汕头市澄海凤翔中学2015届高三上学期第二次阶段考试(理数)

汕头市澄海凤翔中学 2015 届高三上学期第二次阶段考试 数 学(理科)
注意:本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.答案应填(涂)在答题卷相应的位置上,否则 无效.考试结束后,试卷自己带回保存,只交答题卷. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的.)
2 1、若复数 z ? m ? 2m ? 3 ? ? m ? 1? i 是纯虚数( i 是虚数单位) ,则实数 m ? (

?

?



A. ? 3

B. 3

2、已知集合 ? ? ?1, 2? , ? ? 1, a A. 2 B. 2

?

2

? ,若 ?

C. 1

D. 1 或 ? 3 ) D. ? 2

? ? ? ,则实数 a ? (
C. ? 2

3、图 1 分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差 分布的正态分布密度曲线,则下列说法不正确的是 ( ) A.三种品牌的手表日走时误差的均值相等 B. 三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次 为甲、乙、丙 C. 三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次 为甲、乙、丙 D.三种品牌手表中甲品牌的质量最好 4、若如图 2 所示的程序框图输出的 S 是 31 ,则在判断框中 ? 表示的“条件”应该是( ) A. n ? 3 ? C. n ? 5 ? B. n ? 4 ? D. n ? 6 ?

5 、已知向量 a ? ?1, 2? , b ? ? x, y ? ,则 “ x ? ?4 且 y ? 2 ”是 “ a ? b ”的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6、已知某几何体的三视图(单位: cm )如图 3 所示,则该几 何体的体积是( )

20 5 cm3 3 3 C. 40 cm
A.

B. 30 cm

3

D. 42 cm

3

7 、 已 知 实 数 a ? 0 , 函 数 f ? x? ? ?

? ?2 x ? a ? x ? 1? ,若 ? x ? 2 a x ? 1 ? ? ? ?
3 4 3 4

f ?1 ? a ? ? f ?1 ? a ? ,则 a 的值是(
A. ?

) C. ? D.

3 5

B.

3 5

1

8、若 ? 是一个集合,? 是一个以 ? 的某些子集为元素的集合,且满足:① ? 属于 ? ,? 属 于 ? ;② ? 中任意多个元素的并集属于 ? ;③ ? 中任意多个元素的交集属于 ? .则称 ? 是集 合 ? 上的一个拓扑.已知集合 ? ? ?a, b, c? ,对于下面给出的四个集合 ? :

? ? ③ ? ? ??,?a? ,?a, b? ,?a, c??
① ? ? ?,?a? ,?c?,?a, b, c?

② ? ? ?,?b? ,?c? ,?b, c? , ?a, b, c?

? ? ④ ? ? ??, ?a, c? ,?b, c? , ?c? , ?a, b, c??
) C.②③ D.②④

其中是集合 ? 上的拓扑的集合 ? 的序号是( A.① B.②

二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一)必做题(9~13 题) 9、已知等比数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 4 , a2 ? a3 ? 8 ,则 a5 ? __________. 10、不等式 x ? 3 ? 2x ? 0 的解集是 11、若双曲线 .

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是 y ? ?2 x ,则双曲线的离心率等于________. a 2 b2
12

1 ? ? 3 12、在 ? x ? ? 的展开式中, x 的系数是___________. 3x ? ? 13、直角坐标系 x?y 中,已知两定点 ? ?1,0 ? , ? ?1,1? .动点 ? ? x, y ? 满足
?0 ? ?? ? ?? ? 2 ? ,则点 ? ? x ? y, x ? y ? 构成的区域的面积等于__________. ? 0 ? ?? ? ?? ? 1 ? ?
(二)选做题:(第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题.) 14、 (坐标系与参数方程选做题) 已知 C 的参数方程为 ?

