2013年大连市高三双基测试数学(理)试题

2013 年双基测试数 学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第 22 题~第 24 题为选考题, 其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答 题卡一并交回.
参考公式:球的体积公式V ? 4 ?R3.其中 R 为球半径. 3

n

? xi yi ? nx y

? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ?

i ?1 n

xi 2

?

2
nx

, a ? y ?bx .

i ?1

第I卷

一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

题目要求的)

1. 复数 z ? 1? i 的虚部是

()

A.1

B. ?1

C. i

D. ? i

? ? 2.已知集合 M ? x | x2 ? 4x ? 3 ? 0 , N ? ?x | lg(3 ? x) ? 0?,则 M N = ( )

A.{x | 1 ? x ? 3} B.{x | 1 ? x ? 2} C.? D.{x | 2 ? x ? 3}

3.函数 f (x) ? (sin x ? cos x)2 的最小正周期为

()

A. ?

B. ?

C. ?

D. 2?

4

2

4.抛物线 y ? 2x 2 的焦点 F 到准线 l 的距离是

()

A. 2

B. 1

C. 1 2

D. 1 4

5.若执行如图所示的程序框图,如果输入 n ? 6,则输出的 s 的值是

()

A. 6

B. 7

C. 5

D. 4

7

8

6

5

开始

6. S n 为等差数列 {an} 的前 n 项和, a2 ? a8 ? 6 ,则 S9 ?
()

A. 27 2

B. 27

C. 54

D.108

7.把一枚骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是偶数点的情

况下,第二次抛出的也是偶数点的概率为

(

)

A.1

B. 1 2

C. 1 3

D. 1 4

8.下列函数中,与函数 y ? ?3 x 的奇偶性相同且在 (??,0) 上单

调性也相同的是 ( )

A. y??1 x
D. y ? x3 ?1

B . y ? log2 x

C . y ?1? x2

1

i ? 1, s ? 0

i ? i ?1

i ? n?
否 输出 s

s?s? 1 i ? (i ? 1)


结束 第 5 题图

9.下列说法中,正确的是

()

A.命题“若 am2 ? bm2 ,则 a ? b ”的逆命题是真命题 B.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题

C.已知 x ? R ,则“ x ?1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件 D.命题“ ?x ? R , x2 ? x ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R , x2 ? x ? 0 ”

10. ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 2 ,OA ? AB ? AC ? 0 且| OA |?| AB | ,则向量 CA 在 CB 方向上

的投影为

()

A. 3

B. 3

C. ? 3

D. ? 3

11. 已知 f (x) 是定义在 R 上的且以 2 为周期的偶函数,当 0 ? x ? 1时, f (x) ? x2 ,

如果函数 g(x) ? f (x) ? (x ? m) 有两个零点,则实数 m 的值为

()

A. 2k ( k ? Z )

B. 2k 或 2k ? 1 ( k ? Z ) 4

C.0

D. 2k 或 2k ? 1 ( k ? Z )

4

12. SC 为球 O 的直径, A, B 是该球球面上的两点, AB ? 2, ?ASC ? ?BSC ? ? , 4

若棱锥 A ? SBC的体积为 4 3 ,则球 O 体积为 3

()

A. 4 ? 3

B. 32 ? 3

C. 27?

D. 4 3?

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:(本大题共 4 小 题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13.一个几何体的 三视图及其尺寸如下(单位:cm):

4
4 主视图

4
4 左视图

4 俯视图 第 13 题图
则该几何体的表面积为

cm 2 .

14.已知下列表格所示的数据的回归直线方程为 y? ? 3.8x ? a ,则 a 的值为___ ___.

x

2

3

4

5

6

y

251

254

257

262

266

2

15 . 数 列 ?an ? 满 足 : a1 ? 3a2 ? 5a3 ? ? ? ? ? (2n ?1) ? an ? (n ?1) ? 3n?1 ? 3 , 则 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式

an =

.

