高中数学第一讲不等式和绝对值不等式第2节第2课时绝对值不等式的解法创新应用课件新人教A版选修4_5_图文

第2课时 绝对值不等式的解法 [核心必知] 1.含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解法 不等式 a>0 a=0 ? {x∈R|x≠0} a<0 ? R |x|<a {x|-a<x<a} |x|>a {x|x>a 或 x< -a} 2. |ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解 法 (1)|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; (2)|ax+b|≥c? ax+b≥c 或 ax+b≤-c . 3. |x-a|+|x-b|≥c 和|x-a|+|x-b|≤c 型不等式的 解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解. (2)以绝对值的零点为分界点, 将数轴分为几个区间, 利用“零点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定 各个绝对值符号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符 号是解题关键. (3)构造函数,结合函数的图象求解. [问题思考] 1.|x|以及|x-a|± |x-b|表示的几何意义是什么? 提示:|x|的几何意义是数轴上表示数 x 的点到原 点 O 的距离; |x-a|±|x-b|的几何意义是数轴上表示数 x 的点 与表示数 a,b 的点的距离之和(差). 2.如何解|x-a|<|x-b|、|x-a|>|x-b|(a≠b)型的 不等式的解集? 提示:可通过两边平方去绝对值符号的方法求解. 解下列不等式:(1)1<|x-2|≤3; (2)|2x+5|>7+x; 1 1 (3) 2 ≤ . x -2 |x| [ 精讲详析 ] 本题考查较简单的绝对值不等式的解 法.解答本题(1)可利用公式转化为 |ax+b|>c(c>0)或|ax+ b|<c(c>0)型不等式后逐一求解,也可利用绝对值的定义分 两种情况去掉绝对值符号, 还可用平方法转化为不含绝对值 的不等式. (2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式. (3)可分类讨论去掉分母和绝对值. (1)法一:原不等式等价于不等式组 ? ?|x-2|>1, ? ? ?|x-2|≤3, ? ?x<1或x>3, 即? ? ?-1≤x≤5, 解得-1≤x<1 或 3<x≤5, 所以原不等式的解集为{x|-1≤x<1 或 3<x≤5}. 法二:原不等式可转化为: ? ? ?x-2≥0, ?x-2<0, ? ①? 或② ? ? ?1<x-2≤3, ?1<-(x-2)≤3, 由①得 3<x≤5,由②得-1≤x<1, 所以原不等式的解集是{x|-1≤x<1 或 3<x≤5}. 法三:原不等式的解集就是 1<(x-2)2≤9 的解集, 2 ? ? ( x - 2 ) ≤9, ? ?-1≤x≤5, ? 即? 解得 2 ? ? ?(x-2) >1, ?x<1或x>3, ∴-1≤x<1 或 3<x≤5. ∴原不等式的解集是{x|-1≤x<1 或 3<x≤5}. (2)由不等式|2x+5|>7+x, 可得 2x+5>7+x 或 2x+5<-(7+x), 整理得 x>2 或 x<-4. ∴原不等式的解集是{x|x<-4 或 x>2}. (3)①当 x2-2<0 且 x≠0,即当- 2<x< 2, 且 x≠0 时,原不等式显然成立. ②当 x -2>0 2 ? ?|x|> 2, 时,原不等式与不等式组? 2 ? x ? -2≥|x| 等价,x2-2≥|x|,即|x|2-|x|-2≥0, ∴|x|≥2,∴不等式组的解为|x|≥2, 即 x≤-2 或 x≥2. ∴原不等式的解集为 (-∞,-2]∪(- 2,0)∪(0, 2)∪[2,+∞). 绝对值不等式的常见类型及其解法: (1)形如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a∈R)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法,即 ①当 a>0 时,|f(x)|<a?-a<f(x)<a. |f(x)|>a?f(x)>a 或 f(x)<-a; ②当 a=0 时,|f(x)|<a 无解. |f(x)|>a?f(x)≠0; ③当 a<0 时,|f(x)|<a 无解. |f(x)|>a?f(x)有意义. (2)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式 此类问题的简单解法是利用平方法,即 |f(x)|<|g(x)|?[f(x)]2<[g(x)]2 ?[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]<0. (3)形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法,即 ①|f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x), ②|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或 f(x)<-g(x)(其中 g(x) 可正也可负). 若此类问题用分类讨论法来解决, 就显得较复杂. (4)形如 a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式 此类问题的简单解法是利用等价命题法,即 a<|f(x)|<b(0<a<b) ?a<f(x)<b 或-b<f(x)<-a. (5)形如|f(x)|<f(x),|f(x)|>f(x)型不等式 此类问题的简单解法是利用绝对值的定义,即 |f(x)|>f(x)?f(x)<0, |f(x)|<f(x)?f(x)∈?. 1.(江苏高考)解不等式 x+|2x-1|<3. ? ?2x-1≥0, 解:原不等式可化为? ? ?x+(2x-1)<3, ? ?2x-1<0, 1 4 1 ? 或? 解得 ≤x< 或-2<x< . 2 3 2 x -( 2 x - 1 )< 3. ? ? ? 4? ? ? 所以原不等式的解集是?x|-2<x<3? . ? ? ? 解不等式|x+1|+|x-1|≥3. [精讲详析] 解答本题,可以采用零点分段法求解,也可 以转化为分段函数,借助函数图象求解. 法一:当 x≤-1 时,原不等式可以化为 -(x+1)-(x-1)≥3, 3 解得:x≤- . 2 当-1<x<1 时,原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3,即 2≥3.不成立,无解. 当 x≥1 时,原不等式可以化为 3

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