? x ? 3cos t C 在点 ? 0,3? ( t 为参数) , ? y ? 3sin t

处的切线为 l ,若以直角坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极 坐标方程是 . 15、 (几何证明选讲选做题)如图 4 ,在 ??? C 中, ?? ? ?C ,圆 ? 是 ??? C 的外接圆,过点 C 的切线交 ?? 的延长线于点 D ,?D ? 4 ,

CD ? 2 7 ,则 ? C 的长等于



2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程. ) 16、 (本小题满分 12 分)设向量 a ?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sin x ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

?1? 若 a ? b ,求 x 的值; ? 2 ? 设函数 f ? x ? ? a ? b ,求 f ? x ? 的最大值.

3

17、 (本小题满分 12 分)为了参加 2014 年市级高中篮球比赛,该市的某区决定从四所高中 学校选出 12 人组成男子篮球队代表所在区参赛,队员来源人数如下表: 学校 学校甲 学校乙 学校丙 学校丁 人数 4 4 2 2 该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言.

?1? 求这两名队员来自同一学校的概率; ? 2 ? 设选出的两名队员中来自学校甲的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 ?? .

4

18、 (本小题满分 14 分)在三棱锥 ? ? ?? C 中,侧棱长均为 4 ,底边 ?C ? 4 , ?? ? 2 ,

?C ? 2 3 , D 、 ? 分别为 ? C 、 ? C 的中点. ?1? 求证:平面 ??C ? 平面 ?? C ;

? 2 ? 求三棱锥 ? ? ??C 的体积; ? 3? 求二面角 C ? ?D ? ? 的余弦值.

5

19、 (本小题满分 14 分)若正数项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,首项 a1 ? 1 , 点?

?

Sn , Sn ?1 在曲线 y ? ? x ? 1? 上.
2

?

?1? 求 a2 , a3 ; ? 2 ? 求数列 ?an ? 的通项公式;
? 3? 设 bn ?
值范围.

1 , ?n 表示数列 ?bn ? 的前 n 项和,若 ?n ? a 恒成立,求 ?n 及实数 a 的取 an an?1

6

20、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ?1 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F 1 ? ?1,0 ? 、 a 2 b2

? 3? F2 ?1,0? ,且经过定点 ? ?1, ? , ? ? x0 , y0 ? 为椭圆 C 上的动点,以点 ? 为圆心, ?F2 为 ? 2? 半径作圆 ? . ?1? 求椭圆 C 的方程;

? 2 ? 若圆 ? 与 y 轴有两个不同交点,求点 ? 横坐标 x0 的取值范围; ? 3? 是否存在定圆 ? ,使得圆 ? 与圆 ? 恒相切?若存在,求出定圆 ? 的方程;若不存在,
请说明理由.

7

21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ?

?1? 当 a ? 2 时,比较 f ? x ? 与1 的大小;
9

a ? ln x ( a ? R ) . x ?1

? 2 ? 当 a ? 2 时,如果函数 g ? x? ? f ? x? ? k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围;

? 3? 求证:对于一切正整数 n ,都有 ln ? n ? 1? ? 3 ? 5 ? 7 ? ??? ? 2n ? 1 .

1

1

1

1

8

参考答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 D

二、填空题 (一)必做题 9、

64 3

10、 ? ?3,1?

11、 5

12、

22 3

13、 4

(二)选做题 14、 ? sin ? ? 3 三、解答题 16、解: ?1? 由 a ? ( 3 sin x) ? (sin x) ? 2 sin x …………………………1 分
2 2 2

15、

3 7 2

b ? (cos x)2 ? (sin x)2 ? 1 …………………………2 分
及 a ? b ,得 sin x ?
2

1 . 4

1 ? ?? sin x ? ,从而 …………………………4 分 2 ? 2? ? ? 所以 x ? …………………………6 分 6 3 1 1 ? 2 ? f ( x) ? a ? b ? 3 sin x ? cos x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 1 ? sin(2 x ? ) ? …………………………9 分 6 2 ? ? ? 5? ? ? ?? 当 x ? ?0, ? 时, 2 x ? ? ? ? , 6 ? 6 6 ? ? 2? ? ? ? ? ? 所以当 2 x ? ? , 即x ? 时, sin(2 x ? ) 取得最大值 1…………………………11 分 6 2 3 6 3 所以 f ( x) 的最大值为 …………………………12 分 2 17 、解: ?1? “ 从这 12 名队员中随机选出两名,两人来自于同一学校 ” 记作事件 A ,则
又 x ? ?0,

P( A) ?