16.已知 A, B 的坐标为 A(? 2, 0), B( 2, 0) ,且动点 P 满足 PA ? PB ? 2 ,则动点 P

的轨迹与直线 y ? k(x ? 2) 有两个交点的充要条件为 k ?

.

三. 解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 12 分)

已知 A, B, C 是 ?ABC的三个内角,向量 m ? (sin A ? sin B,sin C) ,

向量 n ? ( 2 sin A ? sin C,sin A ? sin B) ,m//n 共线.

(Ⅰ)求角 B ;

(Ⅱ)若 sin A ? 3 ,求 cosC 的值. 5
18.(本小题满分 12 分)

为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行抽样检查,测得身高情况的频

率分布直方图如下:

频率

组距

男生

0.07 0.065

频率

组距

女生

0.08

7

150

0.025

0.04

0.02

0.01

0.02

1

150

0

0

160 165 170 175 180 185 190身高/cm

150 155 160 165 170 175 180身高/cm

第 18 题图

已知样本中身高在[150,155)cm 的女生有 1 人. (Ⅰ)求出样本中该校男生的人数和女生的人数; (Ⅱ)估计该校学生身高在 170~190cm 之间的概率; (Ⅲ)从样本中身高在 185~190cm 之间的男生和样本中身高在 170~180cm 之间的女生中随机抽取 3 人,
记被抽取的 3 人中的女生人数为 X .求随机变量 X 的分布列和数学期望 E( X ) .

19.(本小题满分 12 分)

如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为梯形, ?DAB ? 60? , AB ∥ CD ,

AD ? CD ? 2AB ? 2 , PD ? 底面 ABCD, M 为 PC 的中点.P

(Ⅰ)证明: BD ? PC ;

(Ⅱ)若 PD ? 1 AD ,求二面角 D ? BM ? P 的余弦值.

M

2

D C

A

B

3

第 19 题图

20. (本小题满分 12 分)

设 A , B 分别是直线 y ? 2 x 和 y ? ? 2 x 上的动点,且 AB ? 2 ,设 O 为坐标原点,动点 P 满足

2

2

OP ? OA ? OB . (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程;
(Ⅱ)过点 ( 3,0) 做两条互相垂直的直线 l1, l2 ,直线 l1, l2 与点 P 的轨迹相交弦分别为 CD 、EF ,设 CD 、 EF 的弦中点分别为 M 、 N ,求证:直线 MN 恒过一个定点.

21.(本小题满分 12 分)

函数 f (x) ? ln x ? ax2 ( a ? R ).

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间;

(Ⅱ)当 a

?

1 8

时,证明:存在

x0

? (2,??) ,使

f (x0 )

?

f (1) ;

(Ⅲ)当 a ? 1 时,证明: f (x) ? 2 x 4 ? 1 ? 3 .

4

4

4

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D,

连结 EC、CD.

(Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线;
(Ⅱ)若 tan∠CED= 1 ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

E O

D

A

C

B

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

第 22 题图

在直角坐标系 xoy 中,以原点 o 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

已知射线 l

:?

?

? 4

与曲线 C

:

? ? ?

y

x ? t ?1, ? (t ?1)2

,



t

为参数),相交于

A, B

两点.

(Ⅰ)写出射线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标系方程;

(Ⅱ)求线段 AB 的中点极坐标.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知实数 t ,若存在 t ?[1 ,3]使得不等式 t ?1 ? 2t ? 5 ? x ?1 ? x ? 2 2
成立,求实数 x 的取值范围.

4

2013 年大连市高三双基测试数学(理科)参考答案与评分标准
一.选择题 1.A;2.B;3.C;4.D;5.A;6.B;7.B;8.C;9.D;10.A;11.D;12.B.
二.填空题
13. 24? ;14.242.8;15. 3n ;16. (??,?1) ? (1,??) .
三.解答题
17. 解:(Ⅰ)依题意得 sin2 A ? sin2 B ? sin C( 2 sin A ? sin C)

? 2 sin Asin C ? sin2 C , ····································································2 分

由正弦定理得: a2 ? b2 ? 2ac ? c2 ,······················································4 分

∴ a2 ? c2 ? b2 ? 2ac .

