走进数学建模世界


走进数学建模世界
华南师范大学数学科学学院 06 级本科生 (510631) 黄泽君 编者按: 由中国教育部国际交流司与师范司, 以及东芝公司共同举办的第二届 “东 芝杯·中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛”2009 年 11 月 15 日在上海落下帷幕。经过紧张的数学模拟授课、教案评比、即席演讲三项总 决赛,最终华南师范大学的黄泽君夺得冠军,南京师范大学的向坤获亚军,陕西 师范大学的金涛获季军。三名获奖选手每人除了获奖励高级笔记本电脑一台之 外,并获得免费赴日进行短期访学。本刊刊登获得第一名的教案,以飨读者。 【教材】人教版数学必修① 3.2 函数模型及其应用【课时安排】第 4 课时 【教学对象】高一学生 【授课教师】华南师范大学数学科学学院 黄泽君

【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容,但《标准》中没有对数 学建模的课时和内容作具体安排,只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学 中。而“3.2 函数模型及其应用”一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函 数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用,为以后的数学建 摸实践打基础,还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。本节课通过一 个较为真实的数学建模案例,以弥补教材的这一不足。 【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前,需要熟悉前面已学过的二次 函数与三角函数的相关性质。 【教学目标】 ? 知识与技能 (1)初步理解数学模型、数学建模两个概念; (2)掌握框图 2——数学建模的过程。 ? 过程与方法 (1)经历解决实际问题的全过程,初步掌握函数模型的思想与方法; (2)提高学生通过建立函数模型解决实际问题的能力。 ? 情感态度价值观 (1)体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程; (2)感受数学的实用价值,增强应用意识; (3)体会数学以不变应万变的魅力。 【教学重点】框图 2——数学建模的过程。 【教学难点、关键】 方案二中答案的探究;关键是运用合情推理。 【教学方法】引导探究、讨论交流。 【教学手段】计算机、PPT、几何画板。

【教学过程设计】 一、教学流程设计

实际问题化为 理想化问题

设计意图:与大学数学建模相比,过去的中学 数学建模缺少理想化(模型假设)这一重要的 环节。本环节意在恢复数学建模的真实面目。 设计意图:展示将理想化问题转化为数学问题 的数学化过程。 设计意图:展示“解模”过程。

理想化问题化为 数学问题

求解数学模型 解释数学结果

数学建模过程 的概括

设计意图: 结合这一实际问题的解决过程,概括出数学建 模的基本过程,以实现由具体到抽象的升华。 设计意图: 1.让学生经历数学建模中的优化过程; 2.培养学生的探究意识。 设计意图: 1.使学生获得科学的数学建模理论:数学建模 与数学模型的概念、数学建模的具体过程; 2.体会数学以不变应万变的魅力。

最优解的探究

什么是 数学建模

牛刀小试

设计意图: 1.根据桑代克的练习律与斯金纳的强化原理设 计该练习,以强化刚刚获得的数学建模理论; 2.培养学生的问题解决能力。

小结与思考

设计意图: 1.小结意在强化数学建模理论, 形成知识组块; 2.设计四个问题,目的是培养学生的数学探究 能力、动手实践能力和数学创新意识。

二、教学过程设计 教学 环节 教 学 内 容 教师 活动 学生 活动 设 意 计 图

现有宽为 a 的长方形板材, 请将它设计制 成一直的开口的长条形水槽,使水槽能通过 的流水量最大。 教师 引导 学生 阅读 理解 问题 , 并将 其理 想化 学生 听讲 思考 与大学 数学建 模相比, 过去的 中学数 学建模 缺少理 想化这 一重要 的环节。 本环节 意在恢 复数学 建模的 真实面 目。

(一) 实际 问题 化为 理想 化问 题 预计 时间 2 分钟

1. 初步理想化 在单位时间内,该水槽能通过的流水量取 决于水流速度和它的横截面积。我们将问题 理想化,假定水流速度是一定的。那么,要 在单位时间内获得最大的流水量,就应该将 水槽设计成横截面积最大。于是,问题化归 为: 现有宽为 a 的长方形板材, 请将它设计制成 一开口的长条形水槽,使水槽的横截面积最 大。 ” 2.进一步理想化 如果将水槽的横截面设计成矩形,那么这 一实际问题可以转化为理想化问题: 如下图所示,要建造一个横截面为矩形 ABCD 的水槽,并且AB ,BC ,CD 的长度之和等 于 a .问应当怎样设计水槽的深度和宽度,使 水槽的横截面积最大?