2 2 2 2 C4 ? C4 ? C2 ? C2 7 ? .…………………………………………5 分 2 33 C12

? 2 ? ? 的所有可能取值为 0,1, 2 ………………………………………………6 分
则 P (? ? 0) ?
0 2 1 1 2 0 C4 C8 14 C4 C8 16 C4 C8 1 ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? ………9 分 , , 2 2 2 33 33 11 C12 C12 C12

∴ ? 的分布列为:

?

0
9

1

2

P

14 33

16 33

1 11

……………………………………………………………………………10 分 ∴ E? ? 0 ?

14 16 1 2 ……………………………………………12 分 ? 1? ? 2 ? ? 33 33 11 3
PA ? PB ? PC ? AC ? 4

18、 ?1? 证明:

取 AC 的中点 O ,连接 ?? , ?? ,易得: OP ? AC ………………………1 分

OP ? PC2 ? OC 2 ? 42 ? 22 ? 2 3
? AC ? 4, AB ? 2, BC ? 2 3 ,
? AC 2 ? AB2 ? BC 2 ,? ?ABC为Rt?, ………………………2 分 ?OB ? OC ? 2, PB2 ? OB2 ? OP2

P

? ?? ? ?? ………………………3 分
又? AC ? BO ? O且AC、OB ? 面ABC

A

O

C

? OP ? 平面 ABC ,又? OP ? 平面PAC

B

? 平面PAC ? 平面ABC ………………………5 分

? 2 ? 解 : VP? ABC ? 3 OP ? 2 AB ? BC ? 3 ? 2


1

1

1

1 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 4 ………………………7 2

? 3? 方法一:过点 E

作 EH ? AC 于 H,过点 H 作 HM ? AD 于

M,连接 ME 因为平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC ? 平面 ABC = AC ,

EH ? AC , EH ? 平面 ABC ,所以 EH ? 平面 PAC , ? ME ? AD ? ?EMH 即为所求的二面角的平面角………………10 分

? E , D 分别为中点, EH ? AC

? 在 RT ?HEC 中, HC ? EC cos 30 0 ?
EH ? EC sin 300 ?
? AH ? 4 ? HC ? 5 2
0

3 2

3 ………………………11 分 2

在 RT ?HMA 中, MH ? AH sin 30 ?

5 ………………………12 分 4
10

所以, RT ?HME 中, ME ?

HE 2 ? HM 2 ?

3 25 37 ? ? 4 16 4

MH 所以 cos?EMH ? ? ME

5 4 ? 5 37 ………………………14 分 37 37 4

方法二:以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系

O(0,0,0) , A(0,?2,0) , B( 3,?1,0) , C (0,2,0) , D(0,1, 3) , E (

3 1 , ,0) , P(0,0,2 3) , 2 2

??? ? (

3 5 , , 0) , ?D ? (0,3, 3) ………………………9 分 2 2

所以,可以设平面 AED 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z) , 平面 ACD 的一个法向量为 n 2 ? (1,0,0) ………………………10 分

? 3 5 x? y ?0 3 3 ?n1 ? AE ? ,所以令 x ? 1 ,则 y ? ? ,z ? 2 2 ? 5 5 ?n ? AD ? 3 y ? 3 z ? 0 ? 1
所以 n1 ? (1, ?