由余弦定理知: cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? 2 ,∴ B ? ? . ··································6 分

2ac

2

4

(Ⅱ)∵ sin A ? 3 ,∴ sin A ? 2 ,∴ A ? B .···············································8 分

5

2

又 B ? ? ,∴ A ? ? ,∴ cos A ? 4 , ·························································10 分

4

4

5

∴c cos C ? cos(3? ? A) ? cos 3? cos A ? sin 3? sin A ? ? 2 . ······················12 分

4

4

4

10

18.解:(Ⅰ)设女生的人数 n, ∴ 1 ? 1 ?5 ,∴ n ? 30 . n 150
?抽取的样本人数 700? 10%=70,
∴样本中该校男生 40 人和女生 30 人. ··················· 3 分
(Ⅱ)由频率分布直方图可得出样本中身高在 170~190cm 之间的学生人数有 37 人,

样本容量为 70 ,所以样本中学生身高在 170~190cm 之间的频率等于 37 , 70

所以估计该校学生身高在 170~190cm 之间的概率等于 37 . ·········· 6 分 70
(Ⅲ)由频率分布直方图可得出样本中身高在 185~190cm 之间的男生有 2 人和样本中身高在 170~180cm
之间的女生有 4 人,

∴ X 的可能取值为 1,2,3,

? P(X ? 1) ? 1 , P( X ? 2) ? 3 , P( X ? 3) ? 1 . ·············· 9 分

5

5

5

∴ X 的分布列为

X

1

2

3

1

3

1

P5

5

5

5

∴数学期望 E( X ) =2. ················································································12 分 19 解:(Ⅰ)由余弦定理得 BD ? 12 ? 22 ? 2?1?2cos 60? ? 3 ,∴ BD2 ? AB2 ? AD2 ,
∴ ?ABD ? 90? , BD ? AB,? AB// DC, ∴ BD ? DC . ∵ PD ? 底 面 ABCD, BD ? 底 面 ABCD,∴ BD ? PD .又∵ PD DC ? D ,∴ BD ? 平面 PDC , 又 PC ?平面 PDC ,∴ BD ? PC . ····························································6 分
z
P M

D

Cy

A

Bx

(Ⅱ)已知 AB ? 1, AD ? CD ? 2 , PD ? 2 ,由(Ⅰ)可知 BD ? 平面 PDC ,

如图,以 D 为坐标原点,射线 DB 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D ? xyz ,

则 D(0,0,0), B( 3,0,0), C(0,2,0), P(0,0, 2) , M (0,1, 2 ). 2

DB ? ( 3, 0, 0) , DM ? (0,1, 2 ) , CP ? (0,?2, 2) , CB ? ( 3, ?2, 0) . ··········8 分 2

设平面

BDM

的法向量为

m

?

(

x,

y,

z

)

,则

??m ?

?

DB

?

0



??m ? DM ? 0

∴ x ? 0, y ? 2 z ? 0 ,令 z ? 2 ,∴可取 m ? (0,?1, 2) . ········ 9 分 2

同理设平面

BMP

的法向量为

n

?

(a,

b,

c)

,则

??n ?

?

CP

?

0



??n ?CB ? 0

∴ n ? ( 2 3 ,1, 2) . ························· 10 分 3

∴ cos ? m, n ?? ?1 ? ? 13

3 13

13

3

∴二面角 D ? BM ? P 的余弦值大小为 13 . ·············· 12 分 13
20. 解:(Ⅰ)设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ), P(x, y) ,
6

? OP ? OA ? OB ,∴ x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 ,

? y1 ?

2 2

x1 ,

y2

?

?

2 2

x2



∴ x ? x1 ? x2 ?

2( y1 ? y2 ), y ? y1 ? y2 ?

2 2

( x1

?

x2

)



········· 2 分

? AB ?

(x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ?