A B

D C

1.寻找变量以及变量之间的关系 在此问题中, 水槽的深度是一个变量,宽 度是另一个变量,横截面积也是一个变量。 (二) 设 AB ? x , BC ? y .矩形 ABCD 的面积为 S . 那么,这三个变量之间的关系是 S ? xy . 变量 S 由两个变量 x 和 y 确定 . 如果我们 能使面积 S 表达式只由一个变量确定,那么 我们研究的问题就可以简化,这就需要寻找 两个变量 x 和 y 之间的关系。显然,
2x ? y ? a .

教师 引导 讲解

学生 听讲 思考

将理 想化 问题 转化 为数 学问 题 预计 时间 3 分钟.

展示将 理想化 问题转 化为数 学问题 的数学 化过程。

2.建立数学模型
S ? x( a ? 2 x)

将实际问题转化为一个纯数学问题: 当 x 取何值时, 函数 S ? x(a ? 2 x)( 0 ? x ? 有最大值? 因为 S ? x(a ? 2 x) ?
a2 a a2 ? 2( x ? ) 2 ? , 8 4 8
a ) 2

(三) 求解 数学 模型 所以,当 x ?

a 时, S 有最大值 0.125a 2 . 4 a 此时, y ? a ? 2 x ? . 2

教师 引导 分析 讲解

学生 听讲 思考 求解 模型

展 示 解 模 过 程

解释 数学 结果 预计 时间 2 分钟

当水槽的横截面设计成矩形时,只要将深度、 宽度分别设计为
a a 和 时,可得到最大的横 4 2

截面积,从而可获得最大的流水量。

可将上述数学建模的过程概括为下面的 框图 1: 结合这 一实际 问题的 解决过 程, 概括 出数学 建模的 基本过 程, 以实 现由具 体到抽 象的升 华。

(四) 数学 建模 过程 预计 时间 2分 钟.

实际问题

教师 引导 讲解
寻找变量关系

学生 听讲 思考

理想化问题

纯数学问题

建立数学模型

求解数学模型

解释数学结果

我们前面的设计是将横截面设计成矩形, 将深度、宽度分别设计为 最大的横截面积, 如果将水槽的横截面分别按照下图中的 五种方案进行设计,结果又如何呢? (五) 最优 解的 探究 预计 时间 7 分钟
a a 和 时,可得到 4 2

教师 将学 生分 成五 个小 组, 并巡 视指 导学 生解 决问 题. 由于 缺少 导数 工具 , 教师 应引 导学 生运 用 观察 、 试算 、 估算 、 来探 究方 案二 的答 案.

学生 动手 探究 各自 的 设计 方案

1. 让 生经 数学 模中 优化 程; 2. 培 学生 探究 识。

学 历 建 的 过 养 的 意

下面,我们将全班分成 5 个小组,分别 探究五个方案的设计。最后派代表报告本小 组的探究结果. 教师 总结 点评 最后 教师 演示 数学 实验 发现 答案 , 并指 出运 用导 数工 具可 以证 明我 们的 答案 是正 确的 . 学生 代表 讲解 各自 方案 的答 案 通过观 察、试 算、 估算 与数学 实验, 培 养学生 的合情 推理能 力和数 学发现 能力.

方案一: S ?

1 1 x(a ? x) sin ? ? x(a ? x) 2 2

a2 1 1 a2 ? ? ( x ? a) 2 ? ? 0.125a 2 . 8 2 2 8
1 当 ? ? 90? ,且 x ? a 时, Smax ? 0.125a2 . 2 1 2 a a 方案二: S ? ( a ? 2 ? ? sin ? ) cos ? 2 3 3 3

?

