高二数学期末复习 选修2-1部分(1)

高二数学期末复习 选修 2-1 部分(1)
一、选择题: ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.设 p、a、b 是空间向量,则 “ p ? xa ? yb , ( x, y ? R) ”是“ p、a、b 共面” 的( ) B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 ) C. y ?
1 16

A.充分非必要条件 C.充要条件

2.抛物线 y ? 4x 2 的准线方程是( A. x ? 1 B. x ? ?1

D. y ? ?

1 16

3.直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,若 CA ? a , CB ? b , CC1 ? c ,则 A1 B ? ( A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. ?a ? b ? c D. ?a ? b ? c



4.已知 A,B,C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定点 M 与 点 A,B,C 一定共面的是( A. OM ? OA ? OB ? OC ) B. OM ? 2OA ? OB ? OC

1 1 1 1 1 C. OM ? OA ? OB ? OC D. OM ? OA ? OB ? OC 2 3 3 3 3 1 5.已知渐近方程为 y ? ? x 的双曲线经过点(4, 3 ) ,则双曲线的方程是( 2



A.

y2 ? x2 ? 1 4

B. x 2 ?

y2 ?1 4

C. y 2 ?

x2 ?1 4

D.

x2 ? y2 ? 1 4

6.已知 a ? ? ? ? 1,0, 2? ? , b ? ? 6, 2? ? 1, 2 ? , a / / b ,则 ? 与 ? 的值分别为(
1 1 A. , 5 2



B.5,2

1 1 C. ? , ? 5 2

D.-5,-2

7.过点 M(-2,0)的直线 l 与椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 2 交于 P 1, P 2 两点,设线段 PP 1 2 的中点为
P ,若直线 l 的斜率为 k1 ( k1 ? 0),直线 OP 的斜率为 k2 ,则 k1 k2 为(



A.-2

B.2

C.

1 2
1

D. ?

1 2

8.下列四个结论:

①若 p :2 是偶数, q :3 不是质数,那么 p ? q 是真命题; ②若 p : ? 是无理数, q : ? 是有理数,那么 p ? q 是真命题; ③若 p :2>3, q :8+7=15,那么 p ? q 是真命题; ④若 p :每个二次函数的图象都与 x 轴相交,那么 ? p 是真命题; 其中正确结论的个数是( A.1 9.双曲线 B.2 C.3 ) D.4 ) D.1 )

x2 y 2 =1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12

A. 2 3

B.2

C. 3

10. 与 y 轴相切且和半圆 x2 ? y 2 ? 4(0 ? x ? 2) 内切的动圆圆心的轨迹方程是( A. y 2 ? ?4( x ?1)(0 ? x ? 1) C. y 2 ? 4( x ? 1)(0 ? x ? 1) B. y 2 ? 4( x ?1)(0 ? x ? 1) D. y 2 ? ?2( x ?1)(0 ? x ? 1)

11.已知直线 m 过点 O(0,0,0) ,其方向向量是 a =(1,1,1) ,则点 Q(3,4, 5)到直线 m 的距离是( A.1 12.设双曲线 B. 2 ) C. 3 D.2

x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲 2 a b

线的离心率等于( A. 3 二、填空题: B.2

) C. 5 D. 6

13.命题“ ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 0.”的否定为: 14.椭圆

2



x2 y 2 ? ? 1 的焦点分别是 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中点在 y 12 3

轴上,则 PF1 是 PF2 的___________倍.
2

15.已知点 G 是 ?ABC 的重心,O 是空间任一点,若 OA ? OB ? OC ? ?OG, 则? 的值 为_____ 。
x2 y2 x2 ? ? 1 与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点; 25 9 35

16.有下列命题:①双曲线
1 2

②“- <x<0”是“2x2-5x-3<0”必要不充分条件; ③若 a、b 共线,则 a、b 所在的直线平行; ④若 a、b、c 三向量两两共面,则 a、b、c 三向量一定也共面; ⑤ ?x ? R , x 2 ? 3x ? 3 ? 0 . 其中是真命题的有:_ 三、解答题 17.已知双曲线的离心率等于 2,且与椭圆 方程.
x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点,求此双曲线 25 9

___. (把你认为正确命题的序号都填上)

18.给定两个命题, P :对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立; Q :关于 x 的 方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数根.如果 P ∨ Q 为真命题, P ∧ Q 为假命题,求实数 a 的 取值范围.