2 ,∴ 1 x 2 ? 2 y 2 ? 2 , 2

∴点 P 的轨迹方程: x 2 ? y 2 ? 1. ···················· 4 分 4

(Ⅱ)方法一:设 C(x1, y1), D(x2 , y2 ) ,设直线 l1 方程为 x ? 3 ? ky ,

?x ? 3 ? ky,

联立方程组

? ?

??

x2 4

?

y2

? 1.

得 (k 2 ? 4) y2 ? 2 3y ?1 ? 0 .

y1

?

y2

?

?

2 k2

3k ?4

,∴

x1

?

x2

?

8 k2

3 ?4





M

点坐标为

(

4 k2

3 ?4

,

? k2

3k ) ?4

,同理可得

N

点坐标为

(

4 4k

3k 2

2

, ?1

4k

3k

2

) ?1

. ·········6



∴直线 MN 的斜率 kMN

?

4k

3k 2?

1

?

4 4k

3k 2?

2
1

?

3k k2 ?4 43 k2 ?4

?

5k 4(k 2 ?1)

. ·································8 分

∴直线

MN

的方程为

y

?

k2

3k ?4

?

5k 4(k 2 ?1)

(x

?

4 k2

3) ?4



整理化简得 4k 4 y ? (4 3 ? 5x)k 3 ?12k 2 y ? (?20x ?16 3)k ? 0 , ···················10 分

∴ x ? 4 3 , y ? 0 ,∴直线 MN 恒过定点 ( 4 3 ,0) . ····································12 分

5

5

方法二:(1)设直线 l1 的斜率 k1 ( k1

?

0)

,则直线 l2 的斜率 ?

1 k1



设 C(xC , yC ) , D(xD , yD )

E(xE , yE ) , F(xF , yF ) , M (xM , yM ) , N(xN , yN ) ,

∴ xC 2 4

?

yC 2

? 1 ①,

xD 2 4

? yD2 ? 1

②,

由②-①得 xM 4

? k1 yM

? 0,

同理得 xN 4

?

1 k1

yN

? 0,

∴ xM xN ? 16 yM yN ? 0 ,③

?

k1

?

?

xM 4yM

? yM xM ?

3

, ······················· 6 分

∴点 M 、 N 在曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 3x ? 0 上,

7

设直线 MN : y ? kx ? b ,

联立方程组

? ? ?

x

2

?

y ? kx ? b, 4y2 ? 3x

?

得 (4k 0,

2

? 1)x 2

?

(8kb ?

∴ xM xN

?

4b2 , 4k 2 ? 1

同理

yM

yN

b2 ? 3kb ?
4k 2 ?1



代入③得 20b2 ? ?16 3kb,∴ b ? ? 4 3 k 或 b ? 0 , 5
因为 b ? 0 时不符合题意,所以不成立,

3)x ? 4b2 ? 0, ··· 8 分

∴直线 MN : y ? k(x ? 4 3 ) ,∴直线 MN 恒过定点 ( 4 3 ,0) . ······ 11 分

5

5

(2)当直线

l1

的斜率等于

0

或不存在时,直线

MN



y

?

0,

也过定点

(

4

3 5

,0)

.

综合(1)(2)可得直线 MN 恒过定点 ( 4 3 ,0) . ··············· 12 分 5
21.解:(Ⅰ)函数 f (x) ? ln x ? ax2 的定义域为 (0,??) ,