最优 解的 探究 总结 预计 时间 7 分钟

a2 (1 ? sin ? ) cos ? 9

( 演示数学实验)

? ? 30? 时, S mas ? 0.144a 2
方案三(四个底角为 67.5 ? 的等腰三角形) :
1 a a S ? 4 ? ? ? tan 67.5? ? 0.151a 2 . 2 4 8

方案四(五个底角为 72 ? 的等腰三角形) :
1 a a S ? 5 ? ? ? tan 72? ? 0.154a 2 . 2 5 10

方案五:
1 2 a2 ? r ? a, ? r ? . ? S ? ? r ? ? 0.159a 2 . ? 2 2? a

通过比较以上五种方案和横截面设计为 矩形时的情况可以得出,方案五是这个实际 问题的最优解,即: a 将水槽的横截面设计为半径为 的半圆 ? 形时,从而可获得最大的流水量。

以上我们进行了六种设计方案的探究后,才 找到了该问题的最优解。这就表明,数学建 (六) 什么 是 数学 建模 预计 时间 6 分钟 模需要对所得到的结果进行检验评价,以确 认结果是否合理,是否是较好的结果。如果 结果不满意,就需要重新回到“理想化问题” 这一环节。于是,我们就可以概括出一个较 为完善的数学建模过程的框图。 框图 2: 教师 讲解 概括 学生 听讲 思考 1. 使 学 生获得 科学的 数学建 模理论: 数学建 模与数 学模型 的概念、 数学建 模的具 体过程; 2. 体 会 数学以 不变应 万变的 魅力; 3.弥补 《标准》 中数学 的建模 理论的 不足。

实际问题 重新理想化 理想化问题 寻找变量 及关系

纯数学问题

建立数学模型

求解数学模型

结果不理想 结果是否合理 是 问题获得解决

根据这个框图,我们就可以来回答什么是数 学建模? 数学建模 (Mathematical Modelling) : 就是运用数学化的手段从实际问题中提炼、 抽象出一个数学模型,求出模型的解,检验 模型的合理性,从而使这一实际问题得以解 决的过程。 数学模型就是用数学语言符号来描述 客观事物的特征及其内在联系的数学结构 表达式。例如,各种函数、方程、不等式、 不等式组等等都是比较常见的数学模型。 世界上最简单的数学模型是表示数的 字母 a . 数学模型“ a ”有两方面的含义: 1. 作为结果,她表示的是一个确定的 数值,可以参与运算; 2.作为过程,她表示的是一个变量:可 大可小;可正可负;可以是有理数也可以使 无理数。 由于数学模型具有高度的抽象性、概括 性和结构的确定性,所以数学模型能以不变 应万变。不管是中文还是英文,一个字所能 表达的意义十分有限, 但我们的数学模型 “a” 却可以表示无穷无尽的对象——流动的世 界。 又比如说勾股定理,这一模型可以用来 处理数以亿计的实际问题。从小到斜边长为 一微米的直角三角形到大至斜边长为十万八 千里的直角三角形,只要是直角三角形,它 们居然都满足同样的结构模型: 斜边的平方等于两条直角边的平方之和. 我不知道,这个世界上还有什么学科象数学 这样如此简洁,如此概括,如此统一。 我只知道: “数学的魅力在于, 她能以稳定的模式驾驭流动的世界!”

如下图,某房地产公司拥有一块“缺角矩 形”荒地 ABCDE,边长和方向如图所示,欲在 (七) 这块地上建一座地基为长方形东西走向的公 寓,请划出这块地基,并求地基的最大面积. 牛刀 北 小试 预计 100m A E 时间 14 西 东 分钟

教师 解释 说明 问题. 最后 演示 数学 实验.