3

19.已知 E 是长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长 CC1 所在直线上一点,
C1 E ? CC1 ? BC ? 1 AB ? 1 2

(1)求异面直线 D1E 与 B1C 所成角的余弦值; (2)求点 A 到直线 B1E 的距离; (3)求直线 AC 与平面 D1EB1 所成的角; (4)求两平面 B1D1E 与 ACB1 所形成的锐二
D1

E

面角的余弦值; (5)求点 A 到平面 D1EB1 的距离。

a A1 B1 C D

C1

C b A B

4

2 20.抛物线 y ? 4x 上有两个定点 A、B 分别在对称轴的上、下两侧,F 为抛物线的

焦点, 并且|FA|=2, |FB|=5, 在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P,使△PAB 的面积最大, 并求这个最大面积.

5

x2 y 2 21 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的焦距是 2,离心率是 0.5; a b

(1)求椭圆的方程; (2)求证:过点 A ?1, 2 ? 倾斜角为 450 的直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点;又记这 两个交点为 P、Q,试求出线段 PQ 的中点 M 的坐标。

6

x2 y 2 x2 y 2 22、已知椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐近线 a b a b

为 l1 , l2 ,过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l ,使 l ? l1 ,又 l 与 l2 交于点 P 。设 l 与 椭圆 C 的两个交点由上至下依次为 A 、 B 。 (1)当 l1 与 l2 的夹角为 60 0 ,且 ?POF 的面积为
3 时,求椭圆 C 的方程; 2

(2)当 FA ? ? AP 时,求当 ? 取到最大值时椭圆的离心率。

7

23、 (2012 年山东, 21,13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C :x2 ? 2 py ( p ? 0 )的焦点,M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点,过点 M ,F ,
O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为

3 。 4

(1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出 点 M 的坐标,若不存在,说明理由;
1 (3)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? kx ? 与抛物线 C 有两个不同的交 4 1 l 与圆 Q 有两个不同的交点 D ,E , 点 A ,B , 求当 ? k ? 2 时, | AB|2 ? | DE |2 2

的最小值。

8

选修 2-1 参考答案(1)
一、选择题 题号 答案 二、填空题 1 C 2 D 3 D 4 C 5 D 6 C 7 A 8 D 9 C 10 B 11 B 12 C

?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 ; 17.①②⑤.
三、解答题

x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标为(-4,0)和(4,0) 18.解:∵ 椭圆 ,???????2 分 25 9
则可设双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0) , a 2 b2
c ? 2 ,∴ a=2.???????????4 分 a

∵ c=4,又双曲线的离心率等于 2,即
2 2 2

∴ b ? c ? a =12. ??????????????????????????6 分

x2 y 2 ? ? 1 .???????????????????8 分 故所求双曲线方程为 4 12
20.解:对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立
2

?a ? 0 ? 0 ? a ? 4 ;??????????????????????2 分 ? a ? 0或? ?? ? 0
2 关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ?

1 ;?????????4 分 4

P ∨ Q 为真命题, P ∧ Q 为假命题,即 P 真 Q 假,或 P 假 Q 真,????????5 分
如果 P 真 Q 假,则有 0 ? a ? 4, 且a ?

1 1 ? ? a ? 4 ;?????????????6 分 4 4

?a ? 0或a ? 4 如果 P 假 Q 真,则有 ? , ? a ? 0 .???????????????7 分 ? 1 a ? ? 4 ?
1 ? 所以实数 a 的取值范围为 ?? ?,0? ? ? ? ,4 ? . ?????????????????8 分 ?4 ?
9

21.解:由已知得 F (1,0) ,点 A 在 x 轴上方,设 A ( x1 , y1 ), y1 ? 0 , 由 FA ? 2 得 x1 ? 1 ? 2, x1 ? 1,所以 A(1,2),?????????????2 分 同理 B(4,-4), ???????????????????????????3 分

所以直线 AB 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 .?????????????????4 分 设在抛物线 AOB 这段曲线上任一点 P( x0 , y0 ) ,且 1 ? x0 ? 4,?4 ? y0 ? 2 .

则点 P 到直线 AB 的距离 d=

2 x0 ? y0 ? 4 1? 4

2? ?

2 y0 ? y0 ? 4 4

5

1 9 ( y0 ? 1) 2 ? 2 2 ? ?6 分 5

所以当 y0 ? ?1 时,d 取最大值

9 5 , ????????????????7 分 10

又 AB ? 3 5 ???????????????????????????8 分 所以△PAB 的面积最大值为 S ?

1 9 5 ?3 5 ? ? 27, ?????????9 分 2 10

此时 P 点坐标为 ( ,?1) .??????????????????????10 分

1 4

22、学案:P149

例3

10


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