空间几何体(含答案)


第一章测试
1. 正方体的表面积是 96, 则正方体的体积为( A.48 6 B.16 答案 C 2.直径为 10 cm 的一个大金属球,熔化后铸成若 干个直径为 2 cm 的小球,如果不计损耗,可铸成 这样的小球的个数为( A.5 B.15 C.25 ) D.125 C.64 D.96 )

A.10 B.5

C.5 2

D.10 2

解析 由直观图,知梯形 ABCD 是一个直角梯 形,且 AB=A1B1=2,CD=C1D1=3,AD=2A1D1 2+3 =2,∴梯形 ABCD 的面积为 ×2=5.答案 B 2 6. 如图, 下列四个几何体中, 它们的三视图(正 视图、侧视图、俯视图 ) 有且仅有两个相同的是 ( )

4 解析 设可铸 n 个小球,依体积相等,得 π×53= 3 4 n× π×13,∴n=125. 答案 D 3 3.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线 旋转一周,所得的几何体包括( )

A.一个圆台,两个圆锥 B.两个圆台,一个圆锥 C.两个圆台,一个圆柱 D.一个圆柱,两个圆锥 答案 D 4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的 直观图可以是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①④ 答案 C 7.向高为 H 的容器中注水,注满为止,如果 注水量 V 与水深 h 的函数关系如图所示,那么容器 的形状应该是图中的( )

解析 由三视图知,原几何体是由一个圆柱和 一个圆台组成的,因此选 D. 答案 D 5.如图,梯形 A1B1C1D1 是一平面图形 ABCD 的直观图(斜二测),若 A1D1∥O1y1,A1B1∥C1D1, 2 A1B1= C1D1=2,A1D1=1,则梯形 ABCD 的面积 3 是( ) 解析 由函数曲线,知水的体积随水深 h 的增 大,体积增长的越来越快.答案 D 8.一个直角三角形直角边分别为 3 与 4,以其 直 角边 为旋转 轴, 旋转而 成的 圆锥的 侧面 积为 ( ) A.15π B.20π C.12π D.15π 或 20π 答案 D 9.如图是一个几何体的三视图,根据图中数
1

据,可得该几何体的表面积是(

)

解析 由三视图知,该几何体是一个组合体, 其底部是一个半圆柱,上部是一个长方体,故体积 1 为 V=2×2×4+ ·π×22×4=16+8π.答案 A 2 13.如图是一个正方体盒子的平面展开图,在 其中的四个正方形内标有数字 1,2,3 和-3,要在其 余正方形内分别填上-1,-2,使得按虚线折成正 方体后,相对面上的两数互为相反数,则 A 处应填

A.9π B.10π 解析
2

C.11π

D.12π

________. 解析 将其平面展开图沿虚线还原成正方体, 由右图,可看出 A 与 2 是相对面上的两数,故 A 处 应填-2.

该几何 体的 上部是 一个 球,其 表面 积是

4π×1 = 4π ; 下 部 是 一 个 圆 柱 , 其 表 面 积 是 2π×1×3+2π×1 =8π,则该几何体的表面积是 4π +8π=12π. 答案 D
2

10.在棱长为 1 的正方体上,分别用过公共顶点的 三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥 后,剩下的几何体的体积是( 2 A. 3 解析 7 4 B. C. 6 5 5 D. 6 ) 答案 -2 14 .过圆锥高的三等分点作平行于底面的截 面,它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为 ________. 解析 从上到下三个圆锥的高之比为 1:2:3, ∴ 侧面积之比为 1:4:9,∴三部分面积之比为 1:3:5. 答案 1:3:5 15. 用相同的单位正方体搭一个几何体(如图), 其正视图(从正面看到的图形)、俯视图(从上面看到 的图形)和侧视图(从左面看到的图形)分别如下:

1 1 1 1 1 每一个小三棱锥的体积为 × × × × = 3 2 2 2 2

1 1 5 .因此,所求的体积为 1-8× = .答案 D 48 48 6 11.两个球的表面积之差为 48π,它们的大圆周长 之和为 12π,这两个球的半径之差为( A.4 B.3 C.2 D.1 )

解析 设两个球的半径分别为 R、r,且 R>r,
? ? ?4πR -4πr =48π, ?R -r =12, 依题意得? ?? ?2πR+2πr=12π, ? ? ?R+r=6,
2 2 2 2

∴R-r=2.