学生 动手 解决 问题

60m
B C

80m 70m
D

1. 根 据 练习律 和强化 原理, 强 化刚刚 获得的 数学建 模理论; 2. 培 养 学生的 问题解 决能力。

数学实验 1.小结 这节课,我们通过解决一个实际问题, (八) 带大家走进了数学建模世界。 数学建模就是……; 小结 数学模型就是……; 与 数学建模的具体过程…… . 课后 我们还感受到了 思考 “数学的魅力在于, 她能以稳定的模式驾驭流动的世界!” 预计 2.课后思考 时间 (1)将各方案中的图形沿虚线向上翻折,并观察思 考:周长为2 a 的凸多边形,什么时候面积最大? 2 分钟 (2)家庭物理小实验
先将一条长度固定的柔软丝线的两头连接起 来,再将此封闭的曲线轻轻放在一个蒙有肥皂膜的 正方形(边长约 5cm)铁丝框上的肥皂膜上(注意, 别弄破肥皂膜! ) ,最后用小钉将曲线内的肥皂膜刺 破。你观察到什么现象,说明了什么问题? (3)请你帮助吉东皇后解决问题 吉东是泰雅皇帝的女儿, 历经周折, 逃到非洲, 且成为迦太基的创始人和第一位神奇的皇后。刚到 非洲时,吉东要在靠海岸线的地方购买“一张兽皮” 的土地:她把兽皮剪成细条,结成长绳,剩下的问 题是:怎么围,才会得到最多的土地呢?

教师 讲解 点化

教师 呈现 问题
问题1: 是让学 生探究 发现周 长一定 的凸多 边形中 ,正多 边形的 面积最 大.

1. 小 结 意在强 学生 化 数 学 内化 建 模 理 数学 论, 形成 建模 知 识 组 理论 块; 2. 设 计 四个课 后思考 问题, 目 学生 的 是 培 思考 养 学 生 准备 的 数 学 解决 探 究 能 问题 力、 动手 实践能 问题 2: 力 和 数 让学生 学 创 新 通 过 动 意识。
手实践 发现周 长一定 的图形 中,圆 的面积 最大. 问题 3: 是 等周 问 题 在解 决 实 际问 题 中 的 应 用.

(4)用数学家的眼光看世界 音乐家关注声响,文学家关注人性,而数学家 则本能关注对象的数量关系、空间形式和结构。用 数学家的眼光看世界,就是从数学的角度观察,感 受,认识,描述客观对象,进而提出创造性的问题。 儿童玩耍时吹出的肥皂泡,总是一个个在空中 起舞的彩球;水银落在桌面上,总是呈球形滚动; 清晨荷萍树叶上的露水,总是聚成一个个晶莹剔透 的水珠;冬日里为避寒而盘成一团的看家狗。面对 这些现象,物理学家想到了表面张力的作用。以数 学家的眼光,你看到了什么?你有什么大胆的猜 想?

问题 4: 是 将平 面 内 的等 周 问 题拓 展 到了空间.

【板书设计】 (此略) 附:

本教学设计的创新之处

1. 数学建模是高中数学新课程的新增内容,但却没有教材,没有具体内容。 《标 准》中建议由教师灵活掌握,但教师们感到不好把握。本节课通过一个较为 真实的数学建模案例,弥补了教材与《标准》的这一不足,并充实完善了《标 准》中的数学建模理论。 2. 与大学数学建模相比,过去的中学数学建模缺少理想化(模型假设)这一重 要的环节。本设计恰好解决了这一问题,恢复了数学建模的真实面目。 3. 本节课将数学探究、数学实验与数学建模较好地结合在一起,并提供了四个 拓展性的课后思考问题。 4. 向学生展示了普通人难以领会的数学结构之美,即: 数学的魅力在于, 她能以稳定的模式驾驭流动的世界! 致谢:感谢何小亚教授对本文的指导! 参考文献: [1] 何小亚.数学应用题教学的实践与思考[J].数学通报,2000(4) [2] 何小亚.新课程数学探究案例[J].数学通讯,2005(4) [3] 中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准 [M].北京:人民教育出 版社,2003.2 [4] 何小亚,姚静.中学数学教学设计[M].北京:科学出版社,2008.7


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