【最新资料】四川省成都市高三一诊模拟考试(理科)数学试题及答案

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四川省成都市高三一诊模拟考试

理科数学试题

(考试时间: 12 月 27 日 总分:150 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

1.不等式 x ? 2 ? 2 的解集是( ) x?3

A (??, ?8]? (?3, ??)

B (??, ?8]?[?3, ??)

C.[?3, 2]

D (?3, 2]

2.若复数

( ,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( )

A. -2

B. 4

C. 6

D.-6

3.如果数列

a1



a2 a1

, a3 a2

,…, an an ?1

,…是首项为1,公比为 ?

2 的等比数列,则 a5 等于(



A. 32

B. 64

C. ?32

D. ?64

rr

rr

rr

r rr

4.已知平面向量 a , b 满足| a |?1,| b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60? ,则“m=1”是“(a ?mb) ? a”

的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.关于命题 p : A ? ? ? ,命题 q : A ? ? A ,则下列说法正确的是( )

A. ??p? ? q 为假

B.??p? ???q? 为真

C. ??p? ? ??q? 为假

D. ??p? ? q 为真

6.设函数 f (x) ? sin 3x? | sin 3x |, 则f (x) 为 ( )

A.周期函数,最小正周期为 2? 3
C.周期函数,最小正周期为 2?

B.周期函数,最小正周期为 ? 3
D.非周期函数

7.设集合

A

? [0,

1 ), 2

B

? [1 ,1] ,函数 2

f

(x)

?

??x ? 1 , (x ? A) ?2 ??2(1? x), (x ? B)

,若

f

[

f

(x0)] ?

A

,则

x0

的取值范围是( )

A.( 0, 1 ] B.( 1 , 5 ] C.( 1 , 5 ) D.[ 3 , 5 ]

4

48

48

88

8.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C 1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长
A1
为 2 的正三角形,侧棱长为 3,则 BB1 与平面 AB1C 1 所成的角为( )

A. ?

B. ?

C. ?

D. ?

6

4

3

2

9. 将 4 个相同的白球和 5 个相同的黑球全.部.放入 3 个不同的盒子中, A

每个盒子既要有白球,又要有黑球,且每个盒子中都不.能.同.时.只.放入

2 个白球和 2 个黑球,则所有不同的放法种数为( )

A.3

B.6

C.12

D.18

B1 C1
B C

10.若函数 f (x) 在给定区间 M 上,存在正数 t,使得对于任意 x ? M ,有x ? t ? M ,且

f (x ? t) ? f ( x),则称 f (x) 为 M 上的 t 级类增函数,则以下命题正确的是 ( )

A.函数 f (x) ? 4 ? x是(1, ??) 上的 1 级类增函数 x
B.函数 f (x) ?| log2 (x ?1) | 是(1, ??) 上的 1 级类增函数

C.若函数 f (x) ? sin x ? ax为[? , ??) 上的 ? 级类增函数,则

2

3

实数 a 的最小值为 2

D.若函数 f (x) ? x2 ? 3x为[1,+?)上的 t 级类增函数,则实

数 t 的取值范围为[1, ??)

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)

11.若 x ? log4 3,则(2x ? 2?x )2 ? 12.某程序的框图如图所示,若执行该程序,则输出的 i 值为 13 . 在 正 方 体 A B C D? A1B1C1D! 中 , M、N、P、Q 分 别 是

AB、AA1、C1D1、CC1 的中点,给出以下四个结论:

① AC1 ? MN ; ② AC1 //平面 MNPQ ; ③ AC1 与 PM 相交; ④ NC1 与 PM 异面

其中正确结论的序号是

.

14.已知函数 f ? x? ? x ?3 ? 2 x ?1 ,则其最大值为



15. 设两个向量

r a

?

(?

?

2,?2

?

cos2

?)



r b

?

? ??

m,m 2

?

sin ?

? ??

,其中

?,m,?

为实数.若

r a

?

r 2b

,则

?

的取值范围是

m

三、解答题(第 16—第 19 题每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分。共 75 分)

ur 16.已知向量 m ? (

3 sin

x

r ,1) , n

?

(cos

x , cos2

x) ,

f

(x)

?

ur r m?n

4

44

(1)若 f (x) ?1 ,求 cos(x ? ? ) 的值; 3

(2)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,且满足 a cos C ? 1 c ? b ,求函数 2
f (B) 的取值范围.

17.对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得到

这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与

频率的统计表如下: ⑴求出表中 M 、 p 的值; ⑵若该校高一学生有 360 人,试估计他们参加社区服务的

分组 [10,15) [15, 20) [20, 25)

频数 5 12 m

频率 0.25
n
p

次数在区间?15,20 ? 内的人数;

[25, 30)

1

0.05

⑶学校决定对参加社区服务的学生进行表彰,对参加活动

合计

M

1

次数在 ?25,30? 区间的学生发放价值 80 元的学习用品,对参加活动次数在?20, 25? 区间的

学生发放价值 60 元的学习用品,对参加活动次数在 ?15, 20? 区间的学生发放价值 40 元

的学习用品,对参加活动次数在 ?10,15? 区间的学生发放价值 20 元的学习用品,在所取

样本中,任意取出 2 人,并设 X 为此二人所获得用品价值之差的绝对值,求 X 的分布 列与数学期望 E( X ) .