答案 C

12.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积 为( )

则该几何体的体积为________. 解析 由几何体的三视图,知该几何体由 6 个 单位正方体构成. 答案 6 A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π
2

16.已知一个圆台的下底面半径为 r,高为 h, 当圆台的上底半径 r′变化时,圆台体积的变化范 围是________. 1 解析 当 r′→0 时,圆台趋近于圆锥.而 V 圆锥= 3 πr2h,当 r′→r 时,圆台趋近于圆柱,而圆柱 V 圆柱 =πr2h.因此,当 r′变化时,圆台的体积的变化范 1 2 1 πr h,πr2h?. 答案 ? πr2h,πr2h? 围是? ?3 ? ?3 ? 17.如图所示, 在边长为 4 的正三角形 ABC 中,E, F 依次是 AB,AC 的中点,AD⊥BC,EH⊥BC,FG ⊥BC,D,H,G 为垂足,若将△ABC 绕 AD 旋转 180° ,求阴影部分形成的几何体的表面积.

19.已知圆台的上底面半径为 r,下底面半径为 R, 母线长为 l,试证明圆台的侧面积公式为:S 圆台侧面积 =π(r+R)l,表面积公式为 S=π(R2+r2+Rl+rl). 证明 把圆台还原成圆锥,并作出轴截面,如图:

设 AB=x,BC=l,∵△ABF∽△ACG. r x rl ∴ = ,∴x= . R x+l R-r ∴S 圆台侧=S 扇形 ACD-S 扇形 ABE 1 1 rl = ·2πR(x+l)- ·2πr· x=πRl+π(R-r)· 2 2 R-r =π(R+r)l ∴S 圆台表面积=π(R+r)l+πR2+πr2



几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的, ∵S 锥表=πR2+πRl=4π+8π=12π, S 柱侧=2πrl=2π·DG· FG=2 3π, ∴所求几何体的表面积为 S=S 锥表+S 柱侧=12π+2 3π=2(6+ 3)π.

=π(Rl+rl+R2+r2). 20.侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱.已知底面是菱 形的直棱柱, 它的体对角线分别为 9 和 15, 高是 5, 求这个棱柱的侧面积. 解 设底面两条对角线的长分别为 a,b,则有 a2+52=92,b2+52=152,∴a= 56,b=10 2. ∴菱形的边长 x=

18.一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个正三 棱柱的表面积.

?a?2+?b?2=8. ?2? ?2?

∴S 侧=4x×5=4×8×5=160. 21.如图,BD 是正方形 ABCD 的对角线, 的圆

心是 A,半径为 AB,正方形 ABCD 以 AB 为轴旋转 一周,求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的 体积之比. 解 由三视图知正三棱柱的高为 2 mm,由侧视图

知正三棱柱的底面正三角形的高为 2 3 mm.设底 面边长为 a,由三角形的面积相等,得 3 a=2 3. 2 解
3

∴a=4.∴正三棱柱的表面积 S=S 侧+2S 底 1 =3×4×2+2× ×4×2 3=8(3+ 3)(mm)2. 2 把题图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ部分分别绕直线 AB

旋转所得旋转体体积分别记为 VⅠ,VⅡ,VⅢ,并设 正方形的边长为 a.因此, 1 π 14 π VⅠ= πa2· a= a3,VⅡ= ·πa3-VⅠ= a3, 3 3 23 3 π VⅢ=πa2· a-VⅠ-VⅡ= a3, 3 ∴VⅠ:VⅡ:VⅢ=1:1:1. 22.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位: m).

(1)试画出它的直观图;(2)求它的表面积和体积. 解 (1)直观图如图所示.

(2) 由三视图可知该几何体是长方体被截取一 个角,且该几何体的体积是以 A1A,A1D1,A1B1 为 3 棱的长方体的体积的 . 4 在直角梯形 AA1B1B 中, 作 BE⊥A1B1, 则 AA1EB 是正方形, ∴AA1=BE=1. 在 Rt△BEB1 中,BE=1,EB1=1,∴BB1= 2.

1 =1+2× (1+2)×1+1× 2+1+1×2 2 =7+ 2(m2). 3 3 ∴几何体的体积 V1= ×1×2×1= (m3). 4 2 ∴该几何体的表面积为 (7+ 2) m2,体积为 m3.
4

3 2


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