3 2 , ) ,可以设所求的二面角为 ? ,显然 ? 为锐角…………………11 分 5 5

由 n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? cos ? n1 , n2 ? ,可得:………………………12 分

cos ? ? cos ? n1 , n2 ? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

(1, ?

3 2 , ) ? (1, 0, 0) 5 37 5 5 …………………14 分 ? 37 3 9 1? ? 25 25
2

19、解: ?1?

点?

?

Sn , Sn ?1 在曲线 y ? ? x ? 1? 上

?

? Sn?1 ?

?

Sn ? 1 …………………1 分

?

2

?a ? a ? a ? 1 2 1 ? 1 2 分别取 n ? 1 和 n ? 2 ,得: ? ?a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a2 ? 1 ?

?

?

?

?

2

由 a1 ? 1 解得 a2 ? 3 , a3 ? 5 …………………4 分

? 2 ? 由 Sn?1 ? ?

Sn ? 1 得: Sn?1 ? Sn ? 1
11

?

2

?数列 ? S n ? 是以 S1 ? 1 为首项,1 为公差的等差数列 ? Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n
即 Sn ? n2 …………………6 分
2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 2

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 12 ? 1,满足上式

?数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 2n ? 1…………………8 分
bn ? 1 1 ? an an?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?

? bn ? 0 ? ?n ?
1 1 1 ? ? ?????? ? 1? 3 3 ? 5 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?

1? 1 1 1 1 1? ? ?1 ? ? ? ? ?????? ? ? ? 2? 3 3 5 n2? 1 n ? 2 ? 1
1? 1 ? n 1 ? ?1 ? ? …………………10 分 ?? 2? 2n ? 1 n 2? 1 2 ? 1 ? n
显然 ?n 是关于 n 的增函数

? ?n 有最小值 ?1 ?
?n ? a 恒成立

1 ? …………………12 分 1 3 2? 1

1

?a ?

1 …………………13 分 3

? a 的取值范围是 ?a a ? ? …………………14 分
?
20、解: ?1? 由椭圆定义得 PF 1 ? PF 2 ? 2a ,……………………………………… 1 分 即 2a ?

?

1? 3?

3? 2 ?1 ? 1? ? ? ? ? ? ?2?

2

3? 5 3 2 ?1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 4 , ……………………… 2 分 2 2 ?2?

2

2 2 2 ∴ a ? 2 ,又 c ? 1 , ∴ b ? a ? c ? 3 .……………………………………… 3 分

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 …………………………………………………4 分 4 3
12

? 2 ? 圆心 M ( x0 , y0 ) 到 y 轴距离 d ?

x0 ,圆 M 的半径 r ?

? x0 ?1?
2

2

2 , ? y0

若圆 M 与 y 轴有两个不同交点,则有 r ? d ,即

? x0 ?1?

2 ? y0 ? x0 ,

2 化简得 y0 ? 2x0 ? 1 ? 0 .…………………… …………………………… 6 分

3 2 x0 ,代入以上不等式得: 4 4 2 3x0 ? 8x0 ?16 ? 0 ,解得: ?4 ? x0 ? . ……………………………………… 8 分 3 4 4 又 ?2 ? x0 ? 2 ,∴ ?2 ? x0 ? ,即点 M 横坐标的取值范围是 [ ?2, ) . ……9 分 3 3
点 M 在椭圆 C 上,∴ y0 ? 3 ?
2

? 3? 存在定圆 N : ? x ? 1?

2

? y 2 ? 16 与圆 M 恒相切, 其中定圆 N 的圆心为椭圆的左焦点 F 1,

半径为椭圆 C 的长轴长 4. ……………………12 分 ∵由椭圆定义知, MF 1 ? MF 2 ? 2a ? 4 ,即 MF 1 ? 4 ? MF 2 , ∴圆 N 与圆 M 恒内切. …………………………………………………………… 14 分 21、 ?1? 解:当 a ? 2 时, f ( x) ? 因为 f ?( x) ?