18.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M、N 分别是 AB、AC 的中点, G 是

DF 上的一动点.

(1)求证: GN ? AC;

(2)当 FG ? GD 时,在棱 AD上确定一点 P ,使得 GP //平面 FMC,并给出证明.

19.某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元,若用 x 表示该厂生产这种产品的总件数, 则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元,又该厂职工工资固定支出 12500 元。
(1)把每件产品的成本费 P(x)(元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最 低成本费;
(2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件,且产品能全部销售,根据市场
调查:每件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系: Q(x) ? 170 ? 0.05x ,试问生
产多少件产品,总利润最高?(总利润=总销售额-总的成本)

? ?uur

ur

20.已知一非零向量列 an 满足: a1 ? (1,1) ,

? ? ? ? ? ? uur
an ?

xn , yn

?1 2

xn?1 ? yn?1, xn?1 ? yn?1

n?2 .

? ?uur
(1)证明: an 是等比数列;

uuur uur
? ? (2)设? n 是 an?1, an 的夹角 n ? 2 , bn = 2n?n ?1 , Sn ? b1 ? b2 ?L ? bn ,求 Sn ;

uur uur
? ? (3)设 cn ? an log 2 an ,问数列 cn 中是否存在最小项?若存在,求出最小值;若不

存在,请说明理由.

21.设函数 f (x) ? x2 ? b ln(x ?1)



(Ⅰ)若函数 y ? f (x) 在定义域上是单调函数,求 b 的取值范围;

?n
(Ⅱ)若 b ? ?1,证明对于任意的 n ? N*,
k ?1

f

(

1 k

)

?

1

?

1 23

?1 33

?L

?

1 n3



参考答案

一、选择题

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 A

D

A

C

C

A

C

A

C

D

二、填空题

11、 4 3

12、7

13、1\3\4

14、2

15、 ??1,6?

三、解答题

16 .【解析】本题主要考查向量的数量积、二倍角的正弦、余弦公式、两角和与的正弦公式、

以及余弦定理的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.

解:(1)

f ?x? ? m?n ?

3 sin x cos x ? cos2 x ?

44

4

3 2

sin

x 2

?

1 2

cos

x 2

?

1 2

?

sin

? ??

x 2

?

? 6

? ??

?

1 2

,

……

3分



f

?x?

?

1,?sin

? ??

x 2

?

? 6

? ??

?

1. 2

? cos ???

x

?

? 3

? ??

?

cos

2

? ??

x 2

?

? 6

? ??

?

1

?

2 sin 2

? ??

x 2

?

? 6

? ??

?

1. 2

……6



(2) a cosC ? 1 c ? b,?a ? a2 ? b2 ? c2 ? 1 c ? b, 即 b2 ? c2 ? a2 ? bc,?cos A ? 1 .

2

2ab 2

2

又 A??0,? ?,? A ? ? ………………………………9 分
3

又 0 ? B ? 2? ,?? ? B ? ? ? ? , 3 6262

?

f

?

B

?

?

???1,

3 2

???.

…………………………………………12



17.【解析】⑴由题可知 5 ? 0.25 , 12 ? n , m ? p , 1 ? 0.05

M

M

M

M

又 5?12 ? m?1? M

解得 M ? 20 , n ? 0.6 , m ? 2 , p ? 0.1

则[15, 20) 组的频率与组距之比 a 为 0.12 .……………………4 分

⑵由⑴知,参加服务次数在区间[15, 20) 上的人数为 360?0.6 ? 216 人. ………7 分

⑶所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为0 元、 20 元、 40 元、60 元,则

P(0) ?

C52

? C122 C220

? C22

? 10 ? 66 ?1 ? 77 190 190



P(20)

?

C51C112

? C112C21 C220

? C21C11

?

60 ? 24 ? 2 190

? 86 190



P(40)

?

C51C21 ? C112C11 C220

? 10 ?12 190

?

22 , 190

P(60)

?

C51C11 C220

? 5. 190

………………10 分

所以 X 的分布列为:

X

0

20

40

60

77

86

22

5

P

190

190

190

190

E(X ) ? 0? P(0) ? 20? P(20) ? 40? P(40) ? 60? P(60)

? 0? 77 ? 20? 86 ? 40? 22 ? 60? 5 ? 290 .…………12 分

190

190

190

190 19

18. 【解析】本题主要考查多面体的直观图和三视图、空间直线与直线、直线与平面的位

置关系. 属于基础知识、基本思维的考查.