? f ?(x) ? 1 ? 2ax ? ? 2ax2 ? 1 ,

x

x

∴①当 a ? 0时, f ?(x) ? 0 ,所以函数 f (x) ? ln x ? ax2 的增区间为 (0,??) ,

②当 a ? 0 时,若 f ?(x) ? 0 有 0 ? x ? 2a , 若 f ?(x) ? 0 有 x ? 2a ,

2a

2a

所以函数 f (x) ? ln x ? ax2 的减区间为 ( 2a ,??) ,增区间为 (0, 2a ) ,

2a

2a

由①②得当 a ? 0时,函数 f (x) 的增区间为 (0,??) ,当 a ? 0 时,函数 f (x) 的减区间为 ( 2a ,??) , 2a

增区间为 (0, 2a ) . ··························· 3 分 2a

证明(Ⅱ)当 a ? 1 时, f ?(x) ? ? x 2 ? 4 ,

8

4x

∴ x ? (0,2) 时函数 f (x) 是增函数, x ? (2,??) 时函数 f (x) 是减函数,

∴函数 f (x) 的最大值为 f (2) ? ln 2 ? 1 . ················· 4 分 2

? f (1) ? ? 1 , 8

在 (2,??) 取 x ? e4 ,计算得 f (e4 ) ? 4 ? e8 ? 4 ? 28 ? ?28 ? f (1) ,

8

8

(也可以选取其它有效值).

∴ f (e4 ) ? f (1) ? f (2) ,

? x ? (0,2) 时函数 f (x) 是增函数, x ? (2,??) 时函数 f (x) 是减函数,

∴存在 x0 ? (2, e4 ) ,使 f (x0 ) ? f (1) , ∴存在 x0 ? (2,??) ,使 f (x0 ) ? f (1) . ·················· 6 分

证明(Ⅲ)? 2 x 4 ? 1 ? x , ····················· 7 分

4

2

8

令 g(x) ? f (x) ? ( x ? 3) ? ln x ? 1 x2 ? 1 x ? 3 .

24

4 24

∴ g?(x) ? 1 ? 1 x ? 1 ? ? x2 ? x ? 2 ,

x2 2

2x

∴ x ? (0,1) 时, g?(x) ? 0 ,函数 g(x) 是增函数, x ? (1,??) 时, g?(x) ? 0 ,

函数 g(x) 是减函数, ·························· 9 分

∴ g(x) ? g(1) ? 0 ,

∴ ln x ? 1 x2 ? 1 x ? 3 ? 0, ∴ ln x ? 1 x2 ? 1 x ? 3 ,

4 24

4 24

∴ f (x) ? 2 x 4 ? 1 ? 3 . ······················· 12 分

4

4

22.解: (Ⅰ) 连结 OC ,因为 OA ? OB,CA ? CB ,则 OC ? AB .························· 2 分

所以直线 AB 是⊙ O 的切线. ································································4 分 (Ⅱ)因为 AB 是⊙ O 的切线,所以 ?BCD ? ?E ,又 ?B ? ?B ,
所以△ BCD∽△ BCE ,所以 BC ? BE ? CE , BD BC CD
所以 BE ? ( EC )2 , ··················································································8 BD CD
因为 tan ?CED ? 1 ,所以 BE ? 4 ,因为⊙ O 的半径为 3, 2 BD
所以 BD ? 2,所以 OA ? 5 . ································································10 分 23.解:(Ⅰ)射线 l 的直角坐标方程: y ? x(x ? 0) ,

?

则射线

l

的参数方程:

?? x ?

?

? ??

y

?

2 t, 2 (t ? 0, t为参数 )········································2 分 2 t, 2

曲线 C 的直角坐标系方程: y ? (x ? 2)2 . ······················································4 分

(Ⅱ)联立

?

? ?

y

y ? x, ? (x ? 2)2

,



?x

? ?

y

? ?

1, 1,

和?? ?

x y

? ?

4, 4,



∴ A(1,1), B(4,4), ························································································6 分

∴线段 AB 的中点直角坐标为 ( 5 , 5 ), 22

∴线段 AB 的中点极坐标为 (5 2 , ? ) . ·······················································10 分 24

? ? ?

?t ? 4,t ? 5 2

24.解:∵ t

?[1 2

,3] ,∴ |

t

?1|

?

|

2t

?

5

|?

??3t ?

?

6,1

?

t

?

5 2



······························· 4



? t ? 4,t ? 1

??

可得其最大值为 3 .·················································································6 分 2

9

解不等式| x ?1| ? | x ? 2 |? 3 ,当 x ? 2 可得 2 ? x ? 9 ,当1? x ? 2 可得恒成立,

2

4

当 x ?1可得 3 ? x ? 1,综上可得解集为[ 3 , 9] . ···········································10 分

4

44

10


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