- ? +300 3

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中国领先的个性化教育品牌 1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,v= =30 3. 3 1 3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇.

由题意可得:(vt) =20 +(30t) -2?20?30t?cos(90°-30°) 400 600 1 3 2 2 化简得:v = 2 - +900=400( - ) +675 t t t 4 1 1 1 由 0<t≤ ,即 ≥2,所以当 =2 时,vmin=10 13. 2 t t 即小艇航行速度的最小值为 10 13海里/小时. 400 600 1 2 (3)由(2)知 v = 2 - +900,设 =u(u>0),

2

2

2

t

t

t

于是 400u -600u+900-v =0(*) 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程(*)应有两个不等正根,即:
? ?600 -1600??900-v ?>0 ? 2 ?900-v >0 ?
2 2

2

2

解得 15 3<v<30. 所以 v 的取值范围是(15 3,30).

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