证明:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面 ADF 中 AD⊥DF,DF=AD=DC

(1)连接 DB,可知 B、N、D 共线,且 AC⊥DN

又 FD⊥AD FD⊥CD,

?FD⊥面 ABCD

? FD⊥AC

?AC⊥面 FDN GN ? 面FDN

?GN⊥AC…………………………………………………………6 分 (2)点 P 在 A 点处 证明:取 DC 中点 S,连接 AS、GS、GA
?G 是 DF 的中点,?GS//FC,AS//CM ?面 GSA//面 FMC
GA ? 面GSA ?GA//面 FMC 即 GP//面 FMC………………………………12 分 19【解析】本题主要考查函数的应用问题、逻辑思维能力、推理论证能力.

P(x) ? 12500 ? 40 ? 0.05x

解:(Ⅰ)

x

………………………………………3 分

由基本不等式得 P(x) ? 2 12500 ? 0.05 ? 40 ? 90

12500 ? 0.05x

当且仅当 x

,即 x ? 500 时,等号成立 ……………………5 分

P(x) ? 12500 ? 40 ? 0.05x



x

,成本的最小值为 90 元. ……………………6 分

(Ⅱ)设总利润为 y 元,则

y ? xQ(x) ? xP(x) ? ?0.1x2 ? 130 x ?12500

? ?0.1(x ? 650 )2 ? 29750

当 x ? 650 时, ymax ? 29750 ……………………………………………………11 分 答:生产 650 件产品时,总利润最高,最高总利润为 29750元.… ……12 分
20 【解析】

? ? ? ? ? ? 解:(1)an

?1 2

xn?1 ? yn?1 2 ?

xn?1 ? yn?1 2 ?

2 2

x2 n?1

?

y2 n?1

?

2 2 an?1

n ? 2 ……

3分

? ? ∴数列 an

是以公比为

2 2

,首项为

a1

?

2 的等比数列;……… ……4 分

? ? ? ? ? ? (2)∵ an?1 an ? xn?1, yn?1

1 2

xn?1 ? yn?1, xn?1 ? yn?1

?1 2

x2 n?1

?

y2 n?1

?

1 2

an?1

2




?

n

=

? 4

,………………………………………………

……………6 分

? n? ∴ bn = 2n ? 4 ?1 ? 2 ?1,………………………… …………………7 分



Sn

?

?? ?? 2

?1???

?

? ??

2? 2

?1??? ?

? ? ?

? ??

n? 2

?1???

?

? 4

n2 ? n

? n … ………9 分


(3)假设存在最小项,设为 cn ,

∵ an ?

? 2 ???

2 2

?n?1 ???

?

2?n
22

,……………………………………………………10



∴ cn

?

2

? 2

n

2?n
?2 2

,………………………………………………………………11



由 cn ? cn?1 得当 n ? 5 时, c5 ? c6 ? c7 ?



由 cn ? cn?1 得当 n ? 5 时, c5 ? c4 ?

? c1 ;………………… ……12 分

故存在最小项为 c5

?

?

3

?

?
2

3 2

2



………………………… …………13 分

f ?(x) ? 2x ?

b

2x2 ? 2x ?b

?

(x ? ?1)

21【答案】(I)解:

x ?1

x ?1

要使 f (x) 在 (?1,??) 上为单调函数只须在 (?1,??) 上 f ?(x) ? 0 或 f ?(x) ? 0 恒成立,……

2分



2x2

?

2x

?

b

?

0



b

?

?2(x

?

1)2 2

?

1 2



(?1,??)



t

?

?2( x

?

1)2 2

?

1 2

有最大值

1 2

∴只须

b

?

1 2



f

?(x)

?

0 ………………………………4





2x2

?

2x

?

b

?

0



b

?

?2(x

?

1)2 2

?

1 2

在 (?1,??)

t


?

?2( x

?

1)2 2

?

1 2

无最小值故满足

f

?(x)

?

0的

b

不存在.

b
由上得出当

?

1 2

时,

f

(x)

在 (?1,??)

上为单调函数.……………………6



(II) b ? ?1时, f (x) ? x2 ? ln( x ?1) 设 g(x) ? f (x) ? x3 ? x2 ? ln( x ?1) ? x3

g?(x) ? 2x ? 1 ? 3x2 ? ? 3x3 ? (x ?1)2

x ?1

x ?1

当 x ? 0 时 g?(x) ? 0 ∴函数 g(x) 在 (0,??) 上为减函数

g(0) ? 0 ∴当 x ? (0,??) 时, g(x) ? g(0) ? 0 ……………………9 分 x2 ? ln( x ?1) ? x3 恒成立 f (x) ? x3

1

k ?N?

? (0,??) ∴k

x? 1

f (1) ? 1

∴ k 时, k k 3 …………………………12 分

?n f ( 1 ) ? 1? 1 ? 1 ?? ? 1

∴ k ?1 k

23 33

k 3 …………………………14 分


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