高中数学课件 2.1.1平面的基本性质l1_图文

空间的点、直线、平面 之间的位置关系

2.1平面的基本性质

1.平面
概念:平面是无限延展的. 平面表示方法:通常用平行四边形来表示平面. 符号表示:(1) 一般用希腊字母 ? , ? , ? 等 来表示,前面加“平面”二字,如:平面 ? , (2)可用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来 表示,如:平面AC. (3)可用表示平行四边形的四个字母来表示,

如:

?

?
平面?
D A B C

平面?

平面ABCD 平面BD 平面AC

点与直线的位置关系
B?

A?

a

点A 在直线 a 上,记作:A ? a

B 点B不在直线 a 上,记作: ? a

点与平面的位置关系

A 点A 在平面内,记作: ??
点B 在平面外,记作: ?? B

直线与平面的位置关系
l
b

?

a

a 直线a 在平面 ? 内,记作: ? ?
直线 直线

b b 不在平面? 内,记作: ? ? l l 不在平面? 内,记作: ? ?

2.平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在这个平面内. 数学语言: 1、文字语言 2、图形语言 3、符号语言

A ? l , B ? l , A ?? , B ?? ? l ? ?

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在这个平面内.

(两点确定一条直线)

应用:
1、判断直线是否在平面内的依据。

2、检验一个面是否是平面。

公理2 过不在一条直线上的三点,有且只 有一个平面

A, B, C不共线 ? A, B, C确定一平面
过A、B、C 三点的平面可记作“平面ABC ”.

(不共线的三点确定一个平面) “有”——存在性

这是确定平面的依据之一

“只有”——唯一性

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

P ? ? ? ? ? ? ? ?? l且P ? l ?
注意: 1.以后说到两个平面,如不特 别说明都是指两个不重合的平 面。

2.这是判定两平面相交以及 它们的交点共线的依据。
两个不重合的平面,只要它们有公共点,
叫做这两个平面的交线。

它们 就是相交的位置关系,交集是一条直线,

表示两平面相交的画法

画两平面相交,当其中一个平面被另一个平面遮住时, 应把被遮住的部分画成虚线或不画。

1.正方体的各顶点如图所示,正方体的三个面所在 平面 A1C1 , A1B, B1C ,分别记作 ?、?、? , 试用适当的符号填空.
(1) A1 _______? , B1 _______?

(2) B1 _______? , C1 _______?
(3) A1 _______? , D1 _______?

(4)? _______? ? A1B1

? _______? ? BB1
(5) A1B1 ________? , BB1 ________?

A1B1 ________?

2.观察下面图形,说明它们摆放位置的不同.

3.根据下列符号表示的语句,说出有关点、 线、面的关系,并画出图形.

(1) A ?? , B ??
(2)l ? ? , m ? ?

(3)? ? ? ? l (4) P ? l , P ?? , Q ? l , Q ??

4.根据下列文字表示的语句,给出它们的符号 表示,并画出图形.

(1)点A在直线a上, a在平面?内;
(2)平面?过直线b及b外一点M, 点N在平面?外,直线c过点M、N

(3)平面?过平行直线m与l, 平面?过直线l和平面?外一点P

P48练习

思考题
正方体中,试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平 面截得正方体的截面形状.

作业

画图必须用直尺或三角板

平 面的性质
推论1
A
?

?

过一条直线和直线外的一点 有且只有一个平面
即:一条直线和直线外的一点 确定一个平面

?

?

l

B

?

C

分存在性和唯一性两部分证明

过一条直线和直线外的一点 推论1 有且只有一个平面 A ? l ? 有且只有一平面? , 使A ?? , l ? ?
?
?

由公理3,经过不共线的三点A,B,C有一个平面 ? . 因为B、C在平面 ? 内,所以根据公理1,直线l 在平面 ? 内,即 ? 是经过直线l和点A的平面. (唯一性)因为B、C在直线l上,所以任何经过l和点A的平面 一定经过A,B,C .
于是根据公理3,经过不共线的三点A,B,C的平面只有一个 所以经过l和点A的平面只有一个.

?

l

A
?

B

?

C

证: (存在性) 在l上任取两点B、C,则A,B,C不共线;

平面的性质
推论2
?

过两条相交直线 有且只有一个平面
即:两条相交直线确定一个平面

a

?

?

b

B
A
?

C

?

平面的性质
推论3
A B
?

?

过两条平行直线 有且只有一个平面
即:两平行直线确定一个平面

?

a b

?

C

?

练习
l 1.已知直线 a, b 相交,且 l ? a ? A, ? b ? B,

b l 求证: a 、 、 三线共面.
2.三条直线相交于一点,过每两条相交直线作一个平面. 最少可以作几个平面?最多可以作几个平面? 若三条直线相交于三点呢?


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