最新高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理课堂探究

世宗即位 ,命以 右都御 史总督 两广军 务。广 西上思 州贼黄 缪纠峒 兵劫州 县,巅 讨擒之 。广东 新宁、 恩平贼 蔡猛三 等剽掠 ,众至 数万。 巅合兵 三万余 人击新 宁诸贼 ,破巢 二百, 擒斩一 万四千 余人, 俘贼属 五千九 百余人 。 最新高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理课 堂探究 课堂探究 探究一求线段的长 求圆中线段长时,常先利用圆周角定理及其推论得到相似三角 形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长. 【典型例题 1】如图,△ABC 的三个顶点都在⊙O 上,∠BAC 的平 分线与 BC 边和⊙O 分别交于点 D,E. (1)指出图中相似的三角形,并说明理由; (2)若 EC=4,DE=2,求 AD 的长. 解:(1)∵AE 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠EAC. 又∵∠B=∠E, ∴△ABD∽△AEC. ∵∠B=∠E,∠BAE=∠BCE, ∴△ABD∽△CED,△AEC∽△CED. (2)∵△CED∽△AEC, ∴=. ∴CE2=ED·AE, ∴16=2AE,∴AE=8. ∴AD=AE-DE=6. 点评 (1)本题证三角形相似,要用三角形相似的判定定理,而 其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出;(2)要求线段长度,先 嵿遣将出 海擒之 ,获其 二舟, 贼乃遁 。寻召 掌南京 都察院 事,就 改工部 尚书。 嘉靖六 年大计 京官, 拾遗被 劾,致 仕 1/3 世宗即位 ,命以 右都御 史总督 两广军 务。广 西上思 州贼黄 缪纠峒 兵劫州 县,巅 讨擒之 。广东 新宁、 恩平贼 蔡猛三 等剽掠 ,众至 数万。 巅合兵 三万余 人击新 宁诸贼 ,破巢 二百, 擒斩一 万四千 余人, 俘贼属 五千九 百余人 。 由三角形相似得线段成比例,然后再求其长度. 探究二证明线段相等 有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化,即欲证圆 周角相等,可转化为证明它们所对的弧相等,这是证明圆中线段相等 的常见策略. 【典型例题 2】如图,BC 为圆 O 的直径,AD⊥BC,=,BF 和 AD 相交于 E,求证:AE=BE. AF AB 思路分析:要证 AE=BE,只需在△ABE 中证明∠ABE=∠EAB,而 要证这两个角相等,只需借助∠ACB 即可. 证明:∵BC 是⊙O 的直径, ∴∠BAC 为直角. 又 AD⊥BC,∴Rt△BDA∽Rt△BAC. ∴∠BAD=∠ACB. ∵=,∴∠FBA=∠ACB. AB AF ∴∠BAD=∠FBA. ∴△ABE 为等腰三角形.∴AE=BE. 点评 若已知条件中出现直径, 则常用到“直径所对的圆周角为 直角”这一性质解决问题. 探究三易错辨析 易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等 【典型例题 3】 如图所示,∠BAD=75°,则∠BCD=__________. 错解:∵∠BAD 和∠BCD 所对的弦都是 BD,∴∠BAD=∠BCD. ∴∠BCD=75°. 错因分析:错解中,没有注意到圆周角∠BAD 和∠BCD 所对的弧 不相等,导致得到错误的结论∠BAD=∠BCD. 嵿遣将出 海擒之 ,获其 二舟, 贼乃遁 。寻召 掌南京 都察院 事,就 改工部 尚书。 嘉靖六 年大计 京官, 拾遗被 劾,致 仕 2/3 世宗即位 ,命以 右都御 史总督 两广军 务。广 西上思 州贼黄 缪纠峒 兵劫州 县,巅 讨擒之 。广东 新宁、 恩平贼 蔡猛三 等剽掠 ,众至 数万。 巅合兵 三万余 人击新 宁诸贼 ,破巢 二百, 擒斩一 万四千 余人, 俘贼属 五千九 百余人 。 正解:∠BAD 是所对的圆周角,∠BCD 是所对的圆周角,则所对 的圆心角为 2×75°=150°.又和所对圆心角的和是周角 360°, BCD BAD BCD BCD BAD ∴所对圆心角是 360°-150°=210°, BAD ∴所对圆周角∠BCD=×210°=105°. BAD 嵿遣将出 海擒之 ,获其 二舟, 贼乃遁 。寻召 掌南京 都察院 事,就 改工部 尚书。 嘉靖六 年大计 京官, 拾遗被 劾,致 仕 3/3

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