2 ? ln x ,其定义域为 (0,??) …………………1 分 x ?1

?2 1 x2 ?1 ? ? ?0 ( x ? 1) 2 x x( x ? 1) 2

所以 f ( x) 在 (0,??) 上是增函数…………………………3 分 故当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1 ;当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1 ; 当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1…………………………4 分

? 2 ? 解:当 a ? 2 时, f ( x) ?
f ?( x) ?

9

9 ? ln x ,其定义域为 (0,??) 2( x ? 1)

?9 1 (2 x ? 1)(x ? 2) ? ? 2 x 2( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

1 , x2 ? 2 …………………………6 分 2 1 1 因为当 0 ? x ? 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 2 2 1 1 所以函数 f ( x) 在 (0, ) 上递增,在 ( ,2) 上递减,在 (2,??) 上递增 2 2 1 3 且 f ( x) 的极大值为 f ( ) ? 3 ? ln 2 ,极小值为 f (2) ? ? ln 2 ………………………7 分 2 2
令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 又当 x ? 0 时, f ( x) ? ?? ;当 x ? ?? 时, f ( x) ? ??
13
?

因为函数 g ( x) ? f ( x) ? k 仅有一个零点 所以函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? k 仅有一个交点 所以 k ? 3 ? ln 2 或 k ?

3 ? ln 2 …………………………9 分 2

? 3? 方法一:根据 ?1? 的结论知:当 x ? 1 时, f ( x) ? 1
2 x ?1 ? ln x ? 1,即 ln x ? …………………………12 分 x ?1 x ?1 k ?1 k ?1 1 ? 令x ? ,则有 ln k k 2k ? 1 2 2 3 1 4 1 n ?1 1 ? 从而得 ln ? , ln ? , ln ? , ? , ln …………………………13 分 1 3 2 5 3 7 n 2n ? 1 2 3 4 n ?1 1 1 1 1 ? ? ? ??? 故得 ln ? ln ? ln ? ? ? ln 1 2 3 n 3 5 7 2n ? 1 2 3 4 n ?1 1 1 1 1 ) ? ? ? ??? 即 ln( ? ? ? ? ? 1 2 3 n 3 5 7 2n ? 1 1 1 1 1 所以 ln( n ? 1) ? ? ? ? ? ? …………………………14 分 3 5 7 2n ? 1 1 ? 3? 方法二:用数学归纳法证明:①当 n ? 1 时,不等式左边 ? ln 2 ,右边 ? 3 1 因为 3 ln 2 ? ln 8 ? 1 ,所以 ln 2 ? ,即 n ? 1 时,不等式成立……………………10 分 3 1 1 1 1 ? ②假设当 n ? k (k ? N ) 时,不等式成立,即 ln( k ? 1) ? ? ? ? ? ? 3 5 7 2k ? 1 k?2 k?2 ] ? ln( k ? 1) ? ln 那么,当 n ? k ? 1 时, ln( n ? 1) ? ln( k ? 2) ? ln[( k ? 1) ? k ?1 k ?1 1 1 1 1 k?2 ? ( ? ? ??? ) ? ln ……………11 分 3 5 7 2k ? 1 k ?1 2 x ?1 ? 1,即 ln x ? 由 ?1? 的结论知,当 x ? 1 时, ln x ? x ?1 x ?1 k ?2 ?1 2k ? 1 k ? 1 1 所以 ln …………………………12 分 ? ? 2k ? 1 k ? 2 2k ? 3 ?1 k ?1
即当 x ? 1 时, 即 ln(k ? 2) ?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 3 5 7 2k ? 1 2(k ? 1) ? 1
1 1 1 1 ? ? ??? …………14 分 3 5 7 2n ? 1

即当 n ? k ? 1 时,不等式也成立…………………………13 分 综合①②知,对于一切正整数 n ,都有 ln( n ? 1) ?